岳陽市2021年初中畢業(yè)生學業(yè)考試

數(shù)學試卷

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號

條形碼貼在答題卡指定位置。

2.答題時，選擇題答案，用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選

擇題答案，用0.5毫米黑色墨水簽字筆，直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。

答案答在試題卷上無效。

3.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，在每小題給出的四個選項中，選

出符合要求的一項）

1.在實數(shù)F，-1,0,2中，為負數(shù)的是（）

3.下列運算結(jié)果正確的是（）

A.3a-a=2B.（^?a4—a8

C.（a+2）（?-2）=/-4D.（-a）2--a2

4.已知不等式組其解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

I2x〉-4

B

C.-3-2-1012

5.將一副直角三角板按如圖方式擺放，若直線?！?則N1的大小為（)

A.45°B.60°C.75°D.105°

6.下列命題是真命題的是（）

A.五邊形的內(nèi)角和是720°

B.三角形的任意兩邊之和大于第三邊

C.內(nèi)錯角相等

D.三角形的重心是這個三角形的三條角平分線的交點

7.在學校舉行“慶祝百周年，贊歌獻給黨”的合唱比賽中，七位評委給某班的評分去掉一

個最高分、一個最低分后得到五個有效評分，分別為：9.0,9.2,9.0,8.8,9.0（單位：

分），這五個有效評分的平均數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.9.0,8.9B.8.9,8.9C.9.0,9.0D.8.9,9.0

8.定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”.如圖，

在正方形0A8C中，點A（0,2）,點C（2,0）,則互異二次函數(shù)＞=（x-/n）2-機與

正方形O4BC有交點時m的最大值和最小值分別是（）

A.4,-1B.-1c.4,0D.54V_j

22

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，滿分32分）

9.（4分）因式分解：x1+2x+\=.

10.（4分）2021年5月15日，“天問一號”探測器成功著陸火星，在火星上首次留下了中

國印跡.據(jù)公開資料顯示，地球到火星的最近距離約為55000000公里，數(shù)據(jù)55000000

用科學記數(shù)法表示為.

11.（4分）一個不透明的袋子中裝有5個小球，其中3個白球，2個黑球，這些小球除顏色

外無其它差別，從袋子中隨機摸出一個小球，則摸出的小球是白球的概率

為.

12.（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程W+6x+k=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的值

為.

13.（4分）要使分式上有意義，則x的取值范圍為.

X-1

14.（4分）已知彳+上=五，則代數(shù)式工+工-料=.

xx

15.（4分）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，書中有下列問題：“今有戶高多于廣六尺八

寸，兩隅相去適一丈.問戶高、廣各幾何？”其意思為：今有一門，高比寬多6尺8寸,

門對角線距離恰好為1丈.問門高、寬各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如圖，

設(shè)門高AB為x尺，根據(jù)題意，可列方程為.

16.（4分）如圖，在RtZ\A8C中，ZC=90°,AB的垂直平分線分別交A3、AC于點。、

E,BE=8,。0為4BCE的外接圓，過點E作。O的切線EF交A8于點F,則下列結(jié)

論正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

?AE=BC；

?ZAED=ZCBD；

③若NOBE=40°,則施的長為圖2L；

9

④PE=.EF；

'EFBF

⑤若EF=6,則CE=2.24.

三、解答題（本大題共8小題，滿分64分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟）

2021

17.（6分）計算:（-1）+|-2|+4sin30°-（3/^-TT）0.

18.（6分）如圖，在四邊形A8C￡＞中，AELBD,CF±BD,垂足分別為點E,F.

（1）請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形AEC尸為平行四邊形，你添加

的條件是;

（2）添加了條件后，證明四邊形AECF為平行四邊形.

19.（8分）如圖，己知反比例函數(shù)）一上a￥0）與正比例函數(shù)y=2x的圖象交于A（1,m）,

x

B兩點.

（1）求該反比例函數(shù)的表達式；

（2）若點C在x軸上，且ABOC的面積為3,求點C的坐標.

