如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!2/21如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!相似性和相異性的度量相似性和相異性是重要的概念，因為它們被許多數據挖掘技術所使用，如聚類、最近鄰分類和異常檢測等。在許多情況下，一旦計算出相似性或相異性，就不再需要原始數據了。這種方法可以看作將數據變換到相似性（相異性）空間，然后進行分析。首先，我們討論基本要素--相似性和相異性的高層定義，并討論它們之間的聯系。為方便起見，我們使用術語鄰近度（proximity）表示相似性或相異性。由于兩個對象之間的鄰近度是兩個對象對應屬性之間的鄰近度的函數，因此我們首先介紹如何度量僅包含一個簡單屬性的對象之間的鄰近度，然后考慮具有多個屬性的對象的鄰近度度量。這包括相關和歐幾里得距離度量，以及Jaccard和余弦相似性度量。前二者適用于時間序列這樣的稠密數據或二維點，后二者適用于像文檔這樣的稀疏數據。接下來，我們考慮與鄰近度度量相關的若干重要問題。本節最后簡略討論如何選擇正確的鄰近度度量。1)基礎1.定義兩個對象之間的相似度（similarity）的非正式定義是這兩個對象相似程度的數值度量。因而，兩個對象越相似，它們的相似度就越高。通常，相似度是非負的，并常常在0（不相似）和1（完全相似）之間取值。兩個對象之間的相異度（dissimilarity）是這兩個對象差異程度的數值度量。對象越類似，它們的相異度就越低。通常，術語距離（distance）用作相異度的同義詞，正如我們將介紹的，距離常常用來表示特定類型的相異度。有時，相異度在區間[0,1]中取值，但是相異度在0和之間取值也很常見。2.變換通常使用變換把相似度轉換成相異度或相反，或者把鄰近度變換到一個特定區間，如[0,1]。例如，我們可能有相似度，其值域從1到10，但是我們打算使用的特定算法或軟件包只能處理相異度，或只能處理[0,1]區間的相似度。之所以在這里討論這些問題，是因為在稍后討論鄰近度時，我們將使用這種變換。此外，這些問題相對獨立于特定的鄰近度度量。通常，鄰近度度量（特別是相似度）被定義為或變換到區間[0,1]中的值。這樣做的動機是使用一種適當的尺度，由鄰近度的值表明兩個對象之間的相似（或相異）程度。這種變換通常是比較直截了當的。例如，如果對象之間的相似度在1（一點也不相似）和10（完全相似）之間變化，則我們可以使用如下變換將它變換到[0,1]區間：s'=(s-1)/9，其中s和s'分別是相似度的原值和新值。一般來說，相似度到[0,1]區間的變換由如下表達式給出：s'=(s-min_s)/(max_s-min_s)，其中max_s和min_s分別是相似度的最大值和最小值。類似地，具有有限值域的相異度也能用d'=(d如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!3/21如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!-min_d)/(max_d

