【玩轉壓軸題】類型七：反比例函數與幾何綜合(解析版)

學校;姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.如圖，點A在直線y=x上，ABJ_x軸于點B,點C在線段AB上，以AC為邊做

k

正方形ACDE,點D恰好在反比例函數y=—(%>0,x>0)的圖像上，連接AD,若

X

OA1-AD2=20,則k的值為()

h15

A.10B.8C.9D.—

【答案】A

【分析】

設正方形的邊長為。，4(6/),Ijli]OB=AB=t,AC^CD=a,于是可表示出C(f,f-a),

DCt+a,t-a),再利用等腰直角三角形的性質可得。AD=g；由0A2-AZR20

可得產_/=](),最后根據反比例函數圖象的性質即可解答.

【詳解】

解：設設正方形的邊長為a,A(r,t),則O8=A8=f,AC-CD-a,

:.C(/,t-a)fD(/+〃，t-a)

丁等腰直角三角OAB和正方形ACQE

.*.OA=V26AD-42a

VOA2-AD2=20

?，?(0力2_(04)2=20,即凡/=]0

?.?點D在反比例函數y=4的圖象上，

X

：.k=(/+〃)(t-a)=t2-a2=\O.

故選A.

【點睛】

本題主要考查了反比例函數與一次函數的綜合問題、正方形的性質、反比例函數的性質

等知識點，求正確設出未知數、根據題意表示出所需的量和等式是解答本題的關鍵.

2.如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCQ的對角線AC的中點與坐標原點重合，點E

是x軸上一點，連接AE、BE,若4。平分反比例函數y=<0/<0）的圖

像經過AE上的點A、F,且=/MBE的面積為18,則A:的值為（）

A.-6B.-12C.-18D.-24

【答案】B

【分析】

連接8。，OF,過點A作ANLOE于M過點F作FMLOE于M.證明B￡?〃AE,推

出4OE=18,推出E"=S△八O￡=9,口［得SAFME=3,由此即可解決問題.

【詳解】

解：如圖，連接8D,OF,過點A作ANJ_O￡于M過點尸作于M.

u

：AN//FMfAF=FE,

:.MN=ME,

:.FM=；AN,

,：A,F在反比例函數的圖象上，

??AON=SAFOMf

：?ON?AN=*OM*FM,

：.ON=yOM,

：.ON=MN=EM,

:.ME=LOE,

3

平分/O4E,

Z.ZOAD=ZEAD,

試卷第2頁，共58頁

?四邊形A8CO是矩形,

.\OA=ODf

：.ZOAD=ZODA=ZDAE,

：.AE//BDf

??*$△ABE=S&AOEf

??S&AOE=18,

?:AF=EF,

SAEOF=5AAOF=9,

??SAFME=3,

SAFOM=SAFOE-5AFME=9-3=6,

-OM.MF=6,

2

?.?點F在第二象限，

"=-12.

故選：B.

【點睛】

本題考查反比例函數的性質，矩形的性質,平行線的判斷和性質，解題的關鍵是證明

BD//AE,利用等積法求出三角形面積.

nA4k

3.如圖，在AAOB中，OC平分/AOB,^-=~,反比例函數>=2伙<0）圖像經過

OB3x

點A、C兩點，點B在x軸上，若AAOB的面積為7,則k的值為（）

7

c.衛D.

53

【答案】C

【分析】

由。。平分NAOB,空=：,可得出工=:，即鏢=:，過A、C兩點作x軸垂線,

OD3Cn3Co3

垂足分別為，、G,則有緣=空=瞿=：,設A點坐標為C點坐標為

倍,31，8點坐標為"，0),由AA08的面積為7可求得方二，再由黑=；列

出關于％的方程即可求解.

【詳解】

解：：OC平分/AO8,

；.C到04和08的距離相等，

設C到04和08的距離為6,故S,o=；OA-h,S,o=JOB-h,

..0A_4

'0B~3'

?Sjco_4

FC「3'

.CA4

??~~-i

CB3

.ABJ

過A、。兩點作工軸垂線，垂足分別為〃、G,如圖：

:?AABH?衛BG,

.ABAHBHQ

^~CB~~CG~~BG~3

?.?反比例函數y=V(Z<0)圖像經過點4、c兩點，故可設：設A點坐標為i;,7小，C

點坐標為((，3。)，

設8點坐標為(-"0),

???△A08的面積為7,

-OBAH=-b?la=l,

22

試卷第4頁，共58頁

3。a3alaala

——14

:.連《解得人一方

3a

故選：c.

