湖南省岳陽市三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答

題

一.實(shí)數(shù)的運(yùn)算（共2小題）

1.（2021?岳陽）計(jì)算：（-1）2021+|-2|+4sin30"-（我-TT）

2.（2020?岳陽）計(jì)算：（」）i+2cos60°-（4-Tt）°+|-百|(zhì).

2

二.代數(shù)式求值（共1小題）

3.（2022?岳陽）己知“2-24+1=0,求代數(shù)式a（a-4）+（a+1）（tz-1）+1的值.

三.二元一次方程組的應(yīng)用（共1小題）

4.（2022?岳陽）為迎接湖南省第十四屆運(yùn)動(dòng)會(huì)在岳陽舉行，某班組織學(xué)生參加全民健身線

上跳繩活動(dòng)，需購買A,8兩種跳繩若干.若購買3根A種跳繩和1根8種跳繩共需140

元；若購買5根A種跳繩和3根8種跳繩共需300元.

（1）求4,B兩種跳繩的單價(jià)各是多少元？

（2）若該班準(zhǔn)備購買A,B兩種跳繩共46根，總費(fèi)用不超過1780元，那么至多可以購

買B種跳繩多少根？

四.分式方程的應(yīng)用（共2小題）

5.（2021?岳陽）星期天，小明與媽媽到離家16km的洞庭湖博物館參觀.小明從家騎自行

車先走，1/z后媽媽開車從家出發(fā)，沿相同路線前往博物館，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá).已知媽

媽開車的平均速度是小明騎自行車平均速度的4倍，求媽媽開車的平均速度.

6.（2020?岳陽）為做好復(fù)工復(fù)產(chǎn)，某工廠用A、B兩種型號(hào)機(jī)器人搬運(yùn)原料，已知4型機(jī)

器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)20kg,且A型機(jī)器人搬運(yùn)1200僅所用時(shí)間與B型機(jī)器

人搬運(yùn)1000依所用時(shí)間相等，求這兩種機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少原料.

五.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題(共3小題)

7.(2022?岳陽)如圖，反比例函數(shù))=區(qū)a/0)與正比例函數(shù)y=mx(m^O)的圖象交

x

于點(diǎn)A(-1,2)和點(diǎn)8,點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接AC,BC.

(1)求該反比例函數(shù)的解析式；

(2)求△ABC的面積；

(3)請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出不等式乂＜,心的解集.

8.(2021?岳陽)如圖，已知反比例函數(shù))，=K(kWO)與正比例函數(shù)y=2x的圖象交于4(1,

x

M,8兩點(diǎn).

(1)求該反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)C在x軸上，且△BOC的面積為3,求點(diǎn)C的坐標(biāo).

9.(2020?岳陽)如圖，一次函數(shù)產(chǎn)x+5的圖象與反比例函數(shù)尸K*為常數(shù)且20)的

圖象相交于A(-1,m),B兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)將一次函數(shù)y=x+5的圖象沿y軸向下平移》個(gè)單位">0),使平移后的圖象與反

比例函數(shù)y=K的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求〃的值.

x

六.二次函數(shù)綜合題(共3小題)

10.(2022?岳陽)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線Fi：y=/+/?+c經(jīng)過點(diǎn)A(-

3,0)和點(diǎn)8(1,0).

(1)求拋物線為的解析式；

(2)如圖2,作拋物線尸2,使它與拋物線Fl關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，請(qǐng)直接寫出拋物

線F2的解析式；

(3)如圖3,將(2)中拋物線F2向上平移2個(gè)單位，得到拋物線尸3,拋物線F1與拋

物線尸3相交于C,。兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)。的左側(cè)).

①求點(diǎn)C和點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)M,N分別為拋物線為和拋物線尸3上C,。之間的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M,N與點(diǎn)C,。不

重合)，試求四邊形CMDN面積的最大值.

于點(diǎn)C,連接BC.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖2,直線/：y=fcr+3經(jīng)過點(diǎn)A,點(diǎn)尸為直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于x軸的上

方，點(diǎn)。為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)尸。〃y軸時(shí)，作交拋物線于點(diǎn)M(點(diǎn)M

在點(diǎn)。的右側(cè))，以P。，QW為鄰邊構(gòu)造矩形PQMM求該矩形周長的最小值；

(3)如圖3,設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為。，在(2)的條件下，當(dāng)矩形PQ例N的周長取最小值

時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)F,使得NCBF=NDQM?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

515

軸交于點(diǎn)4(-A,0)和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C.

5

(1)求拋物線Q的表達(dá)式；

(2)如圖2,將拋物線Q先向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到拋物線22,

若拋物線為與拋物線F2相交于點(diǎn)Q,連接8Q,CD,BC.

