2024屆浙江省余姚市數學高一第二學期期末學業水平測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設，則A．-1 B．1 C．ln2 D．-ln22．在ΔABC中，如果A=45°，c=6，A．無解 B．一解 C．兩解 D．無窮多解3．已知變量，之間的線性回歸方程為，且變量，之間的一組相關數據如下表所示，則下列說法中錯誤的是（）681012632A．變量，之間呈現負相關關系B．的值等于5C．變量，之間的相關系數D．由表格數據知，該回歸直線必過點4．若平面向量a與b的夾角為60°，|b|=4，(aA．2B．4C．6D．125．某幾何體的三視圖如下圖所示（單位：cm）則該幾何體的表面積（單位：）是（）A． B． C． D．6．將的圖像怎樣移動可得到的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位7．閱讀如圖所示的程序，若運該程序輸出的值為100，則的面的條件應該是（）A． B． C． D．8．若直線與圓相切，則的值為A．1 B． C． D．9．已知角的終邊經過點（3，-4），則的值為（）A． B． C． D．10．等差數列的前項和為，若，且，則（）A．10 B．7 C．12 D．3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若向量與的夾角為，與的夾角為，則______.12．已知，，，的等比中項是1，且，，則的最小值是______.13．若數列滿足,,則______．14．函數的圖象在點處的切線方程是，則__________．15．函數f（x）＝2cos（x）﹣1的對稱軸為_____，最小值為_____．16．如果，，則的值為________（用分數形式表示）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．為了解學生的學習情況，某學校在一次考試中隨機抽取了20名學生的成績，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五組，繪制了如圖所示頻率分布直方圖.求：(Ⅰ)圖中m的值；(II)估計全年級本次考試的平均分；(III)若從樣本中隨機抽取分數在[80，100]的學生兩名，求所抽取兩人至少有一人分數不低于90分的概率.18．在某市高三教學質量檢測中，全市共有名學生參加了本次考試，其中示范性高中參加考試學生人數為人，非示范性高中參加考試學生人數為人.現從所有參加考試的學生中隨機抽取人，作檢測成績數據分析.（1）設計合理的抽樣方案（說明抽樣方法和樣本構成即可）；（2）依據人的數學成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，據此估計本次檢測全市學生數學成績的平均分；19．一汽車廠生產，，三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產量如下表(單位：輛)：按類用分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛，其中有類轎車10輛．轎車轎車轎車舒適型100150標準型300450600（1）求的值；（2）用分層抽樣的方法在類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；（3）用隨機抽樣的方法從類舒適型轎車中抽取8輛，經檢測它們的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2把這8輛轎車的得分看作一個總體，從中任取一個得分數，

記這8輛轎車的得分的平均數為，定義事件，且函數沒有零點，求事件發生的概率．20．如圖，在三棱柱中，是邊長為4的正三角形，側面是矩形，分別是線段的中點.（1）求證：平面；（2）若平面平面，，求三棱錐的體積.21．已知各項為正數的數列滿足：且．（1）證明：數列為等差數列．（2）若，證明：對一切正整數n，都有

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

先把化為，再根據公式和求解.【題目詳解】故選C.【題目點撥】本題考查對數、指數的運算，注意觀察題目之間的聯系.2、C【解題分析】

計算出csinA的值，然后比較a、csin【題目詳解】由題意得csinA=6×2【題目點撥】本題考查三角形解的個數的判斷，解題時要熟悉三角形解的個數的判斷條件，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.3、C【解題分析】分析：根據平均數的計算公式，求得樣本中心為，代入回歸直線的方程，即可求解，得到樣本中心，再根據之間的變化趨勢，可得其負相關關系，即可得到答案.詳解：由題意，根據上表可知，即數據的樣本中心為，把樣本中心代入回歸直線的方程，可得，解得，則，即數據的樣本中心為，由上表中的數據可判定，變量之間隨著的增大，值變小，所以呈現負相關關系，由于回歸方程可知，回歸系數，而不是，所以C是錯誤的，故選C.點睛：本題主要考查了數據的平均數的計算公式，回歸直線方程的特點，以及相關關系的判定等基礎知識的應用，其中熟記回歸分析的基本知識點是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.4、C【解題分析】∵(a+2b)·(a-3b)=-72，∴5、C【解題分析】

通過三視圖的觀察可得到該幾何體是由一個圓錐加一個圓柱得到的，表面積由一個圓錐的表面積和一個圓柱的側面積組成【題目詳解】圓柱的側面積為，圓錐的表面積為，其中，，。選C【題目點撥】幾何體的表面積一定要看清楚哪些面存在，哪些面不存在6、C【解題分析】

因為將向左平移個單位可以得到，得解.【題目詳解】解：將向左平移個單位可以得到，故選C.【題目點撥】本題考查了函數圖像的平移變換，屬基礎題.7、D【解題分析】

根據輸出值和代碼，可得輸出的最高項的值，進而結合當型循環結構的特征得判斷框內容.【題目詳解】根據循環體，可知因為輸出的值為100，所以由等差數列求和公式可知求和到19停止，結合當型循環結構特征，可知滿足條件時返回執行循環體，因而判斷框內的內容為，故選：D.【題目點撥】本題考查了當型循環結構的代碼應用，根據輸出值選擇條件，屬于基礎題.8、D【解題分析】圓的圓心坐標為，半徑為1，∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離，即，解得，故選D.9、A【解題分析】

