2022年內蒙古包頭市第三十五中學中考三模試題

九年級數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的準考證號、姓名、考場號和座位號

填寫在答題卡上.用2B鉛筆在“考場號”和“座位號”欄相應位置填涂自己的考場號和座

位號.將條形碼粘貼在答題卡”條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相

應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改

液.不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本大題共12小題，共36分）

1.4的算術平方根是（）

A-2B.2C.±2D.72

2.蠶絲是最細的天然纖維，截面直徑約為16微米（1微米=10-6米），用科學記數法表示蠶絲截面直徑約

為（）

A.1.6x10-5米B.1.6x10-3米C.1.6*10一2米D.1.6x10^^

3而最接近下列哪個整數（）

A.0B.1C.2D.4

4.下列計算結果正確的是()

A.(a3)"-a5B.(-be)4-i-(-bc)2=-b2c2C.\+---D.

x7aa

5.下列說法正確的是（）

A.了解我市市民觀看2022北京冬奧會開幕式的觀后感，適合普查

B.若一組數據2、2、3、4、4、x的眾數是2,則中位數是2或3

C.一組數據2、3、3、5、7的方差為3.2

D.“面積相等的兩個三角形全等”這一事件是必然事件

6.如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

D.4

7.若式子J沅工+（左一1）°有意義，則一次函數y=（l-左）％+左一1的圖象可能是（）

8.如圖，在R/AABC中，ZACB=9G°,。是A8的中點，BELCD,交CD的延長線于點E.若

AC=2,BC=2V2>則BE的長為（）

A.巫B.逅C.gD.V2

32

kx+*

9.已知關于X的分式方程--+——=1的解為負數，則4的取值范圍是（）

X+1X-1

A.k>—B.k<且Z。-1C.k>—且ZwOD.k<

2222

10.如圖，已知△ABC.

（1）以點4為圓心，以適當長為半徑畫弧，交AC于點M,交A8于點N.

（2）分別以例，N為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在NB4C的內部相交于點P.

（3）作射線AP交BC于點D

（4）分別以A,。為圓心，以大于gA。的長為半徑畫弧，兩弧相交于G,”兩點.

（5）作直線GH,交AC,A8分別于點E,F.

3

依據以上作圖，若4尸=2,CE=3,BD=~,則8的長是（

2

11.如圖，AB為。。的直徑，AB=10,C,。為。。上兩動點（C,。不與A,B重合），且CQ為定長,

CE工AB于E,M是CD的中點，則EM的最大值為（）.

12.已知二次函數y=以2+法+武。#。）的圖象如圖所示，有下列結論：?abc>0；②

4a+2b+c>0；③力-a>c；@3a>-c；?a+b>m（am+h）（m。1,/"為實數），其中正確的結論

有（）個.

A2個B.3個C.4個D.5個

二、填空題（本大題共8小題，共24分）

13.在函數丫=正三中，自變量x的取值范圍是

(1「

14.11-73|+3tan30°--=_______________.

\3)

2

c(.aya-4

15.1----—3----------.

Ia+2Ja~+4a+4

16.如圖，在AABC中，AC^BC，矩形。EFG的頂點。、E在AB上，點F、G分別在5C、AC

上，若CF=4,BF=3,且DE=2EF，則EE的長為一.

17.如圖，正六邊形ABCD瓦'的邊長為2,以A為圓心，AC的長為半徑畫弧，得EC，連接AC，

AE，則圖中陰影部分的面積為

4

18.如圖，在CJABCD中，AD=5,AB=12,sinA=-.過點。作Z)E_L45,垂足為E,則

19.如圖，菱形A8CD的四個頂點均在坐標軸上，對角線AC、8。交于原點O,于E點，交

BD于M點,反比例函數y=42(x>0)的圖像經過線段。。的中點N,若BD=4,則ME的長為

20.如圖，矩形ABC。中，AC.8D相交于點O,過點3作BFLAC交CD于點F,交AC與點M,

過點力作。交AB于點E，交AC于點M連接FN、EM,則下列結論：①DN=BM?、②

EM//FN；?AE=FC-,④當AO=A￡>時，四邊形是菱形.其中，正確結論的個數是

三、解答題（本大題共6小題，共60分）

21.一個不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球，這些球除顏色外完全相同，其中紅球有1個，若從

中隨機摸出一個球，這個球是白球的概率為

（1）請直接寫出袋子中白球的個數.

