新疆伊寧生產建設兵團第四師第一中學2024屆數學高一第二學期期末學業質量監測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知曲線，如何變換可得到曲線（）A．把上各點的橫坐標伸長到原來的倍，再向右平移個單位長度B．把上各點的橫坐標伸長到原來的倍，再向左平移個單位長度C．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，再向右平移個單位長度D．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，再向左平移個單位長度2．如圖，在三棱柱中，側棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側棱長為3，則與平面所成的角為（）A． B． C． D．3．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則角=（）A． B． C． D．4．已知向量，且，則的值為（）A．1 B．2 C． D．35．已知為第一象限角，，則（）A． B． C． D．6．在1和19之間插入個數，使這個數成等差數列，若這個數中第一個為，第個為，當取最小值時，的值是（）A．4 B．5 C．6 D．77．設長方體的長、寬、高分別為2，1，1，其頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．8．已知圓和兩點，，．若圓上存在點，使得，則的最小值為（）A． B． C． D．9．采用系統抽樣方法從人中抽取人做問卷調查，為此將他們隨機編號為，，，，分組后某組抽到的號碼為1．抽到的人中，編號落入區間的人數為（）A．10 B． C．12 D．1310．在中，，則此三角形解的情況是()A．一解 B．兩解 C．一解或兩解 D．無解二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數的圖象如下，則的值為__________．12．已知，，則________13．若數列滿足（）,且，，__.14．函數在內的單調遞增區間為____.15．設，，，若，則實數的值為______16．三棱錐的各頂點都在球的球面上，，平面，，，球的表面積為，則的表面積為_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取名中學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如表所示．組號分組頻數頻率第1組5第2組①第3組30②第4組20第5組10（1）請先求出頻率分布表中位置的相應數據，再完成頻率分布直方圖；（2）為了能選拔出最優秀的學生，高校決定在筆試成績高的第組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試；（3）在（2）的前提下，學校決定在名學生中隨機抽取名學生接受考官進行面試，求：第組至少有一名學生被考官面試的概率．18．已知數列的各項排成如圖所示的三角形數陣，數陣中，每一行的第一個數，，，，…構成等差數列，是的前n項和，且，（1）若數陣中從第三行開始每行中的數按從左到右的順序均構成公比為正數的等比數列，且公比相等，已知，求的值；（2）設，對任意，求及的最大值．19．2013年11月，總書記到湖南湘西考察時首次作出了“實事求是、因地制宜、分類指導精準扶貧”的重要指示.2014年1月，中央詳細規制了精準扶貧工作模式的頂層設計，推動了“精準扶貧”思想落地.2015年1月，精準扶貧首個調研地點選擇了云南，標志著精準扶貧正式開始實行．某單位立即響應黨中央號召，對某村6戶貧困戶中的甲戶進行定點幫扶，每年跟蹤調查統計一次，從2015年1月1日至2018年12月底統計數據如下（人均年純收入）：年份2015年2016年2017年2018年年份代碼1234收入（百元）25283235（1）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程，并估計甲戶在2019年能否脫貧；（注：國家規定2019年脫貧標準：人均年純收入為3747元）（2）2019年初，根據扶貧辦的統計知，該村剩余5戶貧困戶中還有2戶沒有脫貧，現從這5戶中抽取2戶，求至少有一戶沒有脫貧的概率．參考公式：，，其中為數據的平均數．20．在直角中，，延長至點D，使得，連接.（1）若，求的值；（2）求角D的最大值.21．已知正項數列，滿足：對任意正整數，都有，，成等差數列，，，成等比數列，且，．（Ⅰ）求證：數列是等差數列；（Ⅱ）求數列，的通項公式；（Ⅲ）設=++…+，如果對任意的正整數，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

用誘導公式把兩個函數名稱化為相同，然后再按三角函數圖象變換的概念判斷．【題目詳解】，∴可把的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍，再向左平移個單位長度或先向左平移個單位，再把圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）可得的圖象，故選：D．【題目點撥】本題考查三角函數的圖象變換，解題時首先需要函數的前后名稱相同，其次平移變換與周期變換的順序不同時，平移的單位有區別．向左平移個單位所得圖象的函數式為，而不是．2、A【解題分析】