①求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②判斷△8C。的形狀，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，拋物線&上是否存在點(diǎn)P,使得△BCP為等腰直角三角形，若

存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

七.三角形綜合題（共1小題）

13.（2022?岳陽）如圖，ZViBC和△D8E的頂點(diǎn)B重合，ZABC=ZDBE=W°,ZBAC

=/B￡>E=30°,BC=3,BE=2.

（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當(dāng)點(diǎn)D,E分別在AB,BC上時(shí)，可以得出結(jié)論：坦=,

CE

直線AD與直線CE的位置關(guān)系是；

（2）探究證明：如圖2,將圖1中的aOBE繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。恰好落在線段

AC上，連接EC,（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理

由：

（3）拓展運(yùn)用：如圖3,將圖1中的△O8E繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（19°<a<60°）,連

接A。、EC,它們的延長線交于點(diǎn)凡當(dāng)。尸=8E時(shí)，求tan（（iO°-a）的值.

A

;

BEC

E

圖1圖2

圖3

八.平行四邊形的判定（共1小題）

14.（2021?岳陽）如圖，在四邊形ABCC中，AE_L8。，CF±BD,垂足分別為點(diǎn)E,F.

（1）請(qǐng)你只添加一個(gè)條件（不另加輔助線），使得四邊形AECF為平行四邊形，你添加

的條件是;

（2）添加了條件后，證明四邊形AECF為平行四邊形.

AD

九.平行四邊形的判定與性質(zhì)（共1小題）

15.（2020?岳陽）如圖，點(diǎn)E,尸在。ABC。的邊BC,A。上，BE=LC,FD=1AD,連

33

接BRDE.

求證：四邊形BE。尸是平行四邊形.

一十.菱形的判定（共1小題）

16.（2022?岳陽）如圖，點(diǎn)E,F分別在口A8CD的邊AB,BC上，AE=CF,連接。E,OE請(qǐng)

從以下三個(gè)條件：①Nl=/2；②DE=DF；③N3=N4中，選擇一個(gè)合適的作為已知

條件，使口A8C。為菱形.

（1）你添加的條件是（填序號(hào)）；

（2）添加了條件后，請(qǐng)證明nABCD為菱形.

一十一.四邊形綜合題（共2小題）

17.（2021?岳陽）如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,/A=60°,點(diǎn)。為A8的中點(diǎn),

連接CC,將線段C。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（60°<a<120°）得到線段E￡>,且E￡>交

線段BC于點(diǎn)G,NCDE的平分線DM交BC于點(diǎn)H.

(1)如圖1,若a=90°,則線段E。與的數(shù)量關(guān)系是,如=；

CD

(2)如圖2,在(1)的條件下，過點(diǎn)C作C尸〃DE交DM于點(diǎn)凡連接EF,BE.

①試判斷四邊形C0EF的形狀，并說明理由；

②求證：理=返；

FH3

(3)如圖3,若AC=2,tan(a-60°)=m,過點(diǎn)C作C/〃DE交。M于點(diǎn)F,連接

EF,BE,請(qǐng)直接寫出些的值(用含他的式子表示).

點(diǎn)同時(shí)以每秒1個(gè)單位長度的速度出發(fā)，且分別在邊C4,AB上沿C-4,A-B的方向

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)、P,Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f(s),連

接PQ,過點(diǎn)尸作PELPQ,PE與邊BC相交于點(diǎn)E,連接QE.

(1)如圖2,當(dāng)f=5s時(shí)，延長EP交邊AO于點(diǎn)F.求證：AF=CE；

(2)在(1)的條件下，試探究線段A。，QE,CE三者之間的等量關(guān)系，并加以證明；

(3)如圖3,當(dāng)「〉當(dāng)■時(shí)，延長EP交邊AO于點(diǎn)F,連接FQ,若FQ平分/AFP,求處

4CE

的值.

一十二.特殊角的三角函數(shù)值(共1小題)

19.(2022?岳陽)計(jì)算：|-3|-2tan450+(-1)2022（V3-Tt）°.

一十三.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共1小題）

20.（2021?岳陽）某鎮(zhèn)為創(chuàng)建特色小鎮(zhèn)，助力鄉(xiāng)村振興，決定在轄區(qū)的一條河上修建一座步

行觀光橋.如圖，該河旁有一座小山，山高3c=80"，坡面A8的坡度i=l：0.7（注：

坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），點(diǎn)C、A與河岸E、尸在同一水平線上，

從山頂B處測得河岸E和對(duì)岸尸的俯角分別為NO8E=45°,ZDBF=31°.

