14.3因式分解第十四章整式的乘法與因式分解14.3.1提公因式法逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2因式分解公因式用提公因式法分解因式知識點因式分解知1－講11.

定義把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.知1－講2.整式乘法與因式分解的關(guān)系(1)整式乘法與因式分解是兩種互逆的變形.即：多項式整式的積.(2)可以利用整式乘法檢驗因式分解的結(jié)果的正確性.因式分解整式乘法知1－講特別解讀1.因式分解的對象是多項式，結(jié)果是整式的積.2.因式分解是恒等變形，形式改變但值不改變.3.因式分解必須分解到每個多項式的因式不能再分解為止.知1－練例1

知1－練解題秘方：緊扣因式分解的定義進(jìn)行識別.答案：D

知1－練1-1.[中考·濟(jì)寧]下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是(

)A.x2－x－1＝x(x－1)－1B.x2－1＝(x－1)2C.

x2－x－6＝(x－3)(x＋2)D.

x(x－1)＝x2－xC知1－練

例2知1－練解題秘方：根據(jù)因式分解與整式乘法之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.答案：B解：利用整式的乘法法則將各選項中等式的右邊展開，與等式的左邊相比較，左右兩邊相同的只有選項B.知1－練

D知1－練例3仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知把二次三項式x2－4x＋m分解因式后有一個因式是x＋3，求其另一個因式及m的值.知1－練

知1－練解題秘方：利用因式分解與整式乘法是互逆變形，可以將因式分解的結(jié)果利用整式乘法算出多項式，并與已知多項式比較解決問題.知1－練問題：(1)若二次三項式x2－5x＋6可分解為(x－2)(x＋a)，則a＝_________；(2)若二次三項式2x2＋bx－5可分解為(2x－1)(x＋5)，則b＝________；－39知1－練(3)仿照以上方法解答下面的問題：已知把二次三項式2x2＋5x－k分解因式后有一個因式為2x－3，求其另一個因式及k的值.知1－練

展開后對應(yīng)項的系數(shù)相等知1－練3-1.[中考·濱州]把多項式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，則a，b的值分別是()A.

a＝2，b＝3B.

a＝－2，b＝－3C.

a＝－2，b＝3D.

a＝2，b＝－3B知1－練3-2.若將多項式x2＋3x＋a分解為(x＋1)(x＋2)，則a的值為()A.2 B.3C.

－3 D.

－2A知2－講知識點公因式21.定義一個多項式中各項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式.知2－講特別解讀1.公因式必須是多項式中每一項都含有的因式.只在某個或某些項中含有而其他項中沒有的因式不能成為公因式的一部分.2.

公因式可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式.知2－講2.

公因式的確定(1)確定公因式的系數(shù)：若多項式中各項系數(shù)都是整數(shù)，則取各項系數(shù)的最大公因數(shù)；(2)確定字母及字母的指數(shù)：取各項都含有的相同字母作為公因式中的字母，各項相同字母的指數(shù)取其中次數(shù)最低的；知2－講(3)若多項式各項中含有相同的多項式因式(相反的多項式因式化為相同的因式)，則應(yīng)將其看成一個整體，不要拆開，作為公因式中的因式.知2－練指出下列多項式各項的公因式：(1)3a2y－3ay＋6y；(2)4xy3－8x3y2；(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.例4解題秘方：緊扣公因式的定義求解.知2－練解：(1)中各項的公因式為3y；(2)中各項的公因式為4xy2；(3)中各項的公因式為(x－y)2；(4)中各項的公因式為－9a2b.知2－練4-1.多項式8a3b2＋12ab3c各項的公因式是()A.

abc B.ab2C.4ab2 D.4ab2cC知2－練4-2.下列各組式子中沒有公因式的是()A.4a2bc與8abc2B.a3b2＋1與a2b3－1C.b(a－2b)2與a(2b－a)2D.x＋1與x2－1B知3－講知識點用提公因式法分解因式31.

定義一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.用字母表示為：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).知3－講特別解讀1.

提公因式法實質(zhì)上是逆用乘法的分配律.2.提公因式法就是把一個多項式分解成兩個因式的積的形式，其中的一個因式是各項的公因式，另一個因式是多項式除以這個公因式所得的商.知3－講2.

提公因式法的一般步驟(1)找出公因式，就是找出各項都含有的公共因式；(2)確定另一個因式，另一個因式即多項式除以公因式所得的商；(3)寫成積的形式.知3－練將下列各式分解因式：(1)6x3y2－8xy3z；(2)－4a3b2＋12a2b－4ab.例5解題秘方：緊扣提公因式法的步驟分解因式.知3－練(1)6x3y2－8xy3z；(2)－4a3b2＋12a2b－4ab.解：6x3y2－8xy3z＝2xy2·3x2－2xy2·4yz＝2xy2(3x2－4yz)；－4a3b2＋12a2b－4ab＝－(4a3b2－12a2b＋4ab)＝－(4ab·a2b－4ab·3a＋4ab·1)＝－4ab(a2b－3a＋1).知3－練解法提醒：1.當(dāng)多項式首項系數(shù)是負(fù)數(shù)時，一般應(yīng)先提出“－”號，但要注意，此時括號內(nèi)各項都要改變符號.2.4ab與公因式相同，提取公因式后，此項為“1”，此時容易漏掉“1”這一項而導(dǎo)致錯誤．知3－練5-1.下列多項式中，能用提公因式法分解因式的是()A.x2－y B.x2－2xC.

x2＋y2 D.

x2－xy＋y2B知3－練5-2.分解因式：(1)4x2－2x；(2)－8x2y2－4x2y＋2xy.解：原式＝2x(2x－1)；原式＝－2xy(4xy＋2x－1)．提公因式法因式分解提公因式法公因式概念互逆變形檢驗整式乘法14.3因式分解第十四章整式的乘法與因式分解14.3.2公式法逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2用平方差公式分解因式用完全平方公式分解因式知識點用平方差公式分解因式知1－講11.平方差公式法兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：a2－b2＝(a＋b)(a－b).知1－講特別解讀1.因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式.2.乘法公式中的平方差公式指的是符合兩數(shù)和與兩數(shù)差的積的條件后，結(jié)果寫成平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能寫成平方差形式的多項式，可以分解成兩個數(shù)的和乘這兩個數(shù)的差的形式.知1－講2.

