第11章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)11.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)11.2諧振動(dòng)的合成11.3阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)簡(jiǎn)介吳文俊1、如何判斷一個(gè)物體是否做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；2、如何建立簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程；3、如何使用旋轉(zhuǎn)矢量法解決簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題；4、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量特征；5、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成。

物體或物體的某一部分在一定位置附近來(lái)回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)

實(shí)例:心臟的跳動(dòng)，鐘擺，樂(lè)器，地震等1機(jī)械振動(dòng)平衡位置

一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)2簡(jiǎn)諧振動(dòng)最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)合成分解諧振子作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體

彈簧振子的振動(dòng)振動(dòng)的成因：回復(fù)力+慣性令3彈簧振子的運(yùn)動(dòng)分析得即簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征：加速度與位移的大小x成正比，方向相反由胡克定律：牛頓第二定律：其通解為：諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程諧振動(dòng)微分方程彈簧振子運(yùn)動(dòng)微分方程的解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定解方程設(shè)初始條件為:解得簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程由得其中簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程

二振幅圖三周期、頻率彈簧振子周期

周期注意圖

頻率

圓頻率

周期和頻率僅與振動(dòng)系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)圖頻率為例如，心臟的跳動(dòng)80次/分周期為大象0.4~0.5

馬0.7~0.8豬1~1.3

兔1.7松鼠6.3

鯨0.13動(dòng)物的心跳頻率(參考值,單位:Hz)

昆蟲(chóng)翅膀振動(dòng)的頻率（Hz）

雌性蚊子355~415

雄性蚊子455~600

蒼蠅330

黃蜂220

相位的意義:

表征任意時(shí)刻（t）物體振動(dòng)狀態(tài).物體經(jīng)一周期的振動(dòng)，相位改變

.四相位相位初相位五常數(shù)和的確定初始條件

對(duì)給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定.已知

求討論圖取

旋轉(zhuǎn)矢量

自O(shè)x軸的原點(diǎn)O作一矢量，使它的模等于振動(dòng)的振幅A，并使矢量在Oxy平面內(nèi)繞點(diǎn)O作逆時(shí)針?lè)较虻膭蚪撬俎D(zhuǎn)動(dòng)，其角速度與振動(dòng)頻率相等，這個(gè)矢量就叫做旋轉(zhuǎn)矢量.

以

為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).

以

為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).例1

已知一物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。1）x0=(1/2)A且向位移的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；2）x0=0且向位移的正方向運(yùn)動(dòng)。試求兩種情況下的初相。X=/3X=-/2A/2例題2已知某簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖所示，試求其振動(dòng)方程。解振動(dòng)方程為：由圖可知：方法2：用旋轉(zhuǎn)矢量法輔助求解。討論

相位差：表示兩個(gè)相位之差

（1）對(duì)同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間．

（2）對(duì)于兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它們間步調(diào)上的差異（解決振動(dòng)合成問(wèn)題）.同步為其它超前落后反相

例一質(zhì)量為0.01kg的物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振幅為0.08m，周期為4s，起始時(shí)刻物體在x=0.04m處，向ox軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)（如圖）.試求

（1）t=1.0s時(shí)，物體所處的位置和所受的力；

代入解已知求（1）代入上式得可求（1）

（2）由起始位置運(yùn)動(dòng)到x=-0.04m處所需要的最短時(shí)間.

法一設(shè)由起始位置運(yùn)動(dòng)到x=-0.04m處所需要的最短時(shí)間為t法二起始時(shí)刻

時(shí)刻例題3已知一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。t=0時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為過(guò)1/2最大位移處且向位移的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。已知周期為T(mén)=2s，求再次通過(guò)1/2最大位移處且向位移的正方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻。四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量(以水平彈簧振子為例)1.動(dòng)能2.勢(shì)能3.機(jī)械能（簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒）mxO平均動(dòng)能五、兩個(gè)同頻率振動(dòng)的相位關(guān)系相位差兩個(gè)振動(dòng)1.超前和落后

txx1x2x2比x1超前

(或x1比x2落后

)O2.同相和反相

=

2k

兩振動(dòng)步調(diào)相同,稱(chēng)同相xtoA1-A1A2-A2x1x2T

=

(2k+1)

兩振動(dòng)步調(diào)相反,稱(chēng)反相x2TxoA1-A1A2-A2x1t11.2諧振動(dòng)的合成一、同方向同頻率諧振動(dòng)的合成1.兩個(gè)分振動(dòng)2.合振動(dòng)討論(1)若兩個(gè)分振動(dòng)同相,即

2

1=

2k

(k=0,1,2,…)，(2)若兩個(gè)分振動(dòng)反相,即

2

1=

(2k+1)

(k=0,1,2,…),則

A=A1+A2,兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)。則A=|A1

A2|,兩分振動(dòng)相互減弱;當(dāng)

A1=A2時(shí),

A=0。二、同方向不同頻率諧振動(dòng)的合成、拍1.分振動(dòng)2.合振動(dòng)

當(dāng)

A1、

A2

方向相同時(shí)，A有最大值

當(dāng)A1

、A2

方向相反時(shí)，A有最小值合振動(dòng)x不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)當(dāng)

2

1

時(shí),

2

1

2+

1。隨

t緩變隨t快變振幅相同頻率不同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成2.合振動(dòng)1.分振動(dòng)合振動(dòng)x

可看作是振幅緩變的近似簡(jiǎn)諧振動(dòng)。振幅xx2x1ttt拍頻

單位時(shí)間內(nèi)合振動(dòng)振幅強(qiáng)弱變化的次數(shù)，即

3.拍的現(xiàn)象

三、兩個(gè)同頻率相互垂直諧振動(dòng)的合成1.分振動(dòng)2.合運(yùn)動(dòng)軌跡討論(1)

=

2

1=k

時(shí)(2)

=k+

/2時(shí)軌跡為直線軌跡為正橢圓

=0(第一象限)

=

/2

=

=3

/2(第二象限)(第三象限)（第四象限）(3)

=k

時(shí)

=k+

/2時(shí)軌跡為直線軌跡為正橢圓四、兩個(gè)頻率不同、相互垂直諧振動(dòng)的合成有理數(shù)閉合曲線周期性運(yùn)動(dòng)無(wú)理數(shù)非閉合曲線非周期性運(yùn)動(dòng)頻率之比軌跡周期性李薩如圖形11.3阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)簡(jiǎn)介一、阻尼振動(dòng)阻尼力2.振動(dòng)的微分方程(以彈簧振子為例)1.受力特點(diǎn)線性恢復(fù)力令，，上式改寫(xiě)為fFn——阻尼常量3.阻尼振動(dòng)的方程(2)大阻尼和臨界阻尼(1)小阻尼

(n2<

02)臨界阻尼:大阻尼:在臨界阻尼狀態(tài)下，物體回到并停留在平衡位置，所需時(shí)間最短。

角頻率

振幅衰減隨時(shí)間按指數(shù)衰減二、受迫振動(dòng)（在外來(lái)策動(dòng)力作用下的振動(dòng)）1.受力特點(diǎn)

彈性力阻尼力周期性策動(dòng)力2.受迫振動(dòng)的微分方程令齊次方程通解非齊次方程特解解

+=振幅(1)位移共振(振幅取極值)討論位移共振曲線共振頻率:共振振幅:受迫振動(dòng)是諧振動(dòng)，其角頻率