【點睛】

本題考查了相似三角形和反比例函數結合，掌握角平分線性質得出對應線段的比和根據

反比例函數圖像上點坐標的特征設坐標是解題關鍵.

4.如圖，曲線AB是拋物線＞=-4/+8x+l的一部分(其中A是拋物線與＞軸的交點,

8是頂點)，曲線BC是雙曲線y=±(&HO)的一部分.曲線A3與8c組成圖形W.由點

x

C開始不斷重復圖形卬形成一組“波浪線”.若點P(2020,W,Q(x,*)在該“波浪線”上，

則加+”的最大值為()

【答案】B

【分析】

根據題意可以求得點A、點B、點C的坐標和k的值，然后根據圖象可知每5個單位長

度為一個循環，從而可以求得m的值和n的最大值.

【詳解】

22

解：Vy=-4x+8x+l=-4(x-l)+5

...當x=0時，y=1

.?.點A的坐標為(0,1),點B的坐標為(1.5),

?.?點B(1,5)在y=K的圖象上

X

...k=5

???點C在y=3的圖象上，點C的橫坐標為5

X

.??點C的縱坐標是】

.??點C的坐標為(5,1)

2020+5=404

：.P(2020,m)在拋物線y=-4/+8x+l的圖象上

m=-4x0+8x0+l

?.,點Q(x,n)在該"波浪線"上

；.n的最大值是5,故m+n的最大值為6

故選:B.

【點睛】

本題主要考查了反比例函數圖象上的點的坐標特征以及二次函數的性質，根據二次函數

頂點式得出最大值是解題關鍵.

5.如圖，菱形AO8C的頂點A在x軸上，反比例函數y(^>0,x>0)的圖像經過

X

頂點8,和邊AC的中點Z).若。4=6,則女的值為()

A.亞B.2石C.45/5D.86

【答案】D

【分析】

作BELx軸，DFLx軸，根據菱形的性質可得OB〃AC,OB=AB=AC=6,進而可得

AD=；AC=3,由平行可得△BOEs^DAF,進而可得第=弟=笠=:，設AF=a,

2BEOEOB2

DF=b,則OE=2a,BE=2b,由此可表示出點B、D的坐標，代入函數關系式可得方

程，進而可求得k的值.

【詳解】

解：如圖，分別過點B、D作BELx軸，DFlxft1,垂足分別為E、F,

OpAEAF/x

則/BEO=/DFA=90。，

*??在菱形AOBC中，

試卷第6頁，共58頁

AOBAC,OB=AB=AC=6,

???點D為AC的中點，

；.AD=：AC=3,

VOB/7AC,

/.ZBOE=ZDAF,

.,.△BOE^ADAF,

.DFAFDA_3\

..而一瓦一麗_%-/，

，設AF=a,DF=b,

則OE=2a,BE=2b,

:.點D(6+a,b),點B(2a,2b),

?.?點B、D均在反比例函數圖像上，

將點D(6+a,b),點B(2a,2b)代入y=X得：

X

b(6+a)=2a-2b=k,

解得a=2,

???OE=2a=4,

在RIABOE中，BE=^OB2-OE2=>/62-42=2后，

.??點B(4,275),

"=4x2石=86

故選：D.

【點睛】

本題主要考查菱形的性質、相似三角形的判定及性質、反比例函數的圖像性質，運用相

似三角形的判定及性質解決問題是解答本題的關鍵.

6.如圖，點D是口Q4BC內一點，CD與x軸平行，3。與y軸平行，

BD=>/2,AADB=135°,S^ABD=2.若反比例函數y=§(x>0)的圖像經過A、D兩點，則

k的值是()

y

a

A.2夜B.4C.372D.6

【答案】D

【分析】

作AELBD交BD的延長線于點E,作AF_Lx軸于點F,計算出AE長度，證明

/XBCD三△AOF，得出AF長度，設出點A的坐標,表示出點D的坐標，使用與％=%”,

可計算出左值.