20.（8分）國務(wù)院教育督導委員會辦公室印發(fā)的《關(guān)于組織責任督學進行“五項管理”督

導的通知》指出，要加強中小學生作業(yè)、睡眠、手機、讀物、體質(zhì)管理.某校數(shù)學社團

成員采用隨機抽樣的方法，抽取了八年級部分學生，對他們一周內(nèi)平均每天的睡眠時間r

（單位：〃）進行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)整理后得到下列不完整的統(tǒng)計圖表：

組別睡眠時間分頻數(shù)頻率

組

A<640.08

B6Wt<780.16

C7WrV810a

D84V9210.42

Ef29h0.14

請根據(jù)圖表信息回答下列問題:

(1)頻數(shù)分布表中，67=,h=；

(2)扇形統(tǒng)計圖中，C組所在扇形的圓心角的度數(shù)是°；

(3)請估算該校600名八年級學生中睡眠不足7小時的人數(shù)；

(4)研究表明，初中生每天睡眠時長低于7小時，會嚴重影響學習效率.請你根據(jù)以上

調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，向?qū)W校提出一條合理化的建議.

21.(8分)星期天，小明與媽媽到離家165?的洞庭湖博物館參觀.小明從家騎自行車先走,

1/7后媽媽開車從家出發(fā)，沿相同路線前往博物館，結(jié)果他們同時到達.已知媽媽開車的

平均速度是小明騎自行車平均速度的4倍，求媽媽開車的平均速度.

22.(8分)某鎮(zhèn)為創(chuàng)建特色小鎮(zhèn)，助力鄉(xiāng)村振興，決定在轄區(qū)的一條河上修建一座步行觀

光橋.如圖，該河旁有一座小山，山高BC=80m,坡面AB的坡度i=l：0.7(注：坡度

，?是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比)，點C、A與河岸E、尸在同一水平線上，從山頂

3處測得河岸E和對岸P的俯角分別為NZ)8E=45°,NDBF=31；

(1)求山腳A到河岸E的距離；

（2）若在此處建橋，試求河寬E尸的長度.（結(jié)果精確到0.1%）

（參考數(shù)據(jù)：sin31°*0.52,cos31°=0.86,tan31°^0.60）

23.（10分）如圖，在RtZiABC中，ZACfi=90°,NA=60°,點。為AB的中點，連接

CD,將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)a（60°<a<120°）得到線段ED,且ED交線段

8c于點G,NCDE的平分線0M交BC于點H.

（1）如圖1,若a=90°,則線段ED與的數(shù)量關(guān)系是,?_=；

CD

（2）如圖2,在（1）的條件下，過點C作C/〃。E交QM于點F,連接EFBE.

①試判斷四邊形CDEF的形狀，并說明理由；

②求證：些=返；

FH3

（3）如圖3,若AC=2,tan（a-60"）=,力，過點C作C尸〃。E交。M于點R連接

EF,BE,請直接寫出些的值（用含〃，的式子表示）.

FH

24.（10分）如圖，拋物線y=a?+bx+2經(jīng)過A（-1,0）,B（4,0）兩點，與y軸交于點

C,連接BC.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）如圖2,直線/：y=fcr+3經(jīng)過點A,點P為直線/上的一個動點，且位于x軸的上

方，點。為拋物線上的一個動點，當PQ〃y軸時，作QMLPQ,交拋物線于點M（點M

在點。的右側(cè)），以PQ,QM為鄰邊構(gòu)造矩形PQMM求該矩形周長的最小值；

(3)如圖3,設(shè)拋物線的頂點為D,在(2)的條件下，當矩形PQMN的周長取最小值

時.，拋物線上是否存在點凡使得NCBF=NDQM?若存在，請求出點尸的坐標；若不

存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，在每小題給出的四個選項中，選

出符合要求的一項）

1.在實數(shù)-1,0,2中，為負數(shù)的是（）

A-VsB.-1

【分析】根據(jù)負數(shù)的定義，可以判斷題目中的哪個數(shù)是負數(shù).

【解答】解：在-1,0,2這四個數(shù)中，負數(shù)是-1,

故選：B.

2.下列品牌的標識中，是軸對稱圖形的是（

%

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析.

【解答】解：A.是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

B.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

D.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

故選：A.

3.下列運算結(jié)果正確的是（）

A.3a-a=2B.a2,a4=as

C.（a+2）（67-2）=/-4D.（-a）2=-J

【分析】根據(jù)合并同類項原則、同底數(shù)事的乘法運算法則、平方差公式以及暴的乘方運

算法則正確計算即可求出正確答案.