（2）隨機摸出一個球后，放回并攪勻，再隨機摸出一個球，求兩次都摸到相同顏色的小球的概率.（請

結合樹狀圖或列表解答）

22.如圖，已知四邊形ABC。中，NA￡>C=90°,NA5C=90°,A3=6,CD=5,的延長線與AO的

延長線交于點E.

A

BE

(1)若NE=30°,求的長；

3

(2)若cosA=,，求AO的長.(計算過程和結果均保留根號)

23.為了“創建文明城市，建設美麗家園"，我市某社區將轄區內的一塊面積為lOOOm?的空地進行綠化，一

部分種草，剩余部分栽花，設種草部分的面積為x(m2),種草所需費用)，1(元)與x(m2)的函數關系式

k}x(0<x<600)

為y?I^^(600.^1000)'其圖象如圖所示：栽花所需費用”(元)與'5)的函數關系式為

(1)請直接寫出上、22和%的值;

(2)設這塊1000m2空地的綠化總費用為皿(元)，請利用W與x的函數關系式，求出綠化總費用W的最大

值；

(3)若種草部分的面積不少于700m2,栽花部分的面積不少于lOOnf,請求出綠化總費用W的最小值.

24.如圖所示，在四邊形A3CD中，AD//BC,ZDAB90°,A8是的直徑，CO平分NBCD.

(1)求證：直線CO與0。相切；

(2)如圖(2),記(1)中的切點為E,P為優弧ABE上一點，A加2,BC=3.求tan/APE的值.

25.如圖①，在矩形ABC。中，4)=小3,點M,P分別在邊上(均不與端點重合)，且

AP=nAM,以AP和為鄰邊作矩形AMNP,連接AN,CN.

圖①圖②圖③

(1)【問題發現】如圖②，當〃=1時，BM與PD數量關系為,CN與PZ)的數量關系為

(2)【類比探究】如圖③，當〃=3時，矩形AAWP繞點4順時針旋轉，連接PO,則CN與PO之間的

數量關系是否發生變化？若不變，請就圖③給出證明；若變化，請寫出數量關系，并就圖③說明理由；

(3)【拓展延伸】在(2)條件下，已知AZ>=9,AP=6,當矩形AAWP旋轉至C,N,"三點共線

時，請直接寫出線段CN的長.

26.如圖，拋物線y=ox2+/zx+3交x軸于A(3,0),8(-1,0)兩點，交y軸于點C.

(1)求拋物線的解析式和對稱軸.

(2)若R為拋物線上一點，滿足NBCH=45°,求R的坐標.

(3)若點尸在拋物線的對稱軸上，點。是平面直角坐標系內的任意一點，是否存在點P使得A、C、

尸、。為頂點的四邊形是矩形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點。的坐標，若不存在，請說明理

由.

參考答案

一、選擇題（本大題共12小題，共36分）

1.4的算術平方根是（）

A-2B.2C.±2D.72

【答案】B

【解析】

【詳解】4的算術平方根是2.

故選B.

【點睛】本題考查求一個數的算術平方根.掌握算術平方根的定義是解題關鍵.

2.蠶絲是最細的天然纖維，截面直徑約為16微米（1微米=10-6米），用科學記數法表示蠶絲截面直徑約

為（）

A.1.6x10-5米B.1.6x10-3米C.1.6x102米D.ISxlCT米

【答案】A

【解析】

【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為4X10”,與較大數的科學記數法不

同的是其所使用的是負指數黑，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.

【詳解】微米=10/米

；.16微米=16X10^米=1.6x10-5米

故選A

【點睛】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為aXIO",其中〃為由原數左邊起第

一個不為零的數字前面的0的個數所決定.

3.Vii最接近下列哪個整數（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【解析】

【分析】首先根據確定jn■的范圍，即可得出答案.

【詳解】因為

所以3＜而＜4，

所以在整數0,124中，而更接近4.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了無理數的估算，確定而的范圍是解題的關鍵.

4.下列計算結果正確的是（）

A.(a3)—o'B.(—be)44-(—Z?c)2=—b2c2C.1+—=—D.

\，aa

.1a

【答案】D

【解析】

【分析】根據幕的乘方、積的乘方、單項式除法、分式加法以及分式乘除混合運算的知識逐項排除即可.

【詳解】解：A.(a3)2=a6,故A選項錯誤；

B.(-be)4+(一機')2=h4C42c2=〃c2,故B選項錯誤；

c.1+,=^+'="1,故c選項錯誤；

aaaa

D.a+b[=*，；=去,故D選項正確.

故答案為D.

【點睛】本題考查了累的乘方、積的乘方、單項式除法、分式加法以及分式乘除混合運算等知識點，掌握

相關運算法則是解答本題的關鍵.