【詳解】

作交BD的延長線于點E,作軸于點F

Z4￡>B=135°

二ZAOE=45°

，為等腰直角三角形

,/BD=-j2,S^ABD=2

S^ABD=5BD-AE=2，即AE=2>/2

/.DE=AE=2近

VBC=AO,§.BC//AO,CD//OF

：.ZBCD=ZAOF

△BCD2AOF

?*-AF=BD=也

,,=3A/2

設點A（肛&）,0（m-2及,3&）

，\[2m=（m-2&）■3&

解得：〃?=3后

k-3\[2xy/l,--6

試卷第8頁，共58頁

故選：D.

【點睛】

本題考查了反比例函數與幾何圖形的綜合，利用點A和點D表示出k的計算是解題的關

鍵.

7.如圖，在平面直角坐標系中，nA8co的三個頂點坐標分別為A(1,O),3(4,2),C(2,3),

第四個頂點D在反比例函數y=；(x<0)的圖像上，則k的值為()

A.—1B.—2C.—3D.—4

【答案】A

【分析】

過點。作OE_Lx軸于點E,CFJ_x軸于尸，作8H〃x軸，交CF于H,利用AAS得到

三角形ADE與三角形BCH全等，由全等三角形的對應邊相等得到AE=BH=2,DE=CH=1,

求出0E的長，確定出D坐標，代入反比例解析式求出k的值即可.

【詳解】

解：過點。作DE_Lx軸于點E,CFLx軸于F,作軸，交CF于H,

,：A(1,0),B(4,2),C(2,3),

：.BH=4-2=2,CH=3-2=1,

???四邊形ABC￡>為平行四邊形，

：.BC=AD,BC//AD,

，N￡>AB+/A8C=180。,

軸，

/ABH=NBAF,

ZDAE+ZBAF+ZDAB=180°=ZCBH+ZABH+ZDABt

：./DAE=/CBH,

在△△/)￡：和48C”中，

NDAE=NCBH

?ZAED=ZBHC=90,

AD=BC

：./XADE^ABCH(AAS),

：.AE=BH=2fDE=CH=\,

：.OE=lf

???點。坐標為(-1,1),

???點。在反比例函數產￡(x<0)的圖象上，

fc=-lxl=-l,

故選：A.

【點睛】

此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，全等三角形的判定與性

質，待定系數法確定反比例函數解析式，以及平行四邊形的性質，熟練掌握性質是解本

題的關鍵.

8.如圖，在平面直角坐標系中，矩形A8C￡>的對角線AC的中點與坐標原點重合，點E

是x軸上一點，連接AE.若AD平分/OAE,反比例函數y=>0,x>0）的圖象經

過AE上的兩點A,F,且=AABE的面積為9,則k的值為（）

C.9D.12

試卷第10頁，共58頁

【答案】B

【分析】

如圖，連接BD,OF,過點A作AN_L0E于N,過點F作10E于M.證明BD//AE,

Ia]3

推出心質=Ss=9,推出S*F'MOE=1,可得,由此即可解決問題.

【詳解】

解：如圖，連接30,OF,過點A作AN_LOE于N,過點F作，OE于〃.

■.■AN//FM,AF=FE,

:.MN=ME,

:.FM=-AN,

2

?.?A,尸在反比例函數的圖象上,

??S^ON=S^OM=5，

L,ONAN=LOMFM,

22

:.ON=-OM,

2

：.ON=MN=EM,

:.ME=-OE

3f

-S,\FME=§S^QF.，

???AD平分NOAE,

:.ZOAD=ZEADt

???四邊形ABC。是矩形，

:.OA=OD,

/.ZOAD=ZODA=ZDAE,

:.AE//BD,

\HE\0H?

?：AF=EF.

.s

一0AEOF_l2c3AAOE_22

<_3

_3JAEOF~?

?',S.OM=S^OE_S^ME

222

:.k=6.

故選：B.