（1）求山腳A到河岸E的距離；

（2）若在此處建橋，試求河寬所的長度.（結(jié)果精確到0.1,〃）

（參考數(shù)據(jù)：sin31°-0.52,cos31°-0.86,ta數(shù)據(jù)—0.60）

21.（2020?岳陽）共抓長江大保護(hù)，建設(shè)水墨丹青新岳陽，推進(jìn)市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜合治

理項(xiàng)目，需要從如圖A,B兩地向C地新建AC,BC兩條筆直的污水收集管道，現(xiàn)測得C

地在A地北偏東45°方向上，在B地北偏西68°方向上，AB的距離為7h〃，求新建管

道的總長度.（結(jié)果精確到0.1癡，sin22°弋0.37,cos22°?=0.93,tan22°^0.40,&弋

一十五.扇形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）

22.（2021?岳陽）國務(wù)院教育督導(dǎo)委員會(huì)辦公室印發(fā)的《關(guān)于組織責(zé)任督學(xué)進(jìn)行“五項(xiàng)管理”

督導(dǎo)的通知》指出，要加強(qiáng)中小學(xué)生作業(yè)、睡眠、手機(jī)、讀物、體質(zhì)管理.某校數(shù)學(xué)社

團(tuán)成員采用隨機(jī)抽樣的方法，抽取了八年級(jí)部分學(xué)生，對(duì)他們一周內(nèi)平均每天的睡眠時(shí)

間單位：h）進(jìn)行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)整理后得到下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：

組別睡眠時(shí)間分頻數(shù)頻率

組

At<640.08

B6Wf<780.16

C7?810a

D8Wf<9210.42

Eb0.14

請(qǐng)根據(jù)圖表信息回答下列問題:

(1)頻數(shù)分布表中，a=,b=；

(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中，C組所在扇形的圓心角的度數(shù)是°；

(3)請(qǐng)估算該校600名八年級(jí)學(xué)生中睡眠不足7小時(shí)的人數(shù)；

(4)研究表明，初中生每天睡眠時(shí)長低于7小時(shí)，會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)習(xí)效率.請(qǐng)你根據(jù)以上

調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，向?qū)W校提出一條合理化的建議.

一十六.列表法與樹狀圖法(共2小題)

23.(2022?岳陽)守護(hù)好一江碧水，打造長江最美岸線.江豚，麋鹿，天鵝已成為岳陽“吉

祥三寶”的新名片.某校生物興趣小組設(shè)計(jì)了3張環(huán)保宣傳卡片，正面圖案如圖所示，

它們除此之外完全相同.

(1)將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機(jī)抽取?一張，則抽取的卡片正面圖案恰好是

“麋鹿”的概率為;

(2)將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，不放回，再從剩余的兩張卡片

中隨機(jī)抽取一張，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的卡片正面圖案恰好是“江豚”

和“天鵝”的概率.

江豚麋鹿天鵝

24.（2020?岳陽）我市某學(xué)校落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，構(gòu)建“五育并舉”教育體系，開設(shè)了

“廚藝、園藝、電工、木工、編織”五大類勞動(dòng)課程.為了解七年級(jí)學(xué)生對(duì)每類課程的

選擇情況，隨機(jī)抽取了七年級(jí)若干名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查（每人只選一類最喜歡的課程），將調(diào)

查結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：

1

18

X

15

A

12

A9

6

3

0

（1）本次隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為人；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）若該校七年級(jí)共有800名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該校七年級(jí)學(xué)生選擇“廚藝”勞動(dòng)課程的人

數(shù)；

（4）七（1）班計(jì)劃在“園藝、電工、木工、編織”四大類勞動(dòng)課程中任選兩類參加學(xué)

校期末展示活動(dòng)，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選中“園藝、編織”這兩類勞動(dòng)

課程的概率.

參考答案與試題解析

實(shí)數(shù)的運(yùn)算(共2小題)

I.(2021?岳陽)計(jì)算：1)202i+|-2|+4sin30°-(我

【解答】解：原式=-1+2+4X」-1=-1+2+2-1=2.

2

2.(2020?岳陽)計(jì)算：(上)i+2cos60°-(4-n)°+|-北

2

【解答】解：原式=2+2義工-

2

=2+1-1+V3

=2+5/3.

二.代數(shù)式求值(共1小題)

3.(2022?岳陽)己知“2-20+1=0,求代數(shù)式a(a-4)+(a+1)(a-1)+1的值.

【解答】解：a(a-4)+(a+1)(a-1)+1

—a2-4a+a2-1+1

—2a2-4a

=2(a2-2a),

'.'a2-2a+l=0,

-2a=-1,

原式=2X(-1)=-2.