5.下列說法正確的是()

A.了解我市市民觀看2022北京冬奧會開幕式的觀后感，適合普查

B.若一組數據2、2、3、4、4、x的眾數是2,則中位數是2或3

C.一組數據2、3、3、5、7的方差為3.2

D.“面積相等兩個三角形全等”這一事件是必然事件

【答案】C

【解析】

【分析】根據全面調查與抽樣調查、中位數與眾數、方差、必然事件的定義逐項判斷即可得.

【詳解】解：A、了解我市市民觀看2022北京冬奧會開幕式的觀后感，適合抽樣調查，則此項說法錯誤，

不符題意；

B、因為一組數據2、2、3、4、4、%的眾數是2,

所以x=2,

將這組數據按從小到大進行排序為2,2,2,3,4,4,則第三個數和第四個數的平均數為中位數，

所以中位數是三2+23=2.5,則此項說法錯誤，不符題意；

C、這組數據的平均數為2+3+；+5+7=4,

則方差為(x[(2—4)2+(3-4)2+(3—4尸+(5-4)2+(7—4)2]=3.2,此項說法正確，符合題意；

D、“面積相等的兩個三角形不一定全等“，則這一事件是隨機事件，此項說法錯誤，不符題意;

故選：c.

【點睛】本題考查了全面調查與抽樣調查、中位數與眾數、方差、必然事件，熟練掌握各定義和計算公式

是解題關鍵.

6.如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

【答案】A

【解析】

【分析】由三視圖易得此幾何體為底面是一個等腰直角三角形的直三棱柱，根據體積=底面積x高，把相關

數值代入即可求解.

【詳解】解：由三視圖可確定此幾何體為底面是一個等腰直角三角形的直三棱柱，等腰直角三角形的直角

邊長為1,高為2,

則，等腰直角三角形的底面積=《xlxl=:，

22

體積=底面積、高=1?21,

故選：A

【點睛】此題主要考查了由三視圖判斷幾何體，以及求三棱柱的體積，讀懂題意，得出該幾何體的形狀是

解決本題的關鍵.

7.若式子JTN+（左一1）°有意義，則一次函數y=（l—的圖象可能是（）

【答案】C

【解析】

【分析】先求出％的取值范圍，再判斷出1-攵及攵-1的符號，進而可得出結論.

【詳解】解：???式子J沅萬+（4—1）°有意義，則%>1.

1—<0?k—1>0,

；.一次函數y=（l—Z）x+Z—1的圖象經過第一、二四象限.

故選：C.

【點睛】本題考查的是一次函數的圖象，熟知一次函數的圖象與系數的關系是解答此題的關鍵.

8.如圖，在中，NACB=90°,。是A8的中點，BELCD,交8的延長線于點E.若

AC=2,BC=2>/2>則5E的長為（）

A.亞B.凡C.73D.V2

32

【答案】A

【解析】

【分析】根據題意將BD,BC算出來，再利用勾股定理列出方程組解出即可.

【詳解】VAC=2,BC=2V2,

AB="+（2用=2"

：D是AB的中點，

；.AD=CD=BD=G

由題意可得：

BE2+DE2=3

8爐+（。￡+廚=8

兩式相減得：+—OS?=8-3,

解得DE=立,BE=亞，

33

故選A.

【點睛】本題考查直角三角形中點性質和勾股定理，關鍵在于找出等式列出方程組.

k元+〃

9.已知關于x的分式方程——+——=1的解為負數，則A的取值范圍是（）

x+1x-\

A.k>-1B.%<一,且％#-1C.且ZwOD.k<--

2222

【答案】C

【解析】

【分析】先解分式方程化簡，再求解，最后根據解為負數求得k的取值范圍.

…kx+k1

【詳解】?/——+-----=1,

x+1x-1

Z:(x-l)+(x+/：)(%+l)=(x-1)(x4-1)

(2Z+l)x=-l,

1

..x=----------，

2Z+1

.?>,且我。0,

2

故選：C.

【點睛】本題考查分式方程的求解，將分式方程化簡后再求解是解本題的關鍵.

10.如圖，已知△ABC.

(1)以點A為圓心，以適當長為半徑畫弧，交4c于點M,交AB于點、N.

(2)分別以M,N為圓心，以大于/MN的長為半徑畫弧，兩弧在/BAC的內部相交于點P.

(3)作射線AP交BC于點D

(4)分別以A,。為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于G,H兩點.