【點睛】

本題考查反比例函數的性質，矩形的性質，平行線的判斷和性質，等高模型等知識，解

題的關鍵是證明&）〃AE,利用等高模型解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

9.平面直角坐標系％0y中，直線y=2%與雙曲線y=￡（/c>2）相交于A,B兩點,其中

點A在第一象限.設M（m,2）為雙曲線y=久卜>2）上一點，直線AM,BM分別交y軸

于C,D兩點，則OC-OD的值為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】

根據直線y=2x與雙曲線y=：（k>2）相交于A,B兩點,其中點A在第一象限求得

4（亨,屈），B（-亨，-伍），再根據M（m,2）為雙曲線曠=：（卜>2）上一點求得

根據點A與點M的坐標求得直線AM解析式為丁=簽^》+喘等，進而

求得。C=崎等，根據點B與點M的坐標求得直線BM解析式為y=涕^久+

考零，進而求得。0=弊看，最后計算。C-OD即可.

>j2k+k>J2k+k

【詳解】

解：?.?直線y=2x與雙曲線y=：（k>2）相交于A,8兩點，

（y=2x,

聯立可得：_k

（丁一7

_V2k（_\[2k

解得：石=三'或超=一7

%=y/2k.\y2=—V2k.

??,點A在第一象限，

???M亨,辰）,8（—苧,—辰）.

試卷第12頁，共58頁

???M（m,2）為雙曲線y=?（k>2）上一點,

解得：zn=p

???M（g2）.

設直線AM的解析式為y=kIx+bi,

V2fc=刈,學+瓦,

將點/警，網與點、MC，2）代入解析式可得:

2=k1-^+b1,

_2辰-4

f

解得：《一\f2k-k

2岳-卜辰

y/2k-k?

直線AM的解析式為y=等:x+嗎三.

Jy[2k-kV2k-k

??,直線AM與y軸交于C點，

??XQ=0.

?2麻-4八,2標-k辰2辰-k標

??V「=-=--------0H-----F=------=——F=-------

JL\[2k-kx[2k-k>/2k-k

?"（。言）?

V/c>2,

_\2V2k-ky/2k\_2辰-2版

—I_y[2k-k_I__y/2k-k-

設直線的解析式為

BMy=k2x+b2,

（一亨）

（-^2k=k2,+3

將點（-亨，一屆）與點）代入解析式可得:

BM2[2=04+%

,2V2fc+4

心二^7,

解得:

,_2\[2k-ky/2k

。2=辰+k

；.直線8M的解析式為、=涕^+嚅等.

???直線8”與y軸交于Q點,

??%￡）—0.

.2y/2k+4八.2y/2k-ky,f2kzVzk-fcVIfc

V2k+k\[2k-￥k

...D（o,與普.

\V2k+kJ

Vk>2,

._\2\[2k-k\/2k\_k\f2k-2yj2k

?,UD=|同+k|=&R+k*

?“二八2辰-k版ky[2k-2y[2k

>J2k-kV2k+k

_(2V2fc-/cV2k)(V2/c+k)(k\[2k-2V2fc)(V2/c-/c)

(V2k—fc)(V2fc+k)(V2fc+fc)(V2k—fc)

4k-2k2+2k\[2k—k2y/2k2k2—4k-k2y/2k+2ky/2k

=2k-k22k-k2

8k-4k2

=2k—k2

4(2fc-/c2)

2k-k2

=4.

故選：B.

【點睛】

本題考查了一次函數和反比例函數的綜合應用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元

一次方程組的求解，正確求出點的坐標和直線解析式是解題關鍵.

10.如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A,C分別在x軸，y軸的正半軸

上，點D(-2,3),AD=5,若反比例函數y="(k>0,x>0)的圖象經過點B,貝！|k

【答案】D

【分析】

先由0(-2,3),AD=5,求得A(2,0),即得A0=2；設AO與y軸交于E,求得E(0,

1.5),即得￡0=1.5；作BF垂直于x軸于尸,求證△AOEsACDE,可得8A=CO=^,

QOQ

求證△AOEsAB/%可得Af=2,BF=-,進而可求得8(4,-)；將8(4,-)代入

反比例函數y=A,即可求得k的值.

