復變函數課件6-2分式線性映射目錄contents分式線性映射的定義和性質分式線性映射的導數和積分分式線性映射的應用分式線性映射的擴展和推廣分式線性映射的習題和解答分式線性映射的定義和性質01分式線性映射是復平面上的一個變換，由一個復數域上的非零復數和復平面上的一個點通過特定的運算規則構成。分式線性映射由形如$f(z)=frac{az+b}{cz+d}$的函數表示，其中$a,b,c,d$是復數，并且$ad-bcneq0$。分式線性映射的定義運算規則定義分式線性映射的性質分式線性映射滿足線性性質，即對于任意兩個復數$z_1,z_2$和任意實數$k$，有$f(kz_1+z_2)=kf(z_1)+f(z_2)$。連續性和可微性分式線性映射在復平面上通常是連續的，并且在除去有限個點之外是可微的。保角性分式線性映射保持角度不變，即如果$z_1$和$z_2$之間的角度為$theta$，那么$f(z_1)$和$f(z_2)$之間的角度也為$theta$。線性性質平移將復平面上的點$z$向左或向右平移一個單位，對應的分式線性映射為$f(z)=z+1$或$f(z)=z-1$。旋轉將復平面上的點逆時針旋轉$theta$角度，對應的分式線性映射為$f(z)=e^{itheta}z$。分式線性映射的例子分式線性映射的導數和積分02計算方法分式線性映射的導數可以通過求極限的方法計算，具體計算過程涉及到復平面上的點、向量、極限等概念。應用分式線性映射的導數在研究函數的性質、曲線和曲面的幾何形狀等方面有重要應用。定義分式線性映射的導數是指在復平面上的每一點處，該映射對復平面上任意一點的變化率。分式線性映射的導數

分式線性映射的積分定義分式線性映射的積分是指在復平面上的一條曲線上的積分，表示該映射在曲線上的累積效果。計算方法分式線性映射的積分可以通過定積分的方法計算，具體計算過程涉及到復平面上的曲線、定積分等概念。應用分式線性映射的積分在研究函數的性質、曲線和曲面的幾何形狀等方面有重要應用。分式線性映射的導數和積分的例子例子1考慮函數$f(z)=frac{z^2}{z-1}$，求其在點$z=1$處的導數。例子2考慮函數$f(z)=frac{1}{z}$，求其在曲線$|z|=1$上的積分。分式線性映射的應用03分式線性映射在幾何學中的應用分式線性映射可以用于研究幾何圖形之間的變換關系，例如平面上的相似變換、仿射變換等。分式線性映射可以幫助理解幾何學中的一些基本概念，如距離、角度、面積等在變換下的表現形式。在量子力學中，波函數通常通過分式線性變換進行描述，分式線性映射可以用于理解波函數的性質和行為。在光學中，分式線性映射可以用于描述光在不同介質之間的傳播和變換，例如折射和反射等現象。分式線性映射在物理學中的應用分式線性映射在工程學中的應用在電路分析中，分式線性映射可以用于描述電路中電壓和電流的分布和變化，幫助工程師理解和設計電路。在圖像處理中，分式線性映射可以用于圖像的縮放、旋轉和平移等操作，實現圖像的變換和編輯。分式線性映射的擴展和推廣0403參數的擴展引入更多的參數，以實現更復雜的分式線性映射，并提高映射的靈活性和適用性。01定義域的擴展將分式線性映射的定義域從有限區域擴展到無限區域，使其能夠處理更廣泛的函數。02值的擴展將分式線性映射的值域從實數域擴展到復數域，從而能夠處理復數函數的變換。分式線性映射的擴展將分式線性映射從二維平面推廣到更高維的空間，以處理更復雜的幾何變換和函數變換。推廣到高維空間將分式線性映射的非線性特性進一步發揮，以實現更復雜的非線性變換。推廣到非線性映射將分式線性映射離散化，以處理離散數據和數字信號的變換。推廣到離散化形式分式線性映射的推廣通過擴展和推廣分式線性映射，可以實現圖像的縮放、旋轉和平移等幾何變換，以及圖像增強和去噪等處理。分式線性映射在圖像處理中的應用在信號處理中，分式線性映射可以用于實現信號的濾波、頻域變換和調制解調等處理，以提高信號的質量和傳輸效率。分式線性映射在信號處理中的應用分式線性映射擴展和推廣的例子分式線性映射的習題和解答05題目1設$f(z)=frac{z^2-1}{z(z-1)}$，求$f(z)$在$z=1$和$z=0$的留數。題目2設$f(z)=frac{1}{z^2-4z+3}$，求$f(z)$在$z=2+i$和$z=2-i$的留數。題目3設$f(z)=frac{1}{z^2-2z+2}$，求$f(z)$在$z=1+i$和$z=1-i$的留數。分式線性映射的習題030201010203解答1對于題目1，首先化簡$f(z)=frac{z^2-1}{z(z-1)}=frac{(z+1)(z-1)}{z(z-1)}=frac{z+1}{z}$，然后根據留數的定義，得到在$z=1$和$z=0$的留數分別為0和-1。解答2對于題目2，首先化簡$f(z)=frac{1}{z^2-4z+3}=frac{1}{(z-1)(z-3)}=frac{1}{2}left(frac{1}{z-1}-frac{1}{z-3}right)$，然后根據留數的定義，得到在$z=2+i$和$z=2-i$的留數分別為$frac{i}{4}$和$-frac{i}{4}$。解答3對于題目3，首先化簡$f(z)=frac{1}{z^2-2z+2}=frac{1}{(z-1)^2+1}=frac{1}{2}left(frac{1}{z-1}-frac{1}{z-1+i}right)$，然后根據留數的定義，得到在$z=1+i$和$z=1-i$的留數分別為$frac{i}{4}$和$-frac{i}{4}$。分式線性映射的解答VS設$f(z)=frac{sinz}{z^3}$，求$f(z)$在原點處的留數。分析首先化簡$f(z)