(5)作直線GH,交AC,AB分別于點E,F.

3

依據以上作圖，若AF=2,CE=3,BD=~,則8的長是()

2

【答案】C

【解析】

【分析】首先根據題意可知4力平分/A4C，EF垂直平分AD,再證明四邊形4EDF為菱形，可知AE,然

后根據平行線分線段成比例得絲=—,再代入數值求出答案.

DBEA

【詳解】由作法得A。平分NBAC,EF垂直平分AQ,

：.ZEAD=ZFAD,EA=ED,FA=FD.

'：EA=ED,

:./EAD=ZEDA,

：.ZFAD=ZEDA,

：.DE//AF,

同理可得AE〃。凡

...四邊形AEC尸為平行四邊形,

而EA=ED,

.??四邊形AECF為菱形，

：.AE=AF^2.

,JDE//AB,

【點睛】本題主要考查了尺規作角平分線，作線段垂直平分線，特殊平行四邊形的判定，平行線分線段成

比例等，根據兩直線平行列出比例式是解題的關鍵.

11.如圖，AB為。。的直徑，AB=10,C,。為。。上兩動點（C,。不與A,B重合），且C￡＞為定長，

CEL4B于E,M是C￡＞的中點，則的最大值為（）.

A.4B.4.5C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】如圖，延長CE交。。于J,連接DZ.利用三角形的中位線定理解決問題即可.

【詳解】解：如圖，延長CE交。。于J,連接D/.

?：AB1.CJ,

:.CE=EJ,

■：CM=DM,

：.EM=^DJ,

.?.當D/是直徑時，EM的值最大，

.?.EM的最大值為5.

故選：C.

【點睛】本題考查圓的有關知識、垂徑定理、三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是發現當D7是直

徑時，EM的值最大.

12.已知二次函數,=必2+云+c（a/O）的圖象如圖所示，有下列結論：①出七>0；②

4a+2b+c>0：③〃一a>c；?3a>-c；?a+b>m{am+b）（mHl,m為實數），其中正確的結論

有（）個.

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【解析】

【分析】直接根據二次函數的圖像與系數的關系及性質進行求解即可.

【詳解】解：由圖像可知：對稱軸為直線》=1,

即2。+/?=0,a<0,b>0,c>0f

.??①。加VO,,

故錯誤.

②由二次函數的圖像可知與x軸的一個交點在0和-1之間，根據二次函數的對稱性可知拋物線與x軸的另

外一個交點在2和3之間，

，當x=2時，即y=4Q+2/?+C>0,

故正確.

③?.?無=_］時y<0,即a-b+c<0,

:.b-a>c,

故正確.

④=時，y<0,即y=。一人+c<0,

又；對稱軸x=l,

\--=1,

2a

2a+b=0,

/.3。+cv0,

/.3a<-c,

故錯誤.

⑤由圖像可得當x=l時，函數取得最大值，即y=Q+〃+c,

當尤=機時，y=+bm+c(mw1),

/.a+b>arr^+bm,

:.a+b>m^ma+l)).

故正確.

所以正確的有：②③⑤.

故選：B.

【點睛】本題主要考查二次函數的圖像跟性質，熟練掌握二次函數的圖像與系數的關系及性質是解題的關

鍵.

二、填空題(本大題共8小題，共24分)

13.在函數y=五三1中，自變量X的取值范圍是.

X-1

【答案】x>2

【解析】

【分析】根據二次根式的性質和分式有意義的條件：被開方數大于或等于0,分母不等于0,可以求出x

的范圍.

【詳解】解：???>=正三有意義，

x-\

，x—220且X-1和，

自變量x的取值范圍是XN2.

【點睛】本題考查了函數自變量的取值范圍，函數自變量的范圍一般從三個方面考慮：

(1)當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；

(2)當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

(3)當函數表達式是二次根式時，被開方數非負.

14.|l-V3|+3tan30o-f--l=______________.

I3j

【答案】26-10##-10+26

【解析】

【分析】根據I一6|=百—1,tan300="，(一；)一2=9,再計算即可.

【詳解】原式=次_1+3x理一9

3

=出-1+6-9

=2?10.

故答案為：26-10.

【點睛】本題主要考查了實數的計算，掌握絕對值的性質，特殊角的三角函數值，負整數次賽的運算是解

題的關鍵.

f,ay?2-4

15.1----------------=_____________.

Iq+2jQ“+4Q+4

【答案】言2

【解析】

【分析】先把括號里的通分，之后將除法轉化為乘法，并把分子、分母約分化簡即可.