【解答】解：3〃和a屬于同類項，所以3a-a=2a,故A項不符合題意，

根據(jù)同底數(shù)幕的乘法運算法則可得“2加4=小，故B項不符合題意，

根據(jù)平方差公式（“+2）（a-2）=J-4,故C項符合題意，

（-a）2="2,故。項不符合題意，

故選：C.

4.已知不等式組其解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

12x）-4

，）一二》二一j

A.-3-2-1012B,-3-2-1012

c.

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小無解了確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式X-1V0,得：x<l,

解不等式2x2-4,得：x\-2,

則不等式組的解集為-2Wx<I,

故選：D.

5.將一副直角三角板按如圖方式擺放，若直線?！?則N1的大小為（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/l+N42C=180。，進而可求出/I.

【解答】解：由題意知，乙4BC=45°+60°=105°,

'：a//b,

...Nl+NABC=180°,

；.Nl=180°-NA8C=180°-105°=75°,

6.下列命題是真命題的是（）

A.五邊形的內(nèi)角和是720°

B.三角形的任意兩邊之和大于第三邊

C.內(nèi)錯角相等

D.三角形的重心是這個三角形的三條角平分線的交點

【分析】利用多邊形的內(nèi)角和公式、三角形的三邊關(guān)系、平行線的性質(zhì)及三角形的重心

的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項.

【解答】解：A、五邊形的內(nèi)角和為540°,故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；

B,三角形的任意兩邊之和大于第三邊，正確，是真命題，符合題意；

C、兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；

￡＞、三角形的重心是這個三角形的三條邊上的中線的交點，故原命題錯誤，是假命題，不

符合題意，

故選：B.

7.在學校舉行“慶祝百周年，贊歌獻給黨”的合唱比賽中，七位評委給某班的評分去掉一

個最高分、一個最低分后得到五個有效評分，分別為：9.0,9.2,9.0,8.8,9.0(單位：

分)，這五個有效評分的平均數(shù)和眾數(shù)分別是()

A.9.0,8.9B.8.9,8.9C.9.0,9.0D.8.9,9.0

【分析】根據(jù)平均數(shù)的計算方法對這組數(shù)先求和再除以5即可，眾數(shù)即出現(xiàn)次數(shù)最多的

數(shù)，便可選出正確答案.

［解答］解：彳=9?0+9?2+9?0+&8+9.0=90,

5

該組數(shù)眾數(shù)為：9.0,

這五個有效評分的平均數(shù)和眾數(shù)分別為9.0,9.0,

故選：C.

8.定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”.如圖，

在正方形OABC中，點A(0,2),點C(2,0),則互異二次函數(shù)＞=(x-m)2-機與

正方形OABC有交點時m的最大值和最小值分別是()

B

x

A.4,-1B.-1C.4,0D.-1

22

【分析】畫出圖象，從圖象可以看出，當函數(shù)從左上向右下運動時，當跟正方形有交點

時，先經(jīng)過點A，再逐漸經(jīng)過點。，點B,點C,最后再經(jīng)過點B,且在運動的過程中，

兩次經(jīng)過點4兩次經(jīng)過點。，點8和點C,只需算出當函數(shù)經(jīng)過點A及點8時，"的值,

即可求出切的最大值及最小值.

【解答】解：如圖，由題意可得，互異二次函數(shù)y=(x-，”)2的頂點(/M,-m)在

在正方形OABC中，點A(0,2),點C(2,0),

：.B(2,2),

從圖象可以看出，當函數(shù)從左上向右下運動時，當跟正方形有交點時，先經(jīng)過點A,再

逐漸經(jīng)過點。，點8,點C,最后再經(jīng)過點B,且在運動的過程中，兩次經(jīng)過點A,兩次

經(jīng)過點。，點8和點C,

.?.只需算出當函數(shù)經(jīng)過點A及點8時m的值，即可求出m的最大值及最小值.

當互異二次函數(shù)》=(%-機)2-m經(jīng)過點A(0,2)時，胴=0,或機=-1；

當互異二次函數(shù)丁=(x-m)2-)n經(jīng)過點、B(2,2)時，加=三義五或機=三』

22

???互異二次函數(shù)y=(x-W2-〃?與正方形OABC有交點時m的最大值和最小值分別是

-1.

2

故選：D.

二、填空題(本大題共8小題，每小題4分，滿分32分)

9.(4分)因式分解：，+2x+l=式+1)2.

【分析】本題運用完全平方公式進行因式分解即可.

