PAGEPAGE3江西省贛州市十八縣（市、區）二十三校2024屆高三上學期11月期中聯考數學試題一?選擇題1.命題“對任意的個位數字不等于2”的否定是（）A.的個位數字等于2B.的個位數字不等于2C.的個位數字等于2D.的個位數字不等于2【答案】A【解析】由全稱命題的否定為特稱命題，則原命題的否定為的個位數字等于2.故選：A.2.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由或，所以或，且則.故選：B.3.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，又，所以，即，解得，所以，所以，故選：A4.已知為第一象限角，且，則為（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】D【解析】由題設，則，所以，而為第一象限角，所以，則,所以，即為第四象限角.故選：D.5.已知等差數列的公差不為0，且成等比數列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設，令的公差為且，則，可得，所以，故.故選：D6.若，則“”是“”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由，，顯然時，不成立，充分性不成立；由，，而，則，當且僅當時等號成立，必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C.7.某工廠新購置并安裝了先進的廢氣處理設備，使產生的廢氣經過過濾后排放，以減少對空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數量（單位：）與過濾時間（單位：）的關系為（是正常數）.若經過過濾后消除了的污染物，則污染物減少大約需要（）（參考數據：）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，經過過濾后還剩余的污染物，則，解得，設污染物減少用時小時，于是，即，則，即，兩邊取對數得，因此，所以污染物減少大約需要.故選：B.8.已知函數的定義域為為偶函數，為奇函數，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數的定義域為R，由是偶函數，得，即，由為奇函數，得，即，顯然，因此，即，有，，，而的值都不確定，ABC錯誤，D正確.故選：D.二?多選題9.已知函數，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關于直線對稱C.的圖象關于中心對稱D.在區間上單調遞增【答案】ACD【解析】因為，所以的最小正周期，故A正確；因為，所以不是的對稱軸，是的對稱中心，故B錯誤，C正確；因為，所以，所以在區間上單調遞增，故D正確.故選：ACD.10.若數列滿足：對任意正整數為等差數列，則稱數列為“二階等差數列”.若不是等比數列，但中存在不相同的三項可以構成等比數列，則稱是“局部等比數列”.給出下列數列，其中既是“二階等差數列”，又是“局部等比數列”的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】A：由為常數列，也是等比數列，不符合“局部等比數列”；B：由不是等比數列，且，故為常數列，也為等差數列；其中可構成等比數列，符合；C：由不是等比數列，且，故為等差數列；其中可構成等比數列，符合；D：由不是等比數列，且，則，，，顯然不為等差數列，不符合；故選：BC.11.如圖，在棱長為2的正方體中，分別是上的動點，下列說法正確的是（）A.B.三棱錐的體積是C.點到平面的距離是D.該正方體外接球的半徑與內切球的半徑之比是【答案】AC【解析】A：由面，面，則，又，而，面，則面，面，所以，對；B：由，錯；C：由，面，面，則面，又面即為面，且是上的動點，所以點到平面的距離，即為到面的距離，由⊥平面，平面，則，又，而，平面，則⊥平面，所以所求距離為，對；D：由于正方體外接球半徑為體對角線的一半，即為，正方體內切球的半徑為棱長的一半，即為1，所以正方體外接球的半徑與內切球的半徑之比是，錯.故選：AC.12.若方程有兩個根，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】如圖所示，作出函數和的圖像，易知①，②，且，所以，對于A：易知，所以，因為在區間上單調遞增且，所以，A錯誤；對于B：令函數.當時，，當時，.所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即，當且僅當時，等號成立.由①知，即，則B正確；對于C：由②知，即，又，所以，C正確；對于D：由上可知，所以，而①+②可得，即，所以，D正確，故選：BCD.三?填空題13.__________.【答案】【解析】.故答案為：14.已知函數在上單調遞減，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】令，則在上遞減，在上遞增，而在定義域上為增函數，所以在上遞減，在上遞增，又在上單調遞減，故，則.