-min_d)映射到[0,1]區間。然而，將鄰近度映射到[0,1]區間可能非常復雜。例如，如果鄰近度度量原來在區間[0

1000]上取值，則需要使用非線性變換，并且在新的尺度上，值之間不再具有相同的聯系。對于從0變化到1000的相異度度量，考慮變換d'=d/(1+d)，相異度0、0.5、2、10、100和1000分別被變換到0、0.33、0.67、0.90、0.99和0.999。在原來相異性尺度上較大的值被壓縮到1附近，但是否希望如此則取決于應用。另一個問題是鄰近度度量的含義可能會被改變。例如，相關性（稍后討論）是一種相似性度量，在區間[-1,1]上取值，通過取絕對值將這些值映射到[0,1]區間丟失了符號信息，而對于某些應用，符號信息可能是重要的。將相似度變換成相異度或相反也是比較直截了當的，盡管我們可能再次面臨保持度量的含義問題和將線性尺度改變成非線性尺度的問題。如果相似度（相異度）落在[0,1]區間，則相異度（相似度）可以定義為d=1-s（或s=1-d）。另一種簡單的方法是定義相似度為負的相異度（或相反）。例如，相異度0，1，10和100可以分別變換成相似度0,-1,-10和-100。負變換產生的相似度結果不必局限于[0,1]區間，但是，如果希望的話，則可以使用變換s=1/(d+1)，。對于變換s=1/(d+1)，相異度0,1,10,100分別被變換到1,0.5,0.09,0.01；對于，它們分別被變換到1.00,0.37,0.00,0.00；對于s=，它們分別被變換到1.00,0.99,0.00,0.00。在這里的討論中，我們關注將相異度變換到相似度。一般來說，任何單調減函數都可以用來將相異度轉換到相似度（或相反）。當然，在將相似度變換到相異度（或相反），或者在將鄰近度的值變換到新的尺度時，也必須考慮一些其他因素。我們提到過一些問題，涉及保持意義、擾亂標度和數據分析工具的需要，但是肯定還有其他問題。2)

簡單屬性之間的相似度和相異度通常，具有若干屬性的對象之間的鄰近度用單個屬性的鄰近度的組合來定義，因此我們首先討論具有單個屬性的對象之間的鄰近度。考慮由一個標稱屬性描述的對象，對于兩個這樣的對象，相似意味什么呢？由于標稱屬性只攜帶了對象的相異性信息，因此我們只能說兩個對象有相同的值，或者沒有。因而在這種情況下，如果屬性值匹配，則相似度定義為1，否則為0；相異度用相反的方法定義：如果屬性值匹配，相異度為0，否則為1。如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!3/21如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!對于具有單個序數屬性的對象，情況更為復雜，因為必須考慮序信息。考慮一個在標度{poor,fair,OK,good,wonderful}上測量產品（例如，糖塊）質量的屬性。一個評定為wonderful的產品P1與一個評定為good的產品P2應當比它與一個評定為OK的產品P3更接近。為了量化這種觀察，序數屬性的值常常映射到從0或1開始的相繼整數，例如，{poor=0,fair=1,OK=2,good=3,wonderful=4}。于是，P1與P2之間的相異度d(P1,P2)=3-2=1，或者，如果我們希望相異度在0和1之間取值，d(P1,P2)=(3-2)/4=0.25；序數屬性的相似度可以定義為s=1-d。序數屬性相似度（相異度）的這種定義可能使讀者感到有點擔心，因為這里我們定義了相等的區間，而事實并非如此。如果根據實際情況，我們應該計算出區間或比率屬性。值fair與good的差真和OK與wonderful的差相同嗎？可能不相同，但是在實踐中，我們的選擇是有限的，并且在缺乏更多信息的情況下，這是定義序數屬性之間鄰近度的標準方法。對于區間或比率屬性，兩個對象之間的相異性的自然度量是它們的值之差的絕對值。例如，我們可能將現在的體重與一年前的體重相比較，說"我重了10磅。"在這類情況下，相異度通常在0和x之間，而不是在0和1之間取值。如前所述，區間或比率屬性的相似度通常轉換成相異度。表2-7總結了這些討論。在該表中，x和y是兩個對象，它們具有一個指明類型的屬性，d(x,y)和s(x,y)分別是x和y之間的相異度和相似度（分別用d和s表示）。其他方法也是可能的，但是表中的這些是最常用的。表2-7

簡單屬性的相似度和相異度

下面兩節介紹更復雜的涉及多個屬性的對象之間的鄰近性度量：(1)數據對象之間的相異度；(2)數據對象之間的相似度。這樣分節可以更自然地展示使用各種鄰近度度量的基本動機。然而，我們要強調的是使用上述技術，相似度可以變換成相異度，反之亦然。如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!4/21如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!3)