三.二元一次方程組的應(yīng)用(共1小題)

4.(2022?岳陽)為迎接湖南省第十四屆運(yùn)動(dòng)會(huì)在岳陽舉行，某班組織學(xué)生參加全民健身線

上跳繩活動(dòng)，需購買A,B兩種跳繩若干.若購買3根A種跳繩和I根B種跳繩共需140

元；若購買5根A種跳繩和3根B種跳繩共需300元.

(1)求4,8兩種跳繩的單價(jià)各是多少元？

(2)若該班準(zhǔn)備購買A,8兩種跳繩共46根，總費(fèi)用不超過1780元，那么至多可以購

買8種跳繩多少根？

【解答】解：(1)設(shè)A種跳繩的單價(jià)為x元，B種跳繩的單價(jià)為y元.

根據(jù)題意得：(3x+y=140,

l5x+3y=300

解得：卜=30,

ly=50

答：4種跳繩的單價(jià)為30元，8種跳繩的單價(jià)為50元.

（2）設(shè)購買B種跳繩。根，則購買A種跳繩（46-〃）根，

由題意得：30（46-a）+50aW1780,

解得：aW20,

答：至多可以購買B種跳繩20根.

四.分式方程的應(yīng)用（共2小題）

5.（2021?岳陽）星期天，小明與媽媽到離家的洞庭湖博物館參觀.小明從家騎自行

車先走，1/?后媽媽開車從家出發(fā)，沿相同路線前往博物館，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá).已知媽

媽開車的平均速度是小明騎自行車平均速度的4倍，求媽媽開車的平均速度.

【解答】解：設(shè)小明騎自行車的平均速度為則媽媽開車的平均速度為4xkm/〃，

依題意得：也-」包=1,

x4x

解得：x=12,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=12是原方程的解，且符合題意，

；.4x=48.

答：媽媽開車的平均速度為48&瘋兒

6.（2020?岳陽）為做好復(fù)工復(fù)產(chǎn)，某工廠用A、B兩種型號(hào)機(jī)器人搬運(yùn)原料，已知4型機(jī)

器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)20kg,且A型機(jī)器人搬運(yùn)1200僅所用時(shí)間與B型機(jī)器

人搬運(yùn)1000版所用時(shí)間相等，求這兩種機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少原料.

【解答】解：設(shè)8型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)Mg原料，則A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)(x+20)kg

原料，

依題意，得：1200=1000,

x+20x

解得：x=100,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=100是原方程的解，且符合題意，

；.x+20=120.

答：A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)120版原料，B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)100依原料.

五.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題(共3小題)

7.(2022?岳陽)如圖，反比例函數(shù)＞=區(qū)(ZW0)與正比例函數(shù)y—nix(,*W0)的圖象交

x

于點(diǎn)A(-l,2)和點(diǎn)B,點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接AC,BC.

(1)求該反比例函數(shù)的解析式；

(2)求△ABC的面積；

(3)請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出不等式上＜做的解集.

X

【解答】解：(1)把點(diǎn)A(-1,2)代入y=K(AW0)得：2=—

X-]

：.k=-2,

???反比例函數(shù)的解析式為＞=-2；

X

(2)..?反比例函數(shù)產(chǎn)區(qū)(kWO)與正比例函數(shù)("?W0)的圖象交于點(diǎn)A(-1,

x

2)和點(diǎn)B,

：.B(1,-2),

,*,點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，

：.C(1,2),

：.AC=2,

/.SMBC=-A-X2X(2+2)=爾

(3)根據(jù)圖象得：不等式的解集為X<-1或0<x<l.

X

8.(2021?岳陽)如圖，已知反比例函數(shù))，=區(qū)(20)與正比例函數(shù))，=2x的圖象交于A(1,

x

m),B兩點(diǎn).

(1)求該反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)C在尤軸上，且△BOC的面積為3,求點(diǎn)C的坐標(biāo).

【解答】解：(D把A(1.m)代入y=2%中,

得m=2,

.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),

把點(diǎn)A(1,2)代入y=K中，

X

得k=2,

...反比例函數(shù)的解析式為>=2；

X

(2)過點(diǎn)B作BC垂直與x軸，垂足為。，

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(小0),

??,點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

...點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,-2）,

：.BD=\-2|=2,OC=\a\,

SMOC=/BD?OC=,X2X|a|=3）

解得：a—3或a--3,

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,0）或（-3,0）.

9.（202（）?岳陽）如圖，一次函數(shù)y=x+5的圖象與反比例函數(shù)y=K（&為常數(shù)且20）的

x

圖象相交于A（-1,m）,B兩點(diǎn).