【解答】解：x2+Zr+l=（x+1）2,

故答案為：（x+1）2.

10.（4分）2021年5月15日，“天問一號”探測器成功著陸火星，在火星上首次留下了中

國印跡.據(jù)公開資料顯示，地球到火星的最近距離約為55000000公里，數(shù)據(jù)55000000

用科學記數(shù)法表示為5.5XE.

【分析】根據(jù)科學記數(shù)法的方法對55000000進行科學記數(shù)即可.

【解答】解：55000000=5.5XI07,

故答案為：5.5X107.

11.（4分）一個不透明的袋子中裝有5個小球，其中3個白球，2個黑球，這些小球除顏色

外無其它差別，從袋子中隨機摸出一個小球，則摸出的小球是白球的概率為3.

一5一

【分析】用白球的個數(shù)除以球的總個數(shù)即可.

【解答】解：?.?從袋子中隨機摸出一個小球共有5種等可能結(jié)果，摸出的小球是白球的

結(jié)果數(shù)為3,

二摸出的小球是紅球的概率為3,

5

故答案為：1.

5

12.（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程/+6x+&=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)Z的值為

9.

【分析】利用判別式的意義得到△=62-44=0,然后解關(guān)于A的方程即可.

【解答】解：根據(jù)題意，△=62-4k=0,

解得k=9,

故答案為9.

13.（4分）要使分式上有意義，則x的取值范圍為.

X-1

【分析】先根據(jù)分式有意義的條件列出關(guān)于X的不等式，求出X的取值范圍即可.

【解答】解：?.?分式上有意義，

X-1

/.X-1^0,解得xWL

故答案為：

14.（4分）已知％+工=五，則代數(shù)式x+,-后=0.

xx

【分析】把x+工的值代入計算即可.

X

【解答】解：..％+上=加,

X

/.%+--加=圾-亞=0，

x

故答案為：0.

15.(4分)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，書中有下列問題：“今有戶高多于廣六尺八

寸，兩隅相去適一丈.問戶高、廣各幾何？”其意思為：今有一門，高比寬多6尺8寸,

門對角線距離恰好為1丈.問門高、寬各是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)如圖，

設(shè)門高A8為x尺，根據(jù)題意，可列方程為(x-6.8)2+/=d.

AD

V

BC

【分析】設(shè)門高4B為x尺，則門的寬為(x-6.8)尺，利用勾股定理，即可得出關(guān)于x

的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：設(shè)門高AB為x尺，則門的寬為(x-6.8)尺，AC=1丈=10尺，

依題意得：AB2+BC2^AC2,

即(%-6.8)2+x2=102.

故答案為：(JC-6.8)2+?=102.

16.(4分)如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB的垂直平分線分別交AB、AC于點。、

E,8E=8,。。為△BCE的外接圓，過點E作00的切線EF交AB于點F,則下列結(jié)

論正確的是②④⑤.(寫出所有正確結(jié)論的序號)

①AE=8C；

?ZAED=ZCBD；

③若/￡>8E=40°,則施的長為空；

9

(4)DF=EF.

EFBF

⑤若EF=6,則CE=2.24.

【分析】①垂直平分A8,AE=BE,BE>BC,貝ij4E>8C,故①錯誤；

②由題可知，四邊形。BCE是。。的內(nèi)接四邊形，則NAED=NCBQ,故②正確；

③連接0D,若/D8E=40°,貝lJ/DOE=80°,則踴的長為.兀一嶼7L,故

1809

③錯誤；

④易得AEDFSABEF,則故④正確；

EFBF

⑤在RtZiBEF中，EF=6,BE=8,BF=1O,又△BEFS^ACB,則BE：AC^EF：BC

=6：8,設(shè)BE=6",則4c=8〃?，則CE=8/?-8,由勾股定理可得，￡C2+BC2=B￡2,

即(8m-8)2+(6/n)2=82,解得加=1.28,則CE=8m-8=2.24.故⑤正確.