X

【詳解】

解：如圖，過。作。〃垂直X軸于從設AD與y軸交于E,過8作8F垂直于x軸于

試卷第14頁，共58頁

?:點D(-2,3),AD=5f

:?DH=3,

?*-AH=ylAD^DH?：/寧-9=4,

：.A(2,0),即AO=2,

VD(-2,3),A(2,0),

33

???AO所在直線方程為：y=-^x+|,

：.E(0,1.5),BPEO=1.5,

???AE=y]AO2+EO2

：.ED=AD-AE=5--

22

VZAOE=ZCDE,ZAEO=ZCED,

:.AAOE^ACDE,

.EO_AO

'ED-CD

ED10

???CD=AO?—

EOT

???在矩形ABC。中,BA=CD=—

3

VZEAO+ZBAF=90°,

XZEAO+ZAEO=90°,

/.ZAEO=ZBAF,

又?.?NAOE=NBFA,

.84_A/

**AE-EO-AO，

Q

?,?代入數值，可得Ab=2,BF=1,

：.OF=AF+AO=49

Q

:?B(4,-),

，將8（4,2）代入反比例函數丫=人，得k普,

3x3

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了待定系數法求反比例函數的系數、相似三角形的判定與性質、勾股定理、

矩形的性質等知識.解題關鍵是通過求證△AOES^CDE,^AOE^^BFA,得到8點

坐標，將8點坐標代入反比例函數，即可得解.

二、填空題

11.已知A、B兩點為反比例函數y=：（后<0）的圖像上的動點，他們關于y軸的對稱

點恰好落在直線y=x+2〃?+l上，若點A、B的坐標分別為（3,）1）,（々,必）且公+-0,

則.

X,+X2

【答案】1

【分析】

（?攵攵

設點A,關于y軸得對稱點4（-$,一）,設點8（/,一），關于y軸得對稱點

kX\）%X2

-x?—L代入y=x+2a+1,求出總再求出"即可.

（-x2J占+々

【詳解】

k

解：4、8兩點為反比例函數y=3%<0）的圖像上，點A、B的坐標分別為（和％）,（々,％），

則點，關于y軸得對稱點4'（-XI，V）,設點B（X2,-）,關于y軸得對稱點

kX\）%X2

把4、夕坐標分別代入y=x+2m+1得,

kk

—=—%+2/77+1和j—=—x?+2m+1,

X電

kk

兩式相減得，-----=-X}+X2,解得％=%X2,

X\X2

則y=w，y2=%

y+%=%+*

=1,

X1+冗2%+x2

故答案為1.

試卷第16頁，共58頁

【點睛】

本題考查了一次函數和反比例函數的綜合，解題關鍵是熟練運用一次函數和反比例函數

知識，通過設坐標建立等量關系，表示出比例系數.

12.如圖，在“ABC中，=點A在反比例函數y=4(k>0,x>0)的圖像上，點B、

X

C在X軸上，OC=goB,延長AC交y軸于點￡>,連接8。，若△88的面積等于1,

則左的值為.

【答案】3

【分析】

作丁E,連接0A,根據等腰三角形的性質得出。C=gcE,根據相似三角形的

性質求得砥田=1,進而根據題意求得心優=授，根據反比例函數系數左的幾何意義即可

求得k的值.

【詳解】

解：作A￡_LBC于E,連接OA,

■.■AB=AC,

/.CE=BE,

???OC=-OB

5f

OC=-CE,

2

-AE//OD,

/.ACOZ>^ACE4,

?^L=(￡￡)2=4

,?S&8DOC'

???△BCD的面積等于1,OC=^OB,

.c-le-1

…°ACOD_4^ABCD~4，

??.S叢a=4x1=1,

???OC^-CE,

2

??SMOC=5SACEA=2，

,Q_1.3

一~2+1~2,

??,SMO￡=；&（%＞。），

:.k=3,

故答案為3.

【點睛】

本題考查了反比例函數系數％的兒何意義，三角形的面積，等腰三角形的性質，正確的

作出輔助線是解題的關鍵.

13.如圖，已知矩形ABCD的頂點A、B分別落在雙曲線>=月上，頂點C、D分別落

X

在y軸、x軸上，雙曲線y=人經過AD的中點E,若0C=3,則k的值為一.