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）將一次函數(shù)y=x+5的圖象沿y軸向下平移方個(gè)單位（b>0）,使平移后的圖象與反

比例函數(shù)y=K的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求6的值.

X

【解答】解：⑴???一次函數(shù)y=x+5的圖象與反比例函數(shù)y=K&為常數(shù)且20）的

X

圖象相交于4（-L771）,

：.k=-1X4=-4,

...反比例函數(shù)解析式為：y=-1；

X

（2）???一次函數(shù)y=x+5的圖象沿y軸向下平移b個(gè)單位（6>0）,

，y=x+5-b,

?.?平移后的圖象與反比例函數(shù)y=K的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

X

.*.x+5-b--―,

x

(5-6)x+4=0,

VA=(5-b)2-16=0,

解得b=9或1,

答：人的值為9或1.

六.二次函數(shù)綜合題(共3小題)

10.(2022?岳陽)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，拋物線產(chǎn)”y=/+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-

3,0)和點(diǎn)B(1,0).

(1)求拋物線F1的解析式；

(2)如圖2,作拋物線打，使它與拋物線乃關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，請(qǐng)直接寫出拋物

線F2的解析式；

(3)如圖3,將(2)中拋物線尸2向上平移2個(gè)單位，得到拋物線乃，拋物線為與拋

物線尸3相交于C,。兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)。的左側(cè)).

①求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)例，N分別為拋物線尸I和拋物線尸3上C,。之間的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M,N與點(diǎn)C,。不

重合)，試求四邊形CMON面積的最大值.

【解答】解：(1)將點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)8(1,0)代入y=/+fec+c,

9-3b+c=0

l+b+c=0

解得(b=2,

lc=-3

；.y=/+2x-3；

(2)：y=W+2x-3=(x+1)2-4,

拋物線的頂點(diǎn)(-1,-4),

???頂點(diǎn)(-1,-4)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(1,4),

二拋物線F2的解析式為y=-(x-1)2+4,

；.y=-X2+2X+3；

(3)由題意可得，拋物線用的解析式為y=-(x-1)2+6=-X2+2X+5,

f2

①聯(lián)立方程組］尸-x+2x+5,

y=x2+2x-3

解得x=2或x=-2,

：.C(-2,-3)或力(2,5)；

②設(shè)直線CD的解析式為y=H+b,

.f_2k+b=_3

*-l2k+b=5'

解得仆=2,

lb=l

.?.y=2x+l,

過點(diǎn)M作MF〃y軸交CO于點(diǎn)F,過點(diǎn)N作NE〃丁軸交于點(diǎn)E,

設(shè)MCm,-3),N(n,-n24-2/t4-5),

貝！J尸Cm,2m+l),E(n,2〃+l),

J.MF=2m+l-(相2+2團(tuán)-3)=-病+4,

NE--n~+2n+5-2n~1--n+4,

：-2<m<2,-2<n<2,

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，M/有最大值4,

當(dāng)〃=0時(shí)，NE有最大值4,

四邊形C"￡W=SACON+SACDM=LX4義(MF+NE)—2CMF+NE),

2

二當(dāng)MF+NE最大時(shí)，四邊形CMDN面積的最大值為16.

11.(2021?岳陽)如圖，拋物線>=/+版+2經(jīng)過A(-1,0),B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C,連接BC.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖2,直線/：尸=履+3經(jīng)過點(diǎn)A,點(diǎn)尸為直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于x軸的上

方，點(diǎn)。為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)尸Q〃y軸時(shí)，作。MLPQ,交拋物線于點(diǎn)M(點(diǎn)M

在點(diǎn)。的右側(cè))，以P。，QM為鄰邊構(gòu)造矩形PQWM求該矩形周長的最小值；

(3)如圖3,設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為。，在(2)的條件下，當(dāng)矩形PQA/N的周長取最小值

時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)F,使得NCBF=NDQM?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

【解答】解：(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-xi)(x-x2),

即y=a(x+1)(%-4)—a(%2-3x-4)-3ax-4”，

即-4a=2,解得a=-

2

故拋物線的表達(dá)式為y=-1?+^+2；

（2）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線/的表達(dá)式得：0=-k+3,解得人=3,

故直線I的表達(dá)式為y=3x+3,

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（x,--kr2+.?.A-+2）,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,3x+3）,

22

由題意得，點(diǎn)Q、"關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，而拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3,