【解答】解：①???OE垂直平分48,

：.AE=BE,

又在Rt^ABC中，ZC=90°,

：.BE>BC,

：.AE>BC,

故①錯誤；

②由題可知，四邊形O8CE是。。的內(nèi)接四邊形，

NAED=NCBD,

故②正確；

.?流的長為嚙粵=喈’故③錯誤;

④尸是。0的切線,

AZBEF=90",

又DELAB,

:./EDF=NBEF=9Q°,

二AEDFsABEF,

.?.更=空，故④正確；

EFBF

⑤在RtZ\8E/中，EF=6,BE=8,

：.BF=10,

由①AE=8E=8,

ZA=ZABE,

又NC=NBEF=90°,

：.4BEFs叢ACB,

:.BE：AC=EF-.BC=6：8,

設(shè)BE=6m,則AC=Sin,則CE=8〃？-8,

在RtAJSCE中，由勾股定理可得，￡C2+BC2=BE2,即(8m-8)2+(6w)2=82,

解得機=1.28,

：.CE=Sm-8=2.24.故⑤正確.

故答案為：②④⑤.

三、解答題(本大題共8小題，滿分64分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟)

2021

17.(6分)計算：(-1)+|-2|+4sin30°-(3^-TT)0.

【分析】按照實數(shù)的運算法則依次展開計算即可得出答案.

【解答】解：原式=-1+2+4X」-1=-1+2+2-1=2.

2

18.(6分)如圖，在四邊形A8C￡＞中，AE_LB。，CFLBD,垂足分別為點E,F.

(1)請你只添加一個條件(不另加輔助線)，使得四邊形AEC尸為平行四邊形，你添加

的條件是AE=CF；

(2)添加了條件后，證明四邊形AECF為平行四邊形.

【分析】(1)由題意添加條件即可；

(2)證AE〃CF,再由AE=CR即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)添加條件為：AE=CF,

故答案為：AE=CF；

(2)證明："JAELBD,CFLBD,

.'.AE//CF,

'：AE=CF,

四邊形AECF為平行四邊形.

19.(8分)如圖，已知反比例函數(shù)了=工(20)與正比例函數(shù)y=2x的圖象交于A(1,m),

x

8兩點.

(1)求該反比例函數(shù)的表達式；

(2)若點C在x軸上，且△BOC的面積為3,求點C的坐標.

【分析】(1)先把A(1,m)代入y=2r中，即可算出點A的坐標，再把點A的坐標代

入反比例函數(shù)解析式中即可得出答案；

(2)過點8作8。垂直與x軸，垂足為Q,設(shè)點C的坐標為(a,0),根據(jù)反比例函數(shù)

與正比例函數(shù)的性質(zhì)可得點B的坐標，由題意可得BD=\-2\^2,OC=\a\,再根據(jù)三角形

面積計算方法即可算出a的值，即可得出答案.

【解答】解：(1)把A(1,m-)代入y=2x中，

得m—2,

???點A的坐標為（1,2）,

把點A（l,2）代入y=K中，

X

得k=2,

...反比例函數(shù)得解析式為y=2；

X

（2）過點3作3。垂直與x軸，垂足為Q,

設(shè)點C的坐標為（m0）,

??,點A與點8關(guān)于原點對稱，

?,?點3的坐標為（-1,-2）,

：.BD=\-2\=2,OC=\a\,

SABOc=-^BD-0C=yX2X|a|=3'

解得：a=3或a=-3,

.,.點C的坐標為（3,0）或（-3,0）.

20.（8分）國務(wù)院教育督導委員會辦公室印發(fā)的《關(guān)于組織責任督學進行“五項管理”督

導的通知》指出，要加強中小學生作業(yè)、睡眠、手機、讀物、體質(zhì)管理.某校數(shù)學社團

成員采用隨機抽樣的方法，抽取了八年級部分學生，對他們一周內(nèi)平均每天的睡眠時間f

（單位：〃）進行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)整理后得到下列不完整的統(tǒng)計圖表：

組別睡眠時間分頻數(shù)頻率

組

At<640.08

B6Wf<780.16

C7WY810a

D84V9210.42

Ef29h0.14

請根據(jù)圖表信息回答下列問題：

（1）頻數(shù)分布表中，a—0.2,b=7；

（2）扇形統(tǒng)計圖中，C組所在扇形的圓心角的度數(shù)是72°；

（3）請估算該校600名八年級學生中睡眠不足7小時的人數(shù)；

（4）研究表明，初中生每天睡眠時長低于7小時，會嚴重影響學習效率.請你根據(jù)以上

調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，向?qū)W校提出一條合理化的建議.