數據對象之間的相異度本節，我們討論各種不同類型的相異度。我們從討論距離（距離是具有特定性質的相異度）開始，然后給出一些更一般的相異度類型的例子。距離我們首先給出一些例子，然后使用距離的常見性質更正式地介紹距離。一維、二維、三維或高維空間中兩個點x和y之間的歐幾里得距離（Euclideandistance）d由如下熟悉的公式定義：

其中，n是維數，而xk和yk分別是x和y的第k個屬性值（分量）。我們用圖2-15、表2-8和表2-9解釋該公式，它們展示了這個點集、這些點的x和y坐標以及包含這些點之間距離的距離矩陣（distancematrix）。

公式（2-1）給出的歐幾里得距離可以用公式（2-2）的閔可夫斯基距離（Minkowskidistance）來推廣：

如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!6/21如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!其中r是參數。下面是閔可夫斯基距離的三個最常見的例子。r=1，城市街區（也稱曼哈頓、出租車、L1范數）距離。一個常見的例子是漢明距離（Hammingdistance），它是兩個具有二元屬性的對象（即兩個二元向量）之間不同的二進制位個數。r=2，歐幾里得距離（L2范數）。r=，上確界（Lmax或L范數）距離。這是對象屬性之間的最大距離。更正式地，L距離由公式（2-3）定義：

注意不要將參數r與維數（屬性數）n混淆。歐幾里得距離、曼哈頓距離和上確界距離是對n的所有值（1,2,3,...）定義的，并且指定了將每個維（屬性）上的差的組合成總距離的不同方法。表2-10和表2-11分別給出表2-8數據的L1距離和L距離的鄰近度矩陣。注意，所有的距離矩陣都是對稱的，即第ij個表目與第ji個表目相同，例如，在表2-9中，第4行第1列和第1行第4列都包含值5.1。

距離（如歐幾里得距離）具有一些眾所周知的性質。如果d(x,y)是兩個點x和y之間的距離，則如下性質成立。(1)非負性。(a)對于所有x和y，d(x,y)≥0，(b)僅當x=y時d(x,y)=0。(2)對稱性。對于所有x和y，d(x,y)=d(y,x)。(3)三角不等式。對于所有x，y和z，d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)。滿足以上三個性質的測度稱為度量（metric）。有些人只對滿足這三個性質的相異性度量使用術語距離，但在實踐中常常違反這一約定。這里介紹的三個性質是有用的，數學上也是令人滿意的。此外，如果三角不等式成立，則該性質可以用來提高依賴于距離的技術（包括聚類）的效率。盡管如此，許多相異度都不滿足一個或多個度量性質。下面我們給出兩個這種測度的例子。例1

非度量的相異度：集合差。基于集合論中定義的兩個集合差的概念舉例。設有兩個集合A和B，A-B是不在B中的A中元素的集合。例如，如果A={1,2,3,4}，而B={2,3,4}，則A如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!6/21如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!-B={1}，而B-A=空集。我們可以將兩個集合A和B之間的距離定義為d(A,B)=size(A-B)，其中size是一個函數，它返回集合元素的個數。該距離測度是大于或等于零的整數值，但不滿足非負性的第二部分，也不滿足對稱性，同時還不滿足三角不等式。然而，如果將相異度修改為d(A,B)=size(A-B)+size(B-A)，則這些性質都可以成立。例2

非度量的相異度：時間。這里給出一個更常見的例子，其中相異性測度并非度量，但依然是有用的。定義時間之間的距離測度如下：

例如，d(1PM,2PM)=1小時，而d(2PM,1PM)=23小時。這種定義是有意義的，例如，在回答如下問題時就體現了這種定義的意義："如果一個事件在每天下午1點發生，現在是下午2點，那么我們還需要等待多長時間才能等到該事件再度發生？"4）數據對象之間的相似度對于相似度，三角不等式（或類似的性質）通常不成立，但是對稱性和非負性通常成立。更明確地說，如果s(x,y)是數據點x和y之間的相似度，則相似度具有如下典型性質。(1)僅當x=y時s(x,y)=1。（0≤s≤1）(2)對于所有x和y，s(x,y)=s(y,x)。（對稱性）對于相似度，沒有與三角不等式對應的一般性質。然而，有時可以將相似度簡單地變換成一種度量距離。稍后討論的余弦相似性度量和Jaccard相似性度量就是兩個例子。此外，對于特定的相似性度量，還可能在兩個對象相似性上導出本質上與三角不等式類似的數學約束。例3