~2

故點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3-x,則QM=3-x-x=3-2x,

設(shè)矩形周長為C,則C=2（PQ+QM）=2[3-2x+3x+3-（-工？+當(dāng)+2）]=/x+8,

一一22

Vl>0,故C有最小值，

當(dāng)天=工時(shí)，矩形周長最小值為21；

24

（3）當(dāng)犬=工時(shí)，），=-L?+斗+2=2工，即點(diǎn)。的坐標(biāo)為（_L,2L）,

222828

由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)力的坐標(biāo)為（旦，空），

28

過點(diǎn)。作。K,0M于點(diǎn)K,

則DK—yo-yQ--^--

882

同理可得，QK=1,

則tanZDQM=@?=A,

QK2

■:NCBF=NDQM,

故tanZCBF=tanZDQM=—,

2

在△BOC中，tan/CBO=型上=」，

0B42

故所和B0重合，

故點(diǎn)尸和點(diǎn)A重合，

即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-1,0),

當(dāng)點(diǎn)尸在直線BC的上方時(shí)，；4。=遙，BC=2娓,AB=5,

：.AB1=AC1+BC2,

：.ZACB=90Q,

則點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'(1,4),

直線BF的解析式為)，=-￡+西，

-33

由］3解得(x=4或,

y=-^x2+^-x+2?丫-°

：.F(A,28),

39

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-1,0)或(S,毀)

39

12.(2020?岳陽)如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線尸1：y=?(x-2)2+衛(wèi)士與x

515

軸交于點(diǎn)A(--1,0)和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線F1的表達(dá)式；

(2)如圖2,將拋物線為先向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到拋物線22,

若拋物線Fl與拋物線上相交于點(diǎn)C,連接80,CD,BC.

①求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②判斷△BCD的形狀，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，拋物線放上是否存在點(diǎn)P,使得△BQP為等腰直角三角形，若

存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解答】解：(1)把點(diǎn)A(一旦，0)代入拋物線Fi：y=a(x-2)?+星中得:

5515

0=〃(-旦-2)2+星，

5515

解得：&=-且,

3

拋物線Fl：y=-S(x-2)2+-§1；

3515

(2)①由平移得：拋物線尸2：y=-"(x-2+l)2+空-3,

3515

：.y=-—(x+—)2+9，

'3515

-9(X+旦)2+迫=-a(X--2)2+四

35153515

_10r_10

33

解得：x=-1,

：.D(-1,1)；

②當(dāng)x=0時(shí)，y=-9x/-"k^=4，

32515

：.C(0,4),

當(dāng)y=0時(shí)，-分(龍-2)2+.^4=0,

3515

解得：X=-2或2,

5

:.B(2,0),

,：D(-I,1),

；.BD2=(2+1)2+(1-0)2=10,

CD2=(0+1)2+(4-1)2=10,

8c2=22+42=20,

：.BD2+CD2=BC2且BD=CD,

...△8OC是等腰直角三角形；

(3)存在，

設(shè)尸(,〃，

"：B(2,0),￡)(-1,1),

1

BD=(2+1)2+12=10，pB2=(m_2)2+[,|(in+|.)24>-|2，

PD2=(m+1)2+[-y2+y|--l]2,

分三種情況：

①當(dāng)NO8P=90"時(shí)，BD2+PB2=PD2,

即10+(w-2)2+[-]2=(m+1)2+[--(m+—)2+-l1.-1j2,

解得：/〃=-4或1,

當(dāng)/n=-4時(shí)，BD=K，PB=V36+324=6^/10)即△BOP不是等腰直角三角形，不

符合題意，

當(dāng)"?=1時(shí)，百=J75，

：.BD=PB,即△BOP是等腰直角三角形，符合題意，

：.P(1,-3)；

②當(dāng)NBOP=9(T時(shí)，BD2+PD2=PB2,

即10+(W7+1)2+1-(w+A)2+-^|--1]2=(相-2)2+[-.24,A1.]2,

解得：-1(舍)或-2,

當(dāng)〃1=-2時(shí)，BD=4TO,PD=V1+9=VTO>

：.BD=PD,即此時(shí)△BDP為等腰直角三角形，

：.P(-2,-2)；

③當(dāng)NBPC=90。時(shí)，且8P=QP,有BD2=PD,PB2,如圖3,

當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)P1和P2不在拋物線上，此種情況不存在這樣的點(diǎn)P;

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,-3)或(-2,-2).

七.三角形綜合題(共1小題)

13.(2022?岳陽)如圖，ZVIBC和△O8E的頂點(diǎn)8重合，NABC=NDBE=90°,ZBAC

=ZBDE=30°,BC=3,BE=2.