X

【答案】2

【分析】

設A點坐標為（。向，貝必=昉，用。、b的代數式表示B、￡）、E坐標，根據雙曲線y=與

X

經過AD的中點E,列方程求出8=2,再由矩形ABC。對角線相等列方程求出。，即可

得A坐標，從而求出入

試卷第18頁，共58頁

【詳解】

解：設A點坐標為(。,6)，則4=必，y=—,如圖，

X

過點A作AM_Lx軸于點M,過點8作BV_Ly軸于點N,過點后作￡FJ_x軸于點尸,

???四邊形ABCO是矩形，

?.AD=BCfZA￡>A/+NCW=90。，NBCN+NDCO=90°,

-.ZCDO+ZX;O=90°,

.?.ZADM+ZBCN=90。,

?.?NAZW+NZMM=90°,

:.ZBCN=ZDAM,

在AADM和bCBN中，

NDAM=4BCN

<ZAMD=4CNB=90。，

AD=CB

:.AADM=^CBN(AAS),

：.CN=AM=b,BN=MD,

???OC=3,

：.ON=3-b,即為=B-3,且8在丫=或圖象上，

X

二8("",8-3),

b-3

3-b

??,點E是AO的中點，

.ab八廠ab八八ab

MF=-------,OF=a+--------,OD=a-\--------,

6-2b6-2b3-Z?

rvab1,.

一E(a+-——,—b),

6-2Z?2

?.?雙曲線>=v經過AO的中點E,

X

；?(a+用0,；b=ab，解得6=2,

6-2Z?2

A(a,2),8(-2a,-1,D(3a,0),

而C(0,-3),且矩形A8CO有AC=5O,

/.(a-0)2+(2+3)2=(-2a-3d)2+(-1-0)2,

解得。=1或4=—1(舍去)，

??.A(l,2),代入y=工得：k=2.

X

故答案為：2.

本題考查反比例函數、矩形的性質及應用，解題的關鍵是設A(a,6),用“、b的代數式

表亦B、DE坐標列方程.

14.如圖，已知等腰三角形A8C的底邊BC落在x軸上，延長C4到點。，使得4)=4C,

延長AB交，軸于點E,連接CE,點。落在反比例函數產，(k#0)的圖像上.若ABCE

的面積等于26，貝必=

【答案】4石

【分析】

連接。2曲,3。，根據已知條件可得S△的=SAW，S△曲=小￡s，進而可得

SAEDK=S&ECB,再證明DBLBC,則可得5=S.w根據反比例函數%的幾何意義,

即可求得；

【詳解】

連接OD,ED,BD,

試卷第20頁，共58頁

?：AD=AC,

,?S^BDA=S^BCA，^^EDA=，

?'-SMDB=S4ECB，

?.?AB=AC.AD=ACf

AD=AB,

/DBA=ABDA,ZABC=ZACB,

???/DBA+ABDA+ZABC+NAC8=180。，

/.ZABD+ZABC=90。,

:.DB±BC,

..OE//DB,

一SADBC=S&DBE=S^ECR~25/3,

,?悶=2s△O8D=4A/5,

QO在第一象限，

:.k=4B

故答案為：46.

【點睛】

本題考查了三角形中線的性質，反比例函數人的幾何意義，掌握以上知識點是解題的關

鍵.

15.如圖，已知直線丫=1?+1)與函數y=—(x>0)的圖象交于第一象限內點A,與x

x

軸負半軸交于點B,過點A作AC_Lx軸于點C,點D為AB中點，線段CD交y軸于

點E,連接BE.若△BEC的面積為萬，則m的值為一.

【答案】27

【分析】

過點A作AFLy軸于點F,連接AE,根據點。是A8的中點，△AOC的面積=△BOC

的面積，AAOE的面積=△8OE的面積，從而其差相等，即AAEC的面積=A8EC的面

積，由于AAEC的面積=矩形4尸OC面積的一半，再由反比例函數中&的幾何意義即可

求得，"的值.