非對稱相似性度量。考慮一個實驗，實驗中要求人們對屏幕上快速閃過的一小組字符進行分類。該實驗的混淆矩陣（confusionmatrix）記錄每個字符被分類為自己的次數和被分類為另一個字符的次數。例如，假定"0"出現了200次，它被分類為"0"160次，而被分類為"o"40次。類似地，"o"出現200次并且分類為"o"170次，但是分類為"0"只有30次。如果取這些計數作為兩個字符之間相似性的度量，則得到一種相似性度量，但這種相似性度量不是對稱的。在這種情況下，通過選取s'(x,y)=s'(y,x)=(s(x,y)+s(y,x))/2，相似性度量可以轉換成對稱的，其中s'是新的相似性度量。如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!7/21如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!5)

鄰近性度量的例子本節給出一些相似性和相異性度量的具體例子。1.二元數據的相似性度量兩個僅包含二元屬性的對象之間的相似性度量也稱為相似系數（similaritycoefficient），并且通常在0和1之間取值，值為1表明兩個對象完全相似，而值為0表明對象一點也不相似。有許多理由表明在特定情形下，一種系數為何比另一種好。設x和y是兩個對象，都由n個二元屬性組成。這樣的兩個對象（即兩個二元向量）的比較可生成如下四個量（頻率）：f00=x取0并且y取0的屬性個數f01=x取0并且y取1的屬性個數f10=x取1并且y取0的屬性個數f11=x取1并且y取1的屬性個數簡單匹配系數（SimpleMatchingCoefficient,SMC）,一種常用的相似性系數是簡單匹配系數，定義如下：

該度量對出現和不出現都進行計數。因此，SMC可以在一個僅包含是非題的測驗中用來發現回答問題相似的學生。Jaccard系數（JaccardCoefficient）,假定x和y是兩個數據對象，代表一個事務矩陣的兩行（兩個事務）。如果每個非對稱的二元屬性對應于商店的一種商品，則1表示該商品被購買，而0表示該商品未被購買。由于未被顧客購買的商品數遠大于被其購買的商品數，因而像SMC這樣的相似性度量將會判定所有的事務都是類似的。這樣，常常使用Jaccard系數來處理僅包含非對稱的二元屬性的對象。Jaccard系數通常用符號J表示，由如下等式定義：

如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!8/21如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!例4

SMC和Jaccard相似性系數。為了解釋這兩種相似性度量之間的差別，我們對如下二元向量計算SMC和J：x=(1,0,0,0,0,0,0,0,0,0)y=(0,0,0,0,0,0,1,0,0,1)f01=2

x取0并且y取1的屬性個數f10=1

x取1并且y取0的屬性個數f00=7

x取0并且y取0的屬性個數f11=0

x取1并且y取1的屬性個數

2.余弦相似度通常，文檔用向量表示，向量的每個屬性代表一個特定的詞（術語）在文檔中出現的頻率。當然，實際情況要復雜得多，因為需要忽略常用詞，并使用各種技術處理同一個詞的不同形式、不同的文檔長度以及不同的詞頻。盡管文檔具有數以百千計或數以萬計的屬性（詞），但是每個文檔向量都是稀疏的，因為它具有相對較少的非零屬性值。（文檔規范化并不對零詞目創建非零詞目，即文檔規范化保持稀疏性。）這樣，與事務數據一樣，相似性不能依賴共享0的個數，因為任意兩個文檔多半都不會包含許多相同的詞，從而如果統計0-0匹配，則大多數文檔都與其他大部分文檔非常類似。因此，文檔的相似性度量不僅應當像Jaccard度量一樣需要忽略0-0匹配，而且還必須能夠處理非二元向量。下面定義的余弦相似度（cosinesimilarity）就是文檔相似性最常用的度量之一。如果x和y是兩個文檔向量，則