平方差公式的特點(1)等號的左邊是一個二項式，各項都是平方的形式且符號相反；(2)等號的右邊是兩個二項式的積，其中一個二項式是這兩個數(shù)的和，另一個二項式是這兩個數(shù)的差.知1－講3.

運(yùn)用平方差公式分解因式的步驟一判：判斷是否為平方差，若負(fù)平方項在前面，利用加法的交換律把負(fù)平方項交換放在后面.二定：確定公式中的a和b，除a和b是單獨一個數(shù)或字母外，其余都必須用括號括起來，表示一個整體.三套：套用平方差公式進(jìn)行分解.四整理：將每個因式去括號，合并同類項化成最簡的.知1－練例1

解題秘方：先確定平方差公式中的“a”和“b”，再運(yùn)用平方差公式分解因式.

知1－練解：4x2－25y2＝(2x)2－(5y)2＝(2x＋5y)(2x－5y)；(a＋2)2－1＝(a＋2＋1)(a＋2－1)＝(a＋3)(a＋1)；

知1－練解：16(a－b)2－25(a＋b)2＝[4(a－b)＋5(a＋b)][4(a－b)－5(a＋b)]＝(4a－4b＋5a＋5b)(4a－4b－5a－5b)＝(9a＋b)(－a－9b)＝－(9a＋b)(a＋9b).(4)16(a－b)2－25(a＋b)2.知1－練1-1.分解因式：(1)a2b2－16；(2)100x2－9y2；解：原式＝(ab＋4)(ab－4)；原式＝(10x＋3y)(10x－3y)；知1－練(3)a4－1；(4)49x2－(5x－2)2.解：原式＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)·(a－1)；原式＝[7x＋(5x－2)][7x－(5x－2)]＝(12x－2)(2x＋2)＝4(6x－1)(x＋1)．知2－講知識點用完全平方公式分解因式21.

完全平方式形如a2±2ab＋b2這樣的式子叫做完全平方式.完全平方式的條件：(1)多項式是二次三項式；(2)首末兩項是兩個數(shù)(或式子)的平方且符號相同，中間項是這兩個數(shù)(或式子)的積的2倍，符號可以是“＋”，也可以是“－”.知2－講2.完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.知2－講特別解讀1.因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的完全平方公式的逆用.2.結(jié)果是和的平方還是差的平方由乘積項的符號確定，乘積項的符號可以是“＋”，也可以是“－”，而兩個平方項的符號必須相同，否則就不是完全平方式，也就不能用完全平方公式進(jìn)行因式分解.3.用完全平方公式分解因式時，若多項式各項有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式.知2－講3.

因式分解的一般步驟(1)當(dāng)多項式有公因式時，先提取公因式；當(dāng)多項式?jīng)]有公因式時(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；(2)當(dāng)不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式時，可根據(jù)多項式的特點，把其變形為能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；(3)當(dāng)乘積中每一個因式都不能再分解時，因式分解就結(jié)束了.知2－練已知9a2＋ka＋16是一個完全平方式，則k的值是__________.例2解題秘方：根據(jù)平方項確定乘積項，進(jìn)而確定字母的值.解：：∵9a2＝(3a)2，16＝42，9a2＋ka＋16是一個完全平方式，∴ka＝±2×3a×4＝±24a.∴k＝±24.有和的完全平方式和差的完全平方式兩種形式±24知2－練

D知2－練

解題秘方：先確定完全平方公式中的“a”和“b”，再運(yùn)用完全平方公式分解因式.例3(1)x2－14x＋49；(2)－6ab－9a2－b2；知2－練解：x2－14x＋49＝x2－2·x·7＋72＝(x－7)2；－6ab－9a2－b2＝－(9a2＋6ab＋b2)＝－[(3a)2＋2·3a·b＋b2]＝－(3a＋b)2；(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81＝(x2＋6x)2＋2·(x2＋6x)·9＋92＝(x2＋6x＋9)2＝(x＋3)4.

知2－練完全平方公式可以連續(xù)使用，因式分解的結(jié)果要徹底.

知2－練3-1.因式分解4x2＋4x＋1，結(jié)果正確的是()A.4x(x＋1)＋1B.(4x＋1)2C.(2x＋1)2D.(2x－1)2C知2－練3-2.分解因式：(1)4x2＋y2－4xy；(2)9－12a＋4a2；(3)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.解：原式＝4x2－4xy＋y2＝(2x－y)2；原式＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2；原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2.知2－練分解因式：(1)－3a3b＋48ab3；(2)x4－8x2＋16；(3)25x2(a－b)＋36y2(b－a).解題秘方：先觀察是否有公因式，若有，先提取公因式，然后通過觀察項數(shù)確定能用哪個公式分解因式.例4知2－練(1)－3a3b＋48ab3；(2)x4－8x2＋16；解：－3a3b＋48ab3＝－3ab(a2－16b2)＝－3ab(a＋4b)(a－4b)；x4－8x2＋16＝[(x＋2