取的中點，連接、，作，垂足為點，證明平面，于是得出直線與平面所成的角為，然后利用銳角三角函數可求出．【題目詳解】如下圖所示，取的中點，連接、，作，垂足為點，是邊長為的等邊三角形，點為的中點，則，且，在三棱柱中，平面，平面，，，平面，平面，，，，平面，所以，直線與平面所成的角為，易知，在中，，，，，，即直線與平面所成的角為，故選A．【題目點撥】本題考查直線與平面所成角的計算，求解時遵循“一作、二證、三計算”的原則，一作的是過點作面的垂線，有時也可以通過等體積法計算出點到平面的距離，利用該距離與線段長度的比值作為直線與平面所成角的正弦值，考查計算能力與推理能力，屬于中等題．3、A【解題分析】

由正弦定理可解得，利用大邊對大角可得范圍，從而解得A的值．【題目詳解】，由正弦定理可得：，，由大邊對大角可得：，解得：．故選A．【題目點撥】本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，正弦函數的圖象和性質等知識的應用，解題時要注意分析角的范圍．4、A【解題分析】

由，轉化為，結合數量積的坐標運算得出，然后將所求代數式化為，并在分子分母上同時除以，利用弦化切的思想求解．【題目詳解】由題意可得，即．∴，故選A．【題目點撥】本題考查垂直向量的坐標表示以及同角三角函數的基本關系，考查弦化切思想的應用，一般而言，弦化切思想應用于以下兩方面：（1）弦的分式齊次式：當分式是關于角弦的次分式齊次式，分子分母同時除以，可以將分式由弦化為切；（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化為角的二次整式，然后除以化為弦的二次分式齊次式，并在分子分母中同時除以可以實現弦化切．5、B【解題分析】

由式子兩邊平方可算得，又由，即可得到本題答案.【題目詳解】因為，，，，所以.故選：B【題目點撥】本題主要考查利用同角三角函數的基本關系及誘導公式化簡求值.6、B【解題分析】

設等差數列公差為,可得,再利用基本不等式求最值,從而求出答案.【題目詳解】設等差數列公差為,則,從而,此時,故,所以,即,當且僅當,即時取“=”,又,解得,所以,所以,故選:B.【題目點撥】本題主要考查數列和不等式的綜合運用,需要學生對所學知識融會貫通,靈活運用.7、B【解題分析】

先求出長方體的對角線的長度，即得外接球的直徑，再求球的表面積得解.【題目詳解】由題得長方體外接球的直徑.故選：B【題目點撥】本題主要考查長方體的外接球的表面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.8、D【解題分析】

因為，所以點的軌跡為以為直徑的圓，故點是兩圓的交點，根據圓與圓的位置關系，即可求出．【題目詳解】根據可知，點的軌跡為以為直徑的圓，故點是圓和圓的交點，因此兩圓相切或相交，即，亦即．故的最小值為．故選：D．【題目點撥】本題主要考查圓與圓的位置關系的應用，意在考查學生的轉化能力，屬于基礎題．9、C【解題分析】

由題意可得抽到的號碼構成以11為首項、以30為公差的等差數列，求得此等差數列的通項公式為an＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整數n的個數，即可得出結論．【題目詳解】∵960÷32＝30，∴每組30人，∴由題意可得抽到的號碼構成以30為公差的等差數列，又某組抽到的號碼為1，可知第一組抽到的號碼為11，∴由題意可得抽到的號碼構成以11為首項、以30為公差的等差數列，∴等差數列的通項公式為an＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n﹣19≤755，n為正整數可得14≤n≤25，∴做問卷C的人數為25﹣14+1＝12，故選C．【題目點撥】本題主要考查等差數列的通項公式，系統抽樣的定義和方法，根據系統抽樣的定義轉化為等差數列是解決本題的關鍵，比較基礎．10、B【解題分析】由題意知，，，，∴，如圖：∵，∴此三角形的解的情況有2種，故選B．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由函數的圖象的頂點坐標求出,由半個周期求出,最后將特殊點的坐標求代入解析式,即可求得的值.【題目詳解】解：由圖象可得,,得.,將點代入函數解析式,得,,,又因為,所以故答案為：【題目點撥】本題考查由的部分圖象確定其解析式.（1）根據函數的最高點的坐標確定（2）根據函數零點的坐標確定函數的周期求（3）利用最值點的坐標同時求的取值,即可得到函數的解析式.12、【解題分析】