其中，"."表示向量點積，即：。例5

兩個文檔向量的余弦相似度。該例計算下面兩個數據對象的余弦相似度，這些數據對象可能代表文檔向量：如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!9/21如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如圖2-16所示，余弦相似度實際上是x和y之間夾角（余弦）的度量。這樣，如果余弦相似度為1，則x和y之間夾角為0，并且除大小（長度）之外，x和y是相同的；如果余弦相似度為0，則x和y之間夾角為90，并且它們不包含任何相同的詞（術語）。

圖2-16

余弦度量的幾何解釋公式（2-7）可以寫成公式（2-8）的形式：

其中，=x/||x||，而=y/||y||。x和y被它們的長度除，將它們規范化成具有長度1。這意味在計算相似度時，余弦相似度不考慮兩個數據對象的量值。（當量值是重要的時，歐幾里得距離可能是一種更好的選擇。）對于長度為1的向量，余弦度量可以通過簡單地取點積計算。從而，在需要計算大量對象之間的余弦相似度時，將對象規范化，使之具有單位長度可以減少計算時間。3.廣義Jaccard系數（Tanimoto系數）廣義Jaccard系數可以用于文檔數據，并在二元屬性情況下歸約為Jaccard系數。廣義Jaccard系數又稱Tanimoto系數。（然而，還有一種系數也稱Tanimoto系數。）該系數用EJ表示，由下式定義：

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4.相關性兩個具有二元變量或連續變量的數據對象之間的相關性是對象屬性之間線性聯系的度量。（更一般屬性之間的相關性計算可以類似地定義。）更準確地，兩個數據對象x和y之間的皮爾森相關（Pearson'scorrelation）系數由下式定義：

這里我們使用標準的統計學記號和定義：

例6

完全相關。相關度總是在-1到1之間取值。相關度為1（-1）意味x和y具有完全正（負）線性關系，即Xk=aYk+b，其中a和b是常數。下面兩個x和y的值集分別給出相關度為-1和+1的情況。為簡單起見，第一組中取x和y的均值為0。x=(-3,6,0,3,-6)y=(1,-2,0,-1,2)x=(3,6,0,3,6)y=(1,2,0,1,2)例7非線性關系。如果相關度為0，則兩個數據對象的屬性之間不存在線性關系。然而，仍然可能存在非線性關系。在下面的例子中，數據對象的屬性之間存在非線性關系yk=xk^2，但是它們的相關度為0。x=(3,-2,-1,0,1,2,3)如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!12/21如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!y=(9,4,1,0,1,4,9)例8

相關性可視化。通過繪制對應屬性值對可以很容易地判定兩個數據對象x和y之間的相關性。圖2-17給出了一些這種圖，x和y具有30個屬性，這些屬性的值隨機地產生（服從正態分布），使得x和y的相關度從-1到1。圖中每個小圓圈代表30個屬性中的一個，其x坐標是x的一個屬性的值，而其y坐標是y的相同屬性的值。