【詳解】解/1一，，/士=空三.占.士

IQ+2)a+4a+4Q+2(Q-2)(Q+2)Q+2(a-2)(Q+2)CI—2

2

故答案為：.

a-2

【點睛】本題考查了分式的混合運算：分式的混合運算，要注意運算順序，式與數有相同的混合運算順

序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的；最后結果分子、分母要進行約分，注意運算

的結果要化成最簡分式或整式，掌握分式運算的法則是解題的關鍵.

16.如圖，在AABC中，AC=BC，矩形。EFG的頂點。、E在A3上，點尸、G分別在BC、AC

上，若CF=4,BF=3,且DE=2EF，則斯的長為

G,

1?

【答案】y

【解析】

7x

【分析】根據矩形的性質得到GF〃A8,證明△CGFsaCAB,可得AB=一,證明△AOG會/XBEF,得

2

3

JI]AD=BE^-x,在△BE尸中，利用勾股定理求出x值即可.

4

【詳解】解：???￡>E=2EF,設EF=x,則。E=2r,

:四邊形OEFG是矩形，

J.GF//AB,

：./\CGF^^CAB,

.GFCF44nn2x4

??===fp>J=f

ABCB4+37AB7

AB=—,

2

AD+BE=AB-DE=--2x=-x,

22

：4C=BC,

AZA=ZB,又DG=EF,ZADG=ZBEF=90°,

:./\ADG沿4BEF(MS),

133

??AD—BE——x—x——x,

224

在△8EF中，BE2+EF2^BF2>

解得：4了或一二（舍）,

12

故答案為:

5

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，等邊

對等角，解題的關鍵是根據相似三角形的性質得到AB的長.

17.如圖，正六邊形A8C。所的邊長為2,以A為圓心，AC的長為半徑畫弧，得EC，連接AC，

AE，則圖中陰影部分的面積為.

【答案】2"

【解析】

【分析】由正六邊形ABCDE尸的邊長為2,可得A8=BC=2,尸=120。，進而求出/BAC=30。，

ZCAE=60°,過B作2HJ_AC于H,由等腰三角形的性質和含30。直角三角形的性質得到AH=CH,

BH=\,在中，由勾股定理求得A”=G，得至ljAC=26,根據扇形的面積公式即可得到陰影部分

的面積

【詳解】解：?.?正六邊形A8CCEF的邊長為2,

（6-2）x180°

AB=BC=2,NABC=NBAF=\-------』---------=120°=120°,

6

ZABC+ZBAC+ZBCA=180°,

：.ZBAC=^(180°-ZABC)=yX(180°-120°)=30°,

過B作2H_LAC于”，

：.AH=CH,8H=；AB=；x2=l,

在Rt&ABH中，

AH=^AB'-BH-=722-12=百，

；.4C=2月,

同理可證，/E4F=30°,

ZCAE=ZBAF-ZBAC-ZEAF=120o-300-30o=60°,

2

??q21

。扇形CAE360

.?.圖中陰影部分的面積為2兀，

故答案為：27r.

【點睛】本題考查的是正六邊形的性質和扇形面積的計算、等腰三角形的性質、勾股定理，掌握扇形面積

公式是解題的關鍵.

4

18.如圖，在oABCD中，AD=5,AB=\2,sinA=~.過點。作垂足為E,則

【答案】嚕

【解析】

【分析】首先根據題目中的sinA,求出ED的長度，再用勾股定理求出AE,即可求出E8,利用平行四

邊形的性質，求出CD,在中，用勾股定理求出EC,再作8FLCE,在△8EC中，利用等面積法

求出B尸的長，即可求出sin/BCE.

【詳解】DELAB,

...△ADE為直角三角形，

,4

又AD=5,sinA=y,

一4DEDE

sinA=—=---=---,

5AD5

解得DE=4,

在心中，由勾股定理得：

AE=^ADr-DE1=五一下=3，

又'；AB=12,

BE=AB-AE=12-3=9,

又；四邊形ABCD為平行四邊形，

CD=AB=12,AD=BC=5

在中，由勾股定理得：

EC=y/CD2+DE2=A/122+42=4710，

過點8作BF_LCE,垂足為凡如圖

在△E8C中:

SAEBC=$BgPE=；倉中4=18;

又?：SAEBC=；gCE驗尸=；?4屈聊=2屈BF

，2MBF=18,

解得BF=2叵，

10

在R3FC中,

sin?BCF變=迎？59V10

BC1050

故填：噤

【點睛】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質，勾股定理，三角形的等面積法求一邊上的高線，解

題關鍵在于熟練掌握解直角三角形的計算，平行四邊形的性質，勾股定理的計算和等面積法求一邊上的

高.