故答案為：15.在中，，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題設，外接圓半徑為，如下圖，外接圓中連接，所以為等邊三角形，且，所以，當反向共線時最小為，當同向共線時最大為，所以.故答案為：16.如圖，這是某同學繪制的素描作品，圖中的幾何體由一個正四棱錐和一個正四棱柱貫穿構成，正四棱柱的側棱平行于正四棱錐的底面，正四棱錐的側棱長為，底面邊長為6，正四棱柱的底面邊長為是正四棱錐的側棱和正四棱柱的側棱的交點，則__________.【答案】2【解析】過作垂直于四棱錐底面的截面，如圖所示，由條件可知，為底面正方形的對角線，所以，所以,長度為正四棱柱底面正方形的對角線，所以，長度為正四棱柱底面正方形的對角線的一半，所以，由可得，解得，由可得，所以，故答案為：2.四?解答題17.在等腰直角中，為內一點，.（1）若，求；（2）若，求解：（1）由題設，則，在中，則，即，由，則，所以，則.（2）設，則，由（1）知：，在中，則，即.18.已知函數在處取得極值.（1）求的值；（2）求在上的值域.解：（1）函數，求導得，由在處取得極值，得，解得，此時，當時，，當時，，即函數在處取得極值，所以.（2）由（1）知，，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，當時，，而，即，所以函數在上的值域為.19.如圖，在正三棱柱中，分別為的中點，.（1）求；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）設，又分別為的中點，則，由為正三棱柱，即上下底面為等邊三角形，又，所以，且，由，則，可得，所以.（2）作，構建以為原點的空間直角坐標系，如下圖示，則，故，若是面的一個法向量，則，令，則，而，所以，即直線與平面所成角的正弦值為.20.已知數列滿足.（1）求的通項公式；（2）若，求數列的前項和及其最小值.解：（1）由，得，兩式相減得，而，，則，因此當n為正奇數時，，當n為正偶數時，，所以的通項公式是.（2）由（1）知，，則有，兩式相減得，因此，顯然當時，，，當時，，又，因此，所以數列的前項和，的最小值為.21.在中，內角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若為的中點，在上存在點，使得，求的值.解：（1）由，而，所以，則，且，若，即，則，所以；若，即，則，顯然不成立；綜上，.（2）如下圖示，若且，則，同理，所以，則，由（1）易知，且，所以，整理得，綜上，，，所以，即，，即，故.22.已知函數.（1）試討論的單調區間；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.解：（1）函數的定義域為，求導得，當時，在上恒成立，即在上單調遞減；當時，令，解得，當時，，當時，，因此在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）由（1）知，當時，上單調遞減，最多只有1個零點，當時，的最小值為，若有兩個零點，則，由，得，，令函數，則在上單調遞減，又，即當時，，則當，即時，，令函數，當時，，當時，，因此在上單調遞增，在上單調遞減，則，即，，令函數，由二次函數的圖象及性質得，，即，于是當，即時，有2個零點，所以若有兩個零點，則的取值范圍為.江西省贛州市十八縣（市、區）二十三校2024屆高三上學期11月期中聯考數學試題一?選擇題1.命題“對任意的個位數字不等于2”的否定是（）A.的個位數字等于2B.的個位數字不等于2C.的個位數字等于2D.的個位數字不等于2【答案】A【解析】由全稱命題的否定為特稱命題，則原命題的否定為的個位數字等于2.故選：A.2.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由或，所以或，且則.故選：B.3.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，又，所以，即，解得，所以，所以，故選：A4.已知為第一象限角，且，則為（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】D【解析】由題設，則，所以，而為第一象限角，所以，則,所以，即為第四象限角.故選：D.5.已知等差數列的公差不為0，且成等比數列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設，令的公差為且，則，可得，所以，故.故選：D6.若，則“”是“”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由，，顯然時，不成立，充分性不成立；由，，而，則，當且僅當時等號成立，必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C.7.某工廠新購置并安裝了先進的廢氣處理設備，使產生的廢氣經過過濾后排放，以減少對空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數量（單位：）與過濾時間（單位：）的關系為（是正常數）.