直接利用反三角函數求解角的大小，即可得到答案.【題目詳解】因為，，根據反三角函數的性質，可得.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查了三角方程的解法，以及反三角函數的應用，屬于基礎題.13、1【解題分析】

由數列滿足，即，得到數列的奇數項和偶數項分別構成公比為的等比數列，利用等比數列的極限的求法，即可求解．【題目詳解】由題意，數列滿足，即，又由，，所以數列的奇數項構成首項為1，公比為，偶數項構成首項為，公比為的等比數列，當為奇數時，可得，當為偶數時，可得．所以．故答案為：1.【題目點撥】本題主要考查了等比數列的定義，以及無窮等比數列的極限的計算，其中解答中得出數列的奇數項和偶數項分別構成公比為的等比數列是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．14、【解題分析】

將函數進行化簡為，求出其單調增區間再結合，可得結論.【題目詳解】解：，遞增區間為：，可得，在范圍內單調遞增區間為。故答案為：.【題目點撥】本題考查了正弦函數的單調區間，屬于基礎題。15、【解題分析】

根據題意，可以求出，根據可得出，進行數量積的坐標運算即可求出的值.【題目詳解】故答案為：【題目點撥】本題考查向量垂直的坐標表示，屬于基礎題.16、【解題分析】

根據題意可證得，而，所以球心為的中點．由球的表面積為，即可求出，繼而得出的值，求出三棱錐的表面積．【題目詳解】如圖所示：∵，平面，∴，又，故球心為的中點．∵球的表面積為，∴，即有．∴，．∴，，，．故的表面積為．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查三棱錐的表面積的求法，球的表面積公式的應用，意在考查學生的直觀想象能力和數學運算能力，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）人，，直方圖見解析；（2）人、人、人；（3）.【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖能求出第組的頻數，第組的頻率，從而完成頻率分布直方圖．（2）根據第組的頻數計算頻率，利用各層的比例，能求出第組分別抽取進入第二輪面試的人數．（3）設第組的位同學為，第組的位同學為，第組的位同學為，利用列舉法能出所有基本事件及滿足條件的基本事件的個數，利用古典概型求得概率．【題目詳解】（1）①由題可知，第2組的頻數為人，②第組的頻率為，頻率分布直方圖如圖所示，

（2）因為第組共有名學生，所以利用分層抽樣在名學生中抽取名學生進入第二輪面試，每組抽取的人數分別為：第組：人，第組：人，第組：人，所以第組分別抽取人、人、人進入第二輪面試．（3）設第組的位同學為，第組的位同學為，第組的位同學為，則從這六位同學中抽取兩位同學有種選法，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，其中第組的位同學中至少有一位同學入選的有種，分別為：，，，∴第組至少有一名學生被考官面試的概率為．【題目點撥】本題考查頻率分直方圖、分層抽樣的應用，考查概率的求法，考查數據處理能力、運算求解能力，是基礎題．18、(1)(2),.【解題分析】

（1）先求出的通項公式，再計算等比數列的公比，最后得到.（2）先計算,再利用裂項求和計算得到，設函數，通過均值不等式得到答案.【題目詳解】（1）為等差數列，設公差為，，，，，.設從第3行起，每行的公比都是q，且，，，，，故是數陣中第10行第5個數，而.（2），.設：（當且僅當時，等號成立）時，（其他方法酌情給分）【題目點撥】本題考查了等差數列等比數列，裂項求和，均值不等式，綜合性強，意在考查學生的計算能力和解決問題的能力.19、(1)；甲戶在2019年能夠脫貧；(2)【解題分析】

（1）由已知數據求得與的值，得到線性回歸方程，取求得值，說明甲戶在2019年能否脫貧；（2）列出從該村剩余5戶貧困戶中任取2戶的所有可能情況，利用隨機事件的概率計算公式求解．【題目詳解】（1）根據表格中數據可得，，由，，可