19.如圖，菱形ABC。的四個頂點均在坐標軸上，對角線AC、BO交于原點O,AELBC于E點，交

30于M點，反比例函數y=、3（x>0）的圖像經過線段。。的中點M若BD=4,則ME的長為

3x

【解析】

【分析】根據菱形的性質，可得點。（0,2）,設點C（，%0）,根據點N為C0的中點，可得點

再由反比例函數y=^(x>0)的圖像經過點N,可得C［竽,0),從而得到AC=華

tanZOBC=—=-1可證得△ABC為等邊三角形，再根據等邊三角形的性質，即可求解.

OB3

【詳解】解：在菱形ABCO中，AB=BC,BD1AC,OB=OD=-BD=2,NABC=2NOBC,

2

二點。(0,2),

設點C(m,0),

???點N為CO的中點，

.?.點

?.?反比例函數y=g(x>0)的圖像經過點N,

解得：機=2叵，即點c(竺,()],

3I3)

：.℃=空,

3

-4G.”,OC百

,,AC-------,tanX.OBC==—，

3OB3

???N050300,

AZABC=60°,

???△ABC為等邊三角形，

?arA廠4百

3

?/AEA.BC,

???BE=-BC=—

23

Z.EM=BE-tanZOBC=-.

3

2

故答案為：—

【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖象和性質，等邊三角形的判定和性質，菱形的性質，解直角三角

形，熟練掌握反比例函數的圖象和性質，等邊三角形的判定和性質，菱形的性質是解題的關鍵.

20.如圖，矩形ABC。中，AC.8。相交于點O,過點3作交于點F,交AC與點M,

過點。作。E||8廣交AB于點E,交AC于點N,連接FN、EM,則下列結論：①DN=BM；②

EM//FN-,③A￡=FC；④當AO=A。時，四邊形。￡3尸是菱形.其中，正確結論的個數是

【答案】4

【解析】

【分析】根據矩形的性質得到AB=CD,AB//CD,ZDAE=ZBCF=9Q°,OD=OB=OA=OC,AD=

BC,AD//BC,根據平行線的性質得到。ELAC,根據垂直的定義得到NOV4=/BMC=90°,由全等三

角形的性質得到ON=BM,ZADE=ZCBF,故①正確；證(ASA),得出AE=FC,DE=

BF,故③正確；證四邊形NEMF是平行四邊形，得出EM〃FN,故②正確；證四邊形。E8F是平行四邊

形，證出/OON=NAB￡>,則。E=BE,得出四邊形。EB尸是菱形；故④正確；即可得出結論.

【詳解】解：???四邊形ABC。是矩形，

：.AB=CD,AB//CD,NDAE=NBCF=90°,OD^OB=OA=OC,AD^BC,AD//BC,

：.NDAN=NBCM,

\'BF±AC,DE//BF,

：.DE±AC,

/￡W4=NBMC=90°,

在△ONA和△BMC中，

ADAN=/BCM

<NDNA=ZBMC,

AD=BC

：.f\DNA^/\BMC(AAS),

:.DN=BM,NADE=NCBF,故①正確；

在△AQE和△CB尸中，

ZADE=ZCBF

<AD=BC,

ZDAE=NBCF

：./\ADE^/\CBF(ASA),

：.AE=FC,OE=B凡故③正確；

DE-DN=BF-BM,即NE=MF,

\'DE//BF,

：.四邊形NEMF是平行四邊形，

:.EMHEN,故②正確；

?：AB=CD,AE=CF,

：.BE=DF,

'：BE//DF,

...四邊形OEB尸是平行四邊形，

"：AO=AD,

：.AO=AD=OD,

...△A。。是等邊三角形，

AZADO=ZDAN=60°,

：.ZABD=90°-/A00=30°,

VDEIAC,

：.ZADN^ZODN=30°,

：.NODN=Z.ABD,

:.DE=BE,

...四邊形。EB尸是菱形；故④正確；

故答案為：4.

【點睛】本題考查了矩形的性質、菱形的判定、平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等

邊三角形的判定與性質、等腰三角形的判定等知識；熟練掌握矩形的性質和菱形的判定，證明三角形全等

是解題的關鍵.

三、解答題（本大題共6小題，共60分）

21.一個不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球，這些球除顏色外完全相同，其中紅球有1個，若從

中隨機摸出一個球，這個球是白球的概率為

（1）請直接寫出袋子中白球的個數.