【分析】（1）根據(jù)B組人數(shù)和所占的百分比，可以求得本次調(diào)查的人數(shù)，再根據(jù)頻數(shù)分

布表中的數(shù)據(jù)，即可計算出〃、人的值；

（2）根據(jù)C組的頻率可計算出扇形統(tǒng)計圖中C組所在扇形的圓心角的大小；

（3）根據(jù)每天睡眠時長低于7小時的人數(shù)所占比例可以計算出該校學生每天睡眠時長低

于7小時的人數(shù).

（4）根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，向?qū)W校提出一條合理化的建議即可.

【解答】解：（1）本次調(diào)查的同學共有：84-0.16=50（人），

?=10+50=0.2,

b=50--8-10-21=7,

故答案為：0.2,7；

（2）扇形統(tǒng)計圖中C組所在扇形的圓心角的大小是：360°X」旦=72°,

50

故答案為：72；

（3）600x3至=144（人），

50

答：該校600名八年級學生中睡眠不足7小時的人數(shù)有144人；

（4）按時入睡，保證睡眠時間.

21.（8分）星期天，小明與媽媽到離家1652的洞庭湖博物館參觀.小明從家騎自行車先走,

1〃后媽媽開車從家出發(fā)，沿相同路線前往博物館，結(jié)果他們同時到達.已知媽媽開車的

平均速度是小明騎自行車平均速度的4倍，求媽媽開車的平均速度.

【分析】設(shè)小明騎自行車的平均速度為xkm/h,則媽媽開車的平均速度為4xkm/h,根據(jù)

時間=路程+速度，結(jié)合小明比媽媽多用1/7,即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗

后即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)小明騎自行車的平均速度為Mm/力，則媽媽開車的平均速度為4M血兒

依題意得：西旦=1,

x4x

解得：x=n,

經(jīng)檢驗，x=12是原方程的解，且符合題意，

.\4X=48.

答：媽媽開車的平均速度為48kmih.

22.(8分)某鎮(zhèn)為創(chuàng)建特色小鎮(zhèn)，助力鄉(xiāng)村振興，決定在轄區(qū)的一條河上修建一座步行觀

光橋.如圖，該河旁有一座小山，山高8c=80〃?，坡面A8的坡度i=l：0.7(注：坡度

i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比)，點C、A與河岸E、F在同一水平線上，從山頂

8處測得河岸E和對岸尸的俯角分別為NO8E=45°,ZDBF=31°.

(I)求山腳力到河岸E的距離；

(2)若在此處建橋，試求河寬EF的長度.(結(jié)果精確到0.1利)

(參考數(shù)據(jù):sin310g0.52,cos31°-0.86,tan31°-0.60)

C

【分析】(1)在R滔8C中，根據(jù)AB的坡度求出AC,在R/BCE中，根據(jù)等腰直角三角

形的性質(zhì)可得CE=BC,由線段的和差即可求得AE；

(2)在R山CF中，由三角函數(shù)的定義求出，根據(jù)線段的和差即可求出.

【解答】解：(1)在R/ABC中，8c=80,

的坡度i=l：0.7,

.BC=1

??而o77，

.80-1

AC0.7

AAC=56,

在RfBCE中,BC=80,ZBEC=ZDBE=45°,

AZCB￡=90°-/BEC=90°-45°=45°,

，ZBEC=NCBE,

；.CE=BC=80,

：.AE=CE-AC=80-56=24(m),

答：山腳A到河岸E的距離為24m；

(2)在R山CF中，8c=80,NBFC=NDBF=31°,tan/BFC=弛，

CF

.-0.6,

CF

，C產(chǎn)團33.33,

：.EF=CF-CE=\33.33-80=53.33比53.3(機)，

答：河寬EF的長度約53.3m.

23.(10分)如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,/A=60°，點。為48的中點，連接

CD,將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)a(60°<a<120°)得到線段ED,且ED交線段

BC于點G,NCQE的平分線。M交BC于點從

⑴如圖1,若a=90°,則線段瓦)與3￡>的數(shù)量關(guān)系是ED=BD，毀=昱；

CD—3—

(2)如圖2,在(1)的條件下，過點C作CF〃￡>E交ZM/于點尸，連接EF,BE.

①試判斷四邊形C0EF的形狀，并說明理由；

②求證：些=返；

FH3

(3)如圖3,若AC=2,tan(a-60°)=m,過點C作C尸〃OE交DM于點尸，連接

EF,BE,請直接寫出些的值（用含，”的式子表示）.