(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡>，E分別在A8,8c上時(shí)，可以得出結(jié)論：坦=M,

CE——

直線AD與直線CE的位置關(guān)系是垂直；

(2)探究證明：如圖2,將圖1中的△ZJ8E繞點(diǎn)2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。恰好落在線段

4c上，連接EC,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理

由；

(3)拓展運(yùn)用：如圖3,將圖1中的△OBE繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(19°<a<60°),連

接A。、EC,它們的延長線交于點(diǎn)F,當(dāng)。F=8E時(shí)，求tan(60°-a)的值.

圖1

【解答】解：（1）在Rt/SABC中，NB=90°,8c=3,/A=30°,

；.AB=?BC=3愿，

在Rt^BQE中，NBDE=30°,BE=2,

:.BD=MBE=2M，

；.EC=1,AD=a，

.?.坦=?,此時(shí)AQ_LEC,

EC

故答案為：M，垂直；

(2)結(jié)論成立.

理由：VZABC=ZDBE=90a,

，NABD=NCBE,

,:AB=MBC,BD=&BE,

?迪=邁

"BCEB'

:./XABDSACBE,

AAD=AB=NADB=/BEC,

ECBC

：NAr>B+/CZ)B=180°,

...NCOB+NBEC=180°,

.?./￡>BE+NOCE=180°,

:NDBE=90°,

/.ZDCE=90°,

：.AD±EC；

(3)如圖3中，過點(diǎn)B作區(qū)/L4c于點(diǎn)J,設(shè)8D交AK于點(diǎn)K,過點(diǎn)K作K7UAC于

點(diǎn)K.

A

圖3

；NA/B=90°,N8AC=30°,

:.NABJ=60°,

：.ZKBJ=60°-a.

：AB=3百，

:.BJ=LAB=丕巨,AJ=MBJ=宜,

222

當(dāng)。F=BE時(shí)，四邊形8EF￡＞是矩形，

；.NADB=90：ADK/-BD2r(3E產(chǎn)-(2五)2=任,

設(shè)KT=m,則AK=2m,

；NKTB=NADB=90°,

hmc—KT_AD

BTBD

?m_V15

"BT礪’

：.BT=m,

5

二百〃?+2/5_機(jī)=3禽,

5

...,〃=45-6后,

11_

.MK=2片9072后,

11__

：.KJ=AJ-AK=1-90-12后=24任-81,

21122

tan(600-a)=j^L=—

BT11

解法二：證明NCA尸=60°-a,

通過tan（60°-a）=SL求解即可.

AF

八.平行四邊形的判定（共1小題）

14.（2021?岳陽）如圖，在四邊形ABC。中，AELBD,CFLBD,垂足分別為點(diǎn)E,F.

（1）請(qǐng)你只添加一個(gè)條件（不另加輔助線），使得四邊形AECF為平行四邊形，你添加

的條件是AE=CF；

（2）添加了條件后，證明四邊形AEC尸為平行四邊形.

【解答】解：（1）添加條件為：AE=CF,

故答案為：AE=CF；

（2）證明："：AELBD,CFLBD,

J.AE//CF,

"：AE=CF,

四邊形AEC尸為平行四邊形.

九.平行四邊形的判定與性質(zhì)（共1小題）

15.（2020?岳陽）如圖，點(diǎn)E,F在。ABCQ的邊BC,上，BE=LBC,FD=1.AD,連

33

接BF,DE.

求證：四邊形BED尸是平行四邊形.

【解答】證明：；四邊形A8C。是平行四邊形,

：.AD=BC,AD//BC,

?：BE=^BC,FD=kAD,

33

：.BE=DF,

,JDF//BE,

，四邊形尸是平行四邊形.

一十.菱形的判定（共1小題）

16.（2022?岳陽）如圖，點(diǎn)E,F分別在。A8CD的邊A3,3c上，AE=CF,連接。E,DF.請(qǐng)

從以下三個(gè)條件：①/1=/2；②DE=DF；③/3=/4中，選擇一個(gè)合適的作為己知

條件，使。ABC力為菱形.

（1）你添加的條件是①或③（填序號(hào)）；

（2）添加了條件后，請(qǐng)證明口A2C。為菱形.

【解答】（1）解：添加的條件是N1=N2或N3=N4,

故答案為：①或③；

（2）證明：添加①，???四邊形48CZ）是平行四邊形，

在△ADE和△€17）/中，

'N1=N2

<ZA=ZC>

,AE=CF

:./XADE妾ACDF（A4S）,

：.AD=CD,

二。ABC。為菱形；

添加③，???四邊形A8CO是平行四邊形，

NA=/C,

在△AOE和△CO/中，

'N3=/4

-AE=CF，

ZA=ZC

:.AADE咨ACDF（A4S）,

：.AD=CD,

,“ABC。為菱形.