若經過過濾后消除了的污染物，則污染物減少大約需要（）（參考數據：）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，經過過濾后還剩余的污染物，則，解得，設污染物減少用時小時，于是，即，則，即，兩邊取對數得，因此，所以污染物減少大約需要.故選：B.8.已知函數的定義域為為偶函數，為奇函數，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數的定義域為R，由是偶函數，得，即，由為奇函數，得，即，顯然，因此，即，有，，，而的值都不確定，ABC錯誤，D正確.故選：D.二?多選題9.已知函數，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關于直線對稱C.的圖象關于中心對稱D.在區間上單調遞增【答案】ACD【解析】因為，所以的最小正周期，故A正確；因為，所以不是的對稱軸，是的對稱中心，故B錯誤，C正確；因為，所以，所以在區間上單調遞增，故D正確.故選：ACD.10.若數列滿足：對任意正整數為等差數列，則稱數列為“二階等差數列”.若不是等比數列，但中存在不相同的三項可以構成等比數列，則稱是“局部等比數列”.給出下列數列，其中既是“二階等差數列”，又是“局部等比數列”的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】A：由為常數列，也是等比數列，不符合“局部等比數列”；B：由不是等比數列，且，故為常數列，也為等差數列；其中可構成等比數列，符合；C：由不是等比數列，且，故為等差數列；其中可構成等比數列，符合；D：由不是等比數列，且，則，，，顯然不為等差數列，不符合；故選：BC.11.如圖，在棱長為2的正方體中，分別是上的動點，下列說法正確的是（）A.B.三棱錐的體積是C.點到平面的距離是D.該正方體外接球的半徑與內切球的半徑之比是【答案】AC【解析】A：由面，面，則，又，而，面，則面，面，所以，對；B：由，錯；C：由，面，面，則面，又面即為面，且是上的動點，所以點到平面的距離，即為到面的距離，由⊥平面，平面，則，又，而，平面，則⊥平面，所以所求距離為，對；D：由于正方體外接球半徑為體對角線的一半，即為，正方體內切球的半徑為棱長的一半，即為1，所以正方體外接球的半徑與內切球的半徑之比是，錯.故選：AC.12.若方程有兩個根，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】如圖所示，作出函數和的圖像，易知①，②，且，所以，對于A：易知，所以，因為在區間上單調遞增且，所以，A錯誤；對于B：令函數.當時，，當時，.所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即，當且僅當時，等號成立.由①知，即，則B正確；對于C：由②知，即，又，所以，C正確；對于D：由上可知，所以，而①+②可得，即，所以，D正確，故選：BCD.三?填空題13.__________.【答案】【解析】.故答案為：14.已知函數在上單調遞減，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】令，則在上遞減，在上遞增，而在定義域上為增函數，所以在上遞減，在上遞增，又在上單調遞減，故，則.故答案為：15.在中，，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題設，外接圓半徑為，如下圖，外接圓中連接，所以為等邊三角形，且，所以，當反向共線時最小為，當同向共線時最大為，所以.故答案為：16.如圖，這是某同學繪制的素描作品，圖中的幾何體由一個正四棱錐和一個正四棱柱貫穿構成，正四棱柱的側棱平行于正四棱錐的底面，正四棱錐的側棱長為，底面邊長為6，正四棱柱的底面邊長為是正四棱錐的側棱和正四棱柱的側棱的交點，則__________.【答案】2【解析】過作垂直于四棱錐底面的截面，如圖所示，由條件可知，為底面正方形的對角線，所以，所以,長度為正四棱柱底面正方形的對角線，所以，長度為正四棱柱底面正方形的對角線的一半，所以，由可得，解得，由可得，所以，故答案為：2.四?解答題17.在等腰直角中，為內一點，.（1）若，求；（2）若，求解：（1）由題設，則，在中，則，即，由，則，所以，則.（2）設，則，由（1）知：，在中，則，即.18.已知函數在處取得極值.（1）求的值；（2）求在上的值域.解：（1）函數，求導得，由在處取得極值，得，解得，此時，當時，，當時，，即函數在處取得極值，所以.（2）由（1）知，，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，當時，，而，即，所以函數在上的值域為.19.如圖，在正三棱柱中，分別為的中點，.（1）求；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）設，又分別為的中點，則，由為正三棱柱，即上下底面為等邊三角形，又，所以