圖2-17

解釋相關度從-1到1的散布圖如果通過減去均值，然后規范化使其長度為1來變換x和y，則它們的相關度可以通過求點積來計算。注意，這與其他情況下使用的標準化不同，在其他情況下，我們使用變換和。Bregman散度。本節，我們簡略介紹Bregman散度（Bregmandivergence），它是一族具有共同性質的鄰近函數。這樣，可以構造使用Bregman發散函數的一般數據挖掘算法，如聚類算法，具體的例子是K均值聚類算法。注意，本節需要向量計算方面的知識。如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!12/21如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!Bregman散度是損失或失真函數。為了理解損失函數，考慮如下情況：設x和y是兩個點，其中y是原來的點，而x是它的某個失真或近似，例如，x可能是由于添加了一些隨機噪聲到y上而產生的。損失函數的目的是度量用x近似y導致的失真或損失。當然，x和y越類似，失真或損失就越小，因而Bregman散度可以用作相異性函數。有如下正式定義。定義：Bregman散度

給定一個嚴格凸函數（連同一些通常滿足的適度限制），由該函數生成的Bregman散度（損失函數）D(x,y)通過下面的公式給出：

例

我們使用平方歐幾里得距離給出Bregman散度的一個具體例子。為了簡化數學計算，我們僅限于一維。設x和y是實數，而(t)是實數值函數，。在此情況下，梯度歸結為導數，而點積歸結為乘積。例如，公式（2-12）變成公式（2-13）。

該例的圖形在圖2-18中給出，其中y=1。在x=2和x=3上給出了Bregman散度。

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圖2-18

圖示Bregman散度6）

鄰近度計算問題本節討論與鄰近性度量有關的一些重要問題：(1)當屬性具有不同的尺度（scale）或相關時如何處理；(2)當對象包含不同類型的屬性（例如，定量屬性和定性屬性）時如何計算對象之間的鄰近度；(3)當屬性具有不同的權重（即并非所有的屬性都對對象的鄰近度具有相等的貢獻）時，如何處理鄰近度計算。1.距離度量的標準化和相關性距離度量的一個重要問題是當屬性具有不同的值域時如何處理。（這種情況通常稱作"變量具有不同的尺度。"）前面，使用歐幾里得距離，基于年齡和收入兩個屬性來度量人之間的距離。除非這兩個屬性是標準化的，否則兩個人之間的距離將被收入所左右。一個相關的問題是，除值域不同外，當某些屬性之間還相關時，如何計算距離。當屬性相關、具有不同的值域（不同的方差）、并且數據分布近似于高斯（正態）分布時，歐幾里得距離的拓廣，Mahalanobis距離是有用的。具體地說，兩個對象（向量）x和y之間的Mahalanobis距離定義為：

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在圖2-19中有1000個點，其x屬性和y屬性的相關度為0.6。在橢圓長軸兩端的兩個大點之間的歐幾里得距離為14.7，但Mahalanobis距離僅為6。實踐中，計算Mahalanobis距離的費用昂貴，但是對于其屬性相關的對象來說是值得的。如果屬性相對來說不相關，只是具有不同的值域，則只需要對變量進行標準化就足夠了。

圖2-19

二維點的集合。兩個大點代表的點之間的Mahalanobis距

離為6，它們的歐幾里得距離為14.7

2.組合異種屬性的相似度前面的相似度定義所基于的方法都假定所有屬性具有相同類型。當屬性具有不同類型時，就需要更一般的方法。直截了當的方法是使用表2-7分別計算出每個屬性之間的相似度，然后使用一種導致0和1之間相似度的方法組合這些相似度。總相似度一般定義為所有屬性相似度的平均值。不幸的是，如果某些屬性是非對稱屬性，這種方法效果不好。例如，如果所有的屬性都是非對稱的二元屬性，則相似性度量先歸結為簡單匹配系數--一種對于二元非對稱屬性并不合適的度量。處理該問題的最簡單方法是：如果兩個對象在非對稱屬性上的值都是0，則在計算對象相似度時忽略它們。類似的方法也能很好地處理遺漏值。如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!16/21如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!概括地說，算法2.1可以有效地計算具有不同類型屬性的兩個對象x和y之間的相似度。修改該過程可以很輕松地處理相異度。

3.使用權值在前面的大部分討論中，所有的屬性在計算鄰近度時都會被同等對待。但是，當