【詳解】

過點A作4/J_y軸于點凡連接AE,如圖

；4C_Lx軸，FO±OC

四邊形ACOF是矩形

???點。是A3的中點

：.CD,分別是△A8C、△ABE的邊AB上的中線

?■^^ADC=S.BDC，S.ADE=SME

,?°.ADCOAADE—°?BDCME

27

即SM￡C=S“BEC=5

vs矩閡COF=ACOC,5A￡C=；ACOC

27

?e-S矩形Aco/7=2SAA￡C=2x—=27

，根據反比例函數解析式中k的幾何意義知，S矩形A,”=|討=27

???反比例函數的圖象在第一象限

m=21

故答案為：27.

試卷第22頁，共58頁

【點睛】

本題考查了三角形中線的性質、反比例函數比例系數k的兒何意義、矩形的判定等知識,

添加輔助線，利用三角形中線平分三角形面積的性質是本題的關鍵.

16.如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,C(0,-4),AC與x軸交于點D,CD=4AD,

點A在反比例函數y=A(x>0)的圖象上，且y軸平分/ACB,求k=_.

X

【答案】I

【分析】

作X軸的垂線，構造相似三角形，利用8=4Ao和C(0,-4)可以求出A的縱坐標，

再利用三角形相似，設未知數，由相似三角形對應邊成比例，列出方程，求出待定未知

數，從而確定點A的坐標，進而確定A的值.

【詳解】

解：過A作AELc軸，垂足為E,

VC(0,-4),

.??OC=49

?/ZAED=NCOO=90。，ZADE=ZCDO

；?△ADE^^ACDO,

?:CD=4AD,

...逆=匹=絲」，ZOCD=ZDAE,

：.AE=\；

又??》軸平分NAC8,CO.LBD,

在△03。和仆OOC中，

ZBCO=ZDCO

<OC=0C

ZBOC=ZDOC=90°

:.△OBCQ/\ODC(ASA)

:?BO=OD,/OCB=/OCD,

,/NABC=900,

JNABE+NCBD=90°,

又「ZOCB+ZCBD=90°f

???ZOCB=ZOCD=ZDAE=NABE,

:.IXABEfDCO,

.AEBE

^~OD~~OC'

設DE=n,則BO=OD=4n,BE=9n,

.1_9n

??—=—，

4/74

*.OE=5n=—,

3

'?A(；,1)

3

【點睛】

本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征，綜合利用相似三角形的性質求A的坐標，依

據4在反比例函數的圖象上的點，根據坐標求出攵的值.綜合性較強，注意轉化思想方

法的應用.

17.如圖，在反比例函數y=-的圖象上有一動點A,連接A0并延長交圖象的另一支

x

試卷第24頁，共58頁

k

于點B,在第二象限內有一點C,滿足AC=BC,當點A運動時，點C始終在函數y=-

x

的圖象上運動，tan/CAB=2,則k的值為

【分析】

連接0C,過點4作軸于點E,過點C作軸于點F,通過角的計算找出

NAOE=NCOF,結合“N4EO=90。，NCFO90。”可得出△AOEs△(%>/,根據相似三

角形的性質得出比例式，再由tan/C4B=2,可得出CF?。尸的值，進而得到女的值.

【詳解】

如圖，連接OC,過點A作AELv軸于點E,過點。作<7匚Ly軸于點E

???由直線AB與反比例函數y=士的對稱性可知A、B點關于。點對稱，

X

：.AO=BO.

又〈AC=BC,

：.COLAB.

TNAOE+NAOb=90。，ZAOF+ZCOF=90°,

???ZAOE=ZCOF.

又?.,NAEO=90。，ZCFO=90°,

???△NOEs[\COf,

.AEOEAO

^~CF~'0F~~cd"

VtanZC4B=-^-=2,

OA

：.CF=2AE,OF=2OE.

又,.?AE?OE=3,CF^OF=\k\f

：.\k\=CF-OF=2AEx2OE=4AExOE=\2,

:.^=±12.

???點C在第二象限，

：.k=-12.

故答案為：-12.

【點睛】

本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、反比例函數的性質以及相似三角形的判定

及性質，銳角三角函數，解答本題的關鍵是求出C-0F=12.解答該題型題目時?，巧妙

的利用了相似三角形的性質找出對應邊的比例，再結合反比例函數圖象上點的坐標特征

找出結論.