【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可以得到AC=CO=8D,根據(jù)旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到CD=OE,貝lJOE=8D；又在RtZ\CGO中，含30°的直角三角形邊之

間的關(guān)系可得結(jié)論；

(2)①由NCFO=/E￡>M=/C￡?M,得CF=CD=ED,又CF〃DE,則四邊形CDEF

是菱形，又NCDE=90。，可得結(jié)論：菱形CDE尸是正方形.

②由題意可得，ZEGB=ZFCH,NEBG=NCFD,則又DG=BG,

CD=CF,所以理=幽=或=1.

FHFCCD3

(3)過點。作。N_LBC于點N,由tan/N￡)G=tan(a-60°)=退=根，得NG=/n,

DN

所以。6=近肅2送1=百隸，又ABEGS^FHC,DG=BG,CD=CF,所以理=

FH

2

BG^GD=Vm+l

FCCD-2~.

【解答】解：(1)在RtAABC中，NAC8=90°,點。為A3的中點，

:.AD=CD=BD,

VZA=60°,

???NB=30°,△A8O是等邊三角形，

AZDCB=30Q,

VZCDE=a=90°,

tanZCGD=tan60°=,

_DG

.?.毀=返

*'CD~

?線段C￡>繞點。順時針旋轉(zhuǎn)a(60°<a<120°)得到線段EQ,

:,ED=CD=BD,

故答案為：ED=BD；

3

(2)①四邊形CDEF是正方形，理由如下，

???￡)M平分NCDE,NCDE=90°,

AZCDM=ZEDM=45°,

*：CF//DE,

：.ZCFD=ZEDM=45°,

???ZCFD=/EDM=NCDM,

：.CF=CD=ED,

.,?四邊形CD防是菱形，

VZCDE=90°,

???菱形COM是正方形.

②由(1)可知，ZADC=60°,ZCGD=60°,BD=DE,

???NBDE=30°,NEGB=60°,

AZDBE=ZDEB=15°,

：.ZEBG=45°,

VZGDB=90°-ZADE=30°,ZABC=30°,

JNGDB=ZABC,

:?DG=BG,

由①知NCFQ=NC。尸=45°,ZDCF=90°,

AZFCH=60°,

:?/EGB=/FCH,NEBG=/CFD,

:ABEGS/\FHC,

?.?BE-BG,

FHFC

,:DG=BG,CD=CF,

.些=弛=皎=返

',FHFCCDV

(3)如圖3,過點。作￡W，BC于點N,

圖3

：.AC//DN,

:./ACD=/CDN,

???△ACO是等邊三角形，AC=2f

：.CD=AC=2,/CDN=NACD=60°,

AZNDG=a-60°,DN=\,

/.tanZA^￡)G=tan(a-60°)=1^_=機，

DN

NG—m,

；?^^VD^+NG^Vl+m2,

VZADC=60°,ZADG=a,

：.ZBDE=\20°-a,

:.NBEG=NEBG=30°+—,

2

，NEBG=A,

2

：.ZBGE=150°-a,

,.?CM平分/CQE,ZCDE=a,

：.NCDM=NEDM=±

2

'：CF//DE,

：.ZCFD=ZEDM=—,ZDCF+ZCDE=\S0",

2

AZDCF=180°-a,

AZFCG=150°-a,

：.NEGB=NFCG,NEBG=NCFD,

：.4BEGs/\FHC,

?BE=BG

"FH而，

■:DG=BG,CD=CF,

.BE_BG_GD-Vm2+l

"FHFCCD-2~.

24.(10分)如圖，拋物線y=a?+bx+2經(jīng)過A(-1,0),B(4,0)兩點，與y軸交于點

C,連接BC.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖2,直線/：y=fcc+3經(jīng)過點A,點P為直線/上的一個動點，且位于x軸的上

方，點。為拋物線上的一個動點，當PQ〃y軸時，作QMLP。，交拋物線于點M(點M

在點。的右側(cè))，以P。，QM為鄰邊構(gòu)造矩形PQMN,求該矩形周長的最小值；

(3)如圖3,設(shè)拋物線的頂點為。，在(2)的條件下，當矩形PQMN的周長取最小值

時，拋物線上是否存在點F,使得NC8F=NOQM?若存在，請求出點尸的坐標；若不

存在，請說明理由.