一十一.四邊形綜合題(共2小題)

17.(2021?岳陽)如圖，在RtZiABC中，ZACB=90Q,NA=60°,點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，

連接C。，將線段C￡>繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(60°<a<120°)得到線段E￡>,且ED交

線段BC于點(diǎn)G,NCDE的平分線。M交BC于點(diǎn)H.

(1)如圖1,若a=90°,則線段ED與8力的數(shù)量關(guān)系是ED=BD，強(qiáng)=1.；

CD-3-

(2)如圖2,在(1)的條件下，過點(diǎn)C作CF〃QE交。M于點(diǎn)F,連接EF,BE.

①試判斷四邊形CDEF的形狀，并說明理由；

②求證：毀=1_；

FH3

(3)如圖3,若AC=2,tan(a-60°)=〃?，過點(diǎn)C作C/〃OE交。M于點(diǎn)凡連接

:.AD=CD=BD,

VZA=60°,

.,.ZB=30°,△AC。是等邊三角形，

，NDCB=30°,

VZCDE=a=90°,

tanZCGD=tan60°

DG

?GD=?

'*CD~

:線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(60°<a<120°)得到線段ED,

：.ED=CD=BD,

故答案為：ED=BD；返.

3

(2)①四邊形COE尸是正方形，理由如下，

???QM平分NCOE,ZCDE=90°,

：.ZCDM=ZEDM=45°,

■:CF//DE,

：.ZCFD=ZEDM=45°,

???ZCFD=/EDM=/CDM,

:.CF=CD=ED,

???四邊形COE尸是菱形，

?：ZCDE=90°,

二?菱形CDEF是正方形.

②由(1)可知，ZADC=60°,ZCGD=60°,BD=DE,

；?NBDE=30°,NEGB=60°,

：?/DBE=NDEB=75°,

，/EBG=45°,

VZGDB=90°-ZADE=30°,ZABC=30°,

：.ZGDB=ZABC9

:.DG=BG,

由①知NCFO=NCOF=45°,NDCF=90°,

AZFCH=60°,

:"EGB=NFCH,NEBG=NCFD,

:.XBEGS^FHC,

?BE=BG

一而FC，

?:DG=BG,CD=CF,

?BE=BG-GD=V3

"PHFCCD~

(3)如圖3,過點(diǎn)。作ONLBC于點(diǎn)M

圖3

：.AC//DN,

:./ACD=/CDN,

???△ACO是等邊三角形，AC=2,

：.FC=CD=AC=2,/CDN=/ACD=60°,

：.ZNDG=a-60°,DN=\,

/.tanZA^￡)G=tan(a-60°)

DN

NG—m,

在RlZ\A8C中，ZACB=90°,ZA=60°，AC=2,

."8=4,BC=2代，

:.BN=CN=M，

：.BG=M-m,

VZADC=60Q,ZCDG=a,

：.ZBDE=\20°-a,

ZBEG=30°+—,

2

：.ZEBG^—,

2

：.ZBGE=]500-a,

:DM平分NCDE,ZCDE=a,

NCDM=ZEDM=—,

2

'JCF//DE,

：.ZCFD=ZEDM=~,ZDCF+ZCD￡=180°,

2

.,.Z￡(CF=180°-a,

AZFCG=150°-a,

:.NEGB=NFCG,ZEBG=ZCFD,

:.叢BEGs/\FHC,

?BE=BG=-m

**FHFC-~~.

18.(2020?岳陽)如圖1,在矩形ABC力中，AB=6,BC=8,動(dòng)點(diǎn)P,。分別從C點(diǎn)，A

點(diǎn)同時(shí)以每秒1個(gè)單位長度的速度出發(fā)，且分別在邊CA,A8上沿C-A,的方向

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，P,Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)戶運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f(s),連

接PQ,過點(diǎn)P作PEJ_PQ,PE與邊BC相交于點(diǎn)E,連接QE.

(1)如圖2,當(dāng)f=5s時(shí)，延長EP交邊AD于點(diǎn)尸.求證：AF=CE；

(2)在(1)的條件下，試探究線段AQ,QE,CE三者之間的等量關(guān)系，并加以證明；

(3)如圖3,當(dāng)時(shí)，延長EP交邊4。于點(diǎn)F,連接FQ,若尸。平分乙4尸尸，求空

4CE

的值.

【解答】解：(1)二?四邊形A8CD是矩形，

：.AD//BC,NABC=90°,

在RtZVIBC中，AB=6,BC=8,根據(jù)勾股定理得，AC=10,

由運(yùn)動(dòng)知，CP=t=5,

：.AP^AC-CP=5,

：.AP=CP,

'JAD//BC,

：.ZPAF=NPCE,NAFP=NCE