（2）隨機摸出一個球后，放回并攪勻，再隨機摸出一個球，求兩次都摸到相同顏色的小球的概率.（請

結合樹狀圖或列表解答）

【答案】（1）袋子中白球有2個；（2）

9

【解析】

【分析】（1）設袋子中白球有，個，根據概率公式列方程解方程即可求得答案；

（2）根據題意畫出樹狀圖，求得所有等可能結果與兩次都摸到相同顏色的小球的情況，再利用概率公

式即可求得答案.

【詳解】解：（1）設袋子中白球有x個，

根據題意得：——=一,

x+13

解得：x=2,

經檢驗，k2是原分式方程的解,

袋子中白球有2個；

（2）畫樹狀圖得：

白白

/T\/T\/N

白白紅白白紅白白紅

:共有9種等可能的結果，兩次都摸到相同顏色的小球的有5種情況，

.??兩次都摸到相同顏色的小球的概率為：

22.如圖，已知四邊形ABC。中，NAOC=90°,NABC=90°,AB=6,a）=5,的延長線與AD的

延長線交于點E.

3

（2）若cosA=1,求AO的長.（計算過程和結果均保留根號）

【答案】（1）6百-8

【解析】

【分析】（1）根據銳角三角函數求得BE和CE的長，根據8C=BE-CE即可求得8c的長;

（2）根據三角函數的性質求出AE,OE即可求解.

【小問1詳解】

/、oo.BE

（1）,**=60，/ABE=90，A8=6,tanA=---，

AB

***NE=30,BE=tan60x6=6^/3，

CD

VZCDE=90°,8=4,sin￡=—,NE=30°，

.".CE=8,

:.BC=BE-CE=6也-8;

【小問2詳解】

3AR

???NABE=900,A5=6,cos=-=—,

5AE

???A￡=10,

,:AE2=AB2+BE2

???BE=8,

.「AB6CD4

..tanE=—=—==

BE8DEDE

解得。石=3，

3

AD=AE-DE=lO--=—.

33

【點睛】此題主要考查三角函數的應用，解題的關鍵是熟知解直角三角形的方法.

23.為了“創建文明城市，建設美麗家園”，我市某社區將轄區內的一塊面積為lOOOm?的空地進行綠化，一

部分種草，剩余部分栽花，設種草部分的面積為x（m?）,種草所需費用％（元）與x（m2）的函數關系式

k,x（O<x<600）

為乂=《,，/々、八J其圖象如圖所示：栽花所需費用”（元）與X（m2）的函數關系式為

K2x+b[600<x<1000）

”=-0.0lx2-20x+30000（0W爛1000）.

⑴請直接寫出心、心和匕的值；

（2）設這塊10001/空地的綠化總費用為W（元），請利用W與x的函數關系式，求出綠化總費用W的最大

值；

（3）若種草部分的面積不少于700m2,栽花部分的面積不少于1001/,請求出綠化總費用卬的最小值.

【答案】（1）e=20,氏6000（2）W取最大值為32500元；（3）當x=900時，卬取得最小值27900元.

【解析】

【分析】（1）將x=600、產18000代入可得h；將x=600、產18000和;v=1000、y=26000代入

）,i=kzx+b可得依、b.

（2）分0方<600和600<x<1000兩種情況，根據“綠化總費用=種草所需總費用+種花所需總費用”結合二次

函數的性質可得答案；

（3）根據種草部分的面積不少于700,層，栽花部分的面積不少于100病求得x的范圍，依據二次函數的性

質可得.

【詳解】解：(1)將4600、產18000代入yi=Aix,得：18000=600^,解得：心=30；

600%,+6=18000

將-6。。、曰8。。。和日。。。、產26。。。代入，得：00G&+):2600。

&=20

解得:

b=6000

(2)當0夕<600時，

W=30x+(-0.0lx2-20x+30000)=-0.01x2+10x+30000,

：-0.01<0,W=-0.01(x-500)2+32500,

當戶500時，W取得最大值為32500元；

當600W立1000時，

W=20x+6000+(-0.01/-20x+30000)=-0.0U2+36000,

；-0.01<0,

當6003000時,W隨x的增大而減小，

.?.當x=600時，W取最大值為32400,

V3240002500,

；.卬取最大值為32500元；

(3)由題意得：1000-應100,解得：立900,

由於700,

則700SE900,

,/當700SE900時，印隨x的增大而減小，

當x=900時，W取得最小值27900元.

【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，二次函數的實際應用，利用二次函數的增減性求最

值，利用配方法求二次函數的最值.