18.如圖，在中，ZABC=90°,C(0,-4),AC與x軸交于點。，CD=4AD,

點A在反比例函數)，/(x>0)的圖象上，且V軸平分ZACB,求后=.

X

【答案】I

【分析】

要求k的值，通常可求A的坐標，可作x軸的垂線，構造相似三角形，利用CD=4AD

和C(0,-4)可以求出A的縱坐標，再利用三角形相似，設未知數，由相似三角形對

應邊成比例，列出方程，求出待定未知數，從而確定點A的坐標，進而確定k的值.

【詳解】

解：過A作AE_Lx軸，垂足為E,

試卷第26頁，共58頁

VC(0,-4),

AOC=4,

VZAED=ZCOD=90°,ZADE=ZCDO

AAADE^ACDO,

AEDEADI

O)~0D~~CD~4'

AAE=1；

又<y軸平分NACB,CO±BD,

.*.BO=OD,

VZABC=90°,

???ZOCD=ZDAE=ZABE=ZBCE,

ZDOC=ZADE=90°

AAABE-ACOD,

.AEBE

**OD-OC

設DE=n,貝l」BO=OD=4n,BE=9n,

.19n

.?—=—,

4n4

.1

?.n=—.

3

/.OE=5n=—,

3

故點A(§,I),

.?.k=-Xl=-

33

故答案為：~.

【點睛】

本題考查反比例函數圖象匕點的坐標特征，綜合利用相似三角形的性質，全等三角形的

性質求A的坐標，依據A在反比例函數的圖象上的點，根據坐標求出k的值.綜合性

較強，注意轉化思想方法的應用.

19.如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，RtAOAB的直角頂點B在x軸的正半軸上，

k

點A在第一象限，反比例函數y=±(x>0)的圖象經過OA的中點C.交AB于點D,

x

連結CD.若AACD的面積是2,則k的值是.

【分析】

作輔助線，構建直角三角形，利用反比例函數k的幾何意義得到SA℃E=SAOBD=gk,根

據0A的中點C,利用△OCEs^OAB得到面積比為1：4,代入可得結論.

【詳解】

解：連接0。，過C作“〃AB,交x軸于E,

%.A

。

k

VZABO=90°反比例函數y=—(x>0)的圖象經過OA的中點C,

fx

:?S△COE=SXBOD=,Ss=SxOCD=2,

U：CE//AB,

:.XOCESAOAB,

?S^OCE_]

?,=一"

4SAOCE=SXOABf

**.4xgk=2+2+yk,

.，

?.k=一8,

3

Q

故答案為：

【點睛】

k

本題考查了反比例函數比例系數k的幾何意義：在反比例函數y=工圖象中任取一點，

X

過這一個點向X軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|.在反比例

函數的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的

試卷第28頁，共58頁

面積是夕陽，且保持不變.也考查了相似三角形的判定與性質.

20.如圖，在AABC中，AB=AC,點A在反比例函數y=Ck>0,x>0）的圖象

X

上，點B,C在X軸上，OC=；OB,延長AC交y軸于點。，連接BO,若ABCD的面

積等于1,則k的值為.

【答案】3

【分析】

作AELBC于E,連接OA,根據等腰三角形的性質得出OC=；CE,根據相似三角形

3

的性質求得S^CEA=1，進而根據題意求得SaAOE=］，根據反比例函數系數k的幾何意

義即可求得k的值.

【詳解】

解：作AELBC于E,連接OA,

VAB=AC,

ACE=BE,

VOC=|OB,

AOC=-CE,

2

VAE/7OD,

AACOD^ACEA,

?Q_1Q_1

??°ACOD_W

S'CEA=4x^=1，

VOC=-CE,

2

r3-1

>*%AOC-]°ACE4-]，

?,S^AOE一/+一/，

?S〃AOE=54（%>o），

Z=3,

故答案為：3.

【點睛】

本題考查了反比例函數系數k的幾何意義，三角形的面積，等腰三角形的性質，相似三

角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

三、解答題

21.（1）（探究新知）如圖1,己知AA8C與△43。的面積相等，試判斷A8與C。的位

置關系，并說明理由.

k

（2）（結論應用）如圖2,點M,N在反比例函數y=—的圖像上，過點M作ME_Ly軸，