先求出的值，即得解.【題目詳解】由題得，，所以.故選A【題目點撥】本題主要考查三角函數的坐標定義，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.10、C【解題分析】

由等差數列的前項和公式解得，由，得，由此能求出的值?！绢}目詳解】解：差數列的前n項和為，，，解得，解得，故選：C。【題目點撥】本題考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據向量平行四邊形法則作出圖形，然后在三角形中利用正弦定理分析.【題目詳解】如圖所示，，，所以在中有：，則，故.【題目點撥】本題考查向量的平行四邊形法則的運用，難度一般.在運用平行四邊形法則時候，可以適當將其拆分為三角形，利用解三角形中的一些方法去解決問題.12、4【解題分析】

，的等比中項是1，再用均值不等式得到答案.【題目詳解】，的等比中項是1當時等號成立.故答案為4【題目點撥】本題考查了等比中項，均值不等式，意在考查學生的綜合應用能力.13、【解題分析】

利用遞推公式再遞推一步,得到一個新的等式,兩個等式相減,再利用累乘法可求出數列的通項公式,利用所求的通項公式可以求出的值.【題目詳解】得,,所以有,因此.故答案為：【題目點撥】本題考查了利用遞推公式求數列的通項公式,考查了累乘法,考查了數學運算能力.14、【解題分析】由導數的幾何意義可知，又，所以.15、﹣3【解題分析】

利用余弦函數的圖象的對稱性，余弦函數的最值，求得結論．【題目詳解】解：對于函數，令，求得，根據余弦函數的值域可得函數的最小值為，故答案為：；．【題目點撥】本題主要考查余弦函數的圖象的對稱性，余弦函數的最值，屬于基礎題．16、【解題分析】

先求出，可得，再代值計算即可.【題目詳解】.故答案為：【題目點撥】本題考查了等差數列的前項和公式、累乘相消法，考查了學生的計算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(I)0.045;(II)75;(III)0.7【解題分析】

(Ⅰ)根據頻率之和為1，結合題中數據，即可求出結果；(II)每組的中間值乘以該組頻率，再求和，即可得出結果；(III)用列舉法列舉出總的基本事件，以及滿足條件的基本事件，基本事件的個數比即為所求的概率.【題目詳解】(Ⅰ)由題意可得：(Ⅱ)各組的頻率分別為0.05，0.25，0.45，0.15，0.1，所以可估計全年級的平均分為；(Ⅲ)分數落在[80，90)的人數有3人，設為a，b，c，落在[90，100的人數有2人，設為A、B，則從中隨機抽取兩名的結果有{ab}，(ac}，{a4}，(aB}，{bc}，(bA}，(bB)，{cA}，{cB)，{AB}共10種，其中至少有一人不低于90分的有7種，故概率為0.7.【題目點撥】本題主要考查由頻率分布直方圖求參數，以及求均值的問題，同時考查古典概型的問題，熟記古典概型的概率公式，以及均值的求法即可，屬于?？碱}型.18、（1）見解析；（2）92.4【解題分析】

（1）根據總體的差異性選擇分層抽樣，再結合抽樣比計算出非示范性高中和示范性高中所抽取的人數；（2）將每個矩形底邊的中點值乘以相應矩形的面積所得結果，再全部相加可得出本次測驗全市學生數學成績的平均分．【題目詳解】（1）由于總體有明顯差異的兩部分構成，故采用分層抽樣，由題意，從示范性高中抽取人，從非師范性高中抽取人；（2）由頻率分布直方圖估算樣本平均分為推測估計本次檢測全市學生數學平均分為【題目點撥】本題考查分層抽樣以及計算頻率分布直方圖中的平均數，著重考查學生對幾種抽樣方法的理解，以及頻率分布直方圖中幾個樣本數字的計算方法，屬于基礎題．19、（1）400；（2）；（3）【解題分析】

（1）由分層抽樣按比例可得；（2）把5個樣本編號，用列舉法列出任取2輛的所有基本事件，得出至少有1輛舒適型轎車的基本事件，計數后可得概率．（3）求出，確定事件所含的個數后可得概率．【題目詳解】（1）由題意，解得；（2）C類產品中舒適型和標準型產品數量比為，因此5人樣品中舒適型抽取了2輛，標準型抽取了3輛，編號為，任取2輛的基本事件有：共10個，其中至少有1輛舒適型轎車的基本事件有共7個，所求概率為．（3）由題意，滿足的有共6個，函數沒有零點，則，解得，再去掉，還有4個，∴所求概率為．【題目點撥】本題考查分層抽樣，考查古典概型，解題關鍵是用列舉法寫出所有的基本事件．20、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）取中點為，連接，由中位線定理證得，即證得平行四邊形，于是有，這樣就證得線面平行；（2）由等體積法變換后可計算．【題目詳解】證明：（1）取中點為，連接，是平行四邊形，平面，平面，∴平面解：（2）是線段中點，則【題目點撥】本題考查線面平行的判定，考查棱錐的體積．線面平行的證明關鍵是找到線線平行，而棱錐的體積常常用等積變換，轉化頂點與底．21、（1）證明見解析．（2）證明見解析．【解題分析】

（1）根據所給遞推公式，將式子變形，即可由等差數列定義證明數列為等差數列.（2）根據數列為等差數列，結合等差數