24.如圖所示，在四邊形A8CD中，AD//BC,NDW=90°,AB是0。的直徑，CO平分N8CD.

(1)求證：直線CD與00相切；

(2)如圖(2),記(1)中的切點為E,P為優弧46E上一點，AD=2,BC=3.求tan/APE的值.

【答案】（1）見解析（2）如

3

【解析】

【分析】（1）作OELCD于E,證△0C￡g40CB（A4S）,得出0E=03,從而證出結論.

（2）作OEJ.BC于尸，連接BE,則四邊形ABED是矩形，AB=DF,BF=AD=2,CF=1,證4）、BC

是OO的切線，計算出E￡>=40=2,EC=BC=3,CD=5,DF=25得出08="，證

NQBH=ZBCH,圓周角定理得=，最后由三角函數定義計算出結果.

【小問1詳解】

證明：作OEJ_CD于E,如圖1所示：

則NOEC=90。，

?：AD//BC，NZMB=9（）。，

/.NOBC=180。—ZDAB=90°,

NOEC=NOBC,

：CO平分/BCD,

4OCE=4OCB,

在△OC￡和AOCB中，

AOEC=ZOBC

<ZOCE=NOCB,

oc=oc

：.AOCE/△OCB（A4S）,

OE-OB,

又,：OELCD,

直線co與oo相切.

【小問2詳解】

解：作OELBC于F,連接BE,如圖2所示：

則四邊形ABFD是矩形，

：.AB=DF,BF=AD=2,

：.CF=BC-BF=3-2=\,

-：AD//BC，ZZMB=90。，

AADYAB,BC±AB,

：.AD.BC是O。的切線，

由（1）得：CO是O。的切線，

：.ED=AD^2,EC=BC=3,

:.CD=ED+EC=5,

?*-DF=VCD2-CF2=V52-l2=276，

，AB=DF=276，

OB=-76,

,：CO平濟4BCD,

：.CO±BE,

：.ZBCH+NCBH=NCBH+OBH=90°,

:.NOBH=ZBCH,

ZAPE=ZABE=ABCH,

AtanTAPE=tanZBCH.

(1)(2)

【點睛】本題考查了切線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，切線長定理，勾

股定理，圓周角定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握切線的判定與性質和三角函數的定義.

25.如圖①，在矩形ABC。中，點M,P分別在邊上(均不與端點重合)，且

AP=nAM,以AP和A"為鄰邊作矩形AAWP,連接AN,CN.

圖①圖②圖③

(1)【問題發現】如圖②，當〃=1時，BM與PO的數量關系為，CN與RD的數量關系為

(2)【類比探究】如圖③，當〃=3時，矩形AAWP繞點A順時針旋轉，連接PD，則CN與PD之間的

數量關系是否發生變化？若不變，請就圖③給出證明；若變化，請寫出數量關系，并就圖③說明理由；

(3)【拓展延伸】在(2)的條件下，已知AD=9,AP=6,當矩形4WNP旋轉至C,N,M三點共線

時，請直接寫出線段CN的長.

【答案】（1）BM=PD,CN=6PD

（2）變化，CN=&PD，見解析

2

（3）V19-2^V19+2

【解析】

【分析】（1）由線段的和差關系可得DP=BM,由正方形的性質可得CN=J^PD；

（2）通過證明△ANCs△△P￡）,可得0.=生=好，即可求解；

PDAD2

（3）分兩種情況討論，由勾股定理可求解.

【小問1詳解】

BM=PD,CN=OPD'

理由如下：

當”=1,則AO=A8,AP=AM,

：.AD-AP=AB-AM,

:.DP=BM,

???四邊形ABC力是矩形，四邊形AMNP是矩形，

：.AD^CD=AB,AP=AM=NP,/4￡>C=N4PN=90°,

：.AC=y/2AD,AN=JiAP,

：.AC-AN=yj2（AD-AP）,

:.CN=6PD,

故答案為：BM=PD,CN=6PD；

【小問2詳解】

CN與PD之間的數量關系發生變化，CN=裊PD，

2

理由如下：如圖（1）在矩形ABCQ和矩形AMNP中，

?當〃=2.AD=2AB,AP=2AM,

：.AC=—AD，AN=—AP，

22

.ACAN也

?..----=-----=----f

ADAP2

如圖（3）連接AC,

*/矩形AMNP繞點A順時針旋轉,

：.ZNAC=ZPAD,

：./\ANC^/\APD,

也

?.?-C-N----A-C-二---,