圖1圖2圖3

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解;

(2)設(shè)點。的坐標為(x,-2/+當+2),則點尸的坐標為(x,3x+3),設(shè)矩形周長為

22

2

C,則C=2CPQ+QM)=2[3-2x+3x+3-(-Xr+2x+2)]=?-x+8,即可求解；

22

(3)過點力作。KJ_QA/于點K,則。K=">-)乜=至-21=」，同理可得，QK=1,

882

則在△BOC中，tan/CBO=J^_N_=上，即可求解.

-QK20B42

【解答】解：(1)設(shè)拋物線的表達式為y=a(x-xi)(x-x2),

BPy=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4)=cu？-3ax-4a,

即-4a=2,解得“=-2?，

2

故拋物線的表達式為y=-?|■x2+_1葉2；

(2)將點A的坐標代入直線/的表達式得：0=-%+3,解得％=3,

故直線/的表達式為y=3x+3,

設(shè)點。的坐標為(x,-耳+&+2),則點P的坐標為(x,3x+3),

22

由題意得，點Q、M關(guān)于拋物線對稱軸對稱，而拋物線的對稱軸為直線x=3,

2

故點"的橫坐標為3-x,則QM=3-x-x=3-2x,

設(shè)矩形周長為C,則C=2(PQ+QM)=2[3-2x+3x+3-(-Xr+^c+2)]=/-x+8,

22

V1<0,故C有最小值，

當》=工時，矩形周長最小值為絲；

24

(3)當苫=工時，y=-耳+當+2=祖，即點。的坐標為(L21),

222828

由拋物線的表達式知，點。的坐標為(旦，空)，

28

則DK—yo-yQ—~~———

-882

同理可得，QK=1,

則tan//)QM=@L」，

-QK2

■:/CBF=NDQM,

故tanZCBF=tanZDQM=^,

2

在△30C中，tan/CBO=①上=」,

0B42

故B尸和8。重合，

故點F和點A重合，

即點尸的坐標為（-1,0）.

參考答案

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，在每小題給出的四個選項中，選

出符合要求的一項）

1.在實數(shù)、石，-1.0,2中，為負數(shù)的是（）

A.遂B.-1C.0D.2

【分析】根據(jù)負數(shù)的定義，可以判斷題目中的哪個數(shù)是負數(shù).

【解答】解：在-1,0,2這四個數(shù)中，負數(shù)是-1,

故選：B.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析.

【解答】解：A.是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

B.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

D.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

故選：A.

3.下列運算結(jié)果正確的是（）

A.3a-a=2B.a2*a4=c^

C.（〃+2）（〃-2）=/-4D.（-〃）2=-

【分析】根據(jù)合并同類項原則、同底數(shù)塞的乘法運算法則、平方差公式以及幕的乘方運

算法則正確計算即可求出正確答案.

【解答】解：3a和。屬于同類項，所以3a-a=2a,故A項不符合題意,

根據(jù)同底數(shù)幕的乘法運算法則可得故B項不符合題意，

根據(jù)平方差公式Q+2)Q-2)=/-4,故C項符合題意,

(-a)2=J,故。項不符合題意，

故選：C.

4.已知不等式組其解集在數(shù)軸上表示正確的是()

l2x>-4

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小無解了確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式X-1<0,得：x<\,

解不等式2x2-4,得：x\-2,

則不等式組的解集為-2WxVl,

故選：D.

5.將一副直角三角板按如圖方式擺放，若直線a〃b,則N1的大小為()

A.45°B.60°C.75°D.105°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/l+/A8C=180。，進而可求出N1.

【解答】解：由題意知，ZABC=450+60°=105°,

'：a//b,

：.Z}+ZABC=]S0°,

/.Zl=180o-180°-105°=75°,

故選：c.

6.下列命題是真命題的是（）

A.五邊形的內(nèi)角和是720°

B.三角形的任意兩邊之和大于第三邊

C.內(nèi)錯角相等

D.三角形的重心是這個三角形的三條角平分線的交點

【分析】利用多邊形的內(nèi)角和公式、三角形的三邊關(guān)系、平行線的性質(zhì)及三角形的重心

的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項.

【解答】解：A、五邊形的內(nèi)角和為540°,故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；

8、三角形的任意兩邊之和大于第三邊，正確，是真命題，符合題意；

C、兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；