第3章固定收益證券計算清華大學經管學院朱世武Resdat樣本數據：SAS論壇：3.1收益計算3.2其它計算3.3績效衡量3.4二叉樹定價模型3.5習題收益計算內生收益率固定收益證券收益率是一種利率，它能使現金流的現值等于初始投資的價格。內生收益率〔InternalRateofReturn〕計算公式如下：其中：P為價格($)；為第i期現金流($)；y為內生收益率；n為期數。P，可以用試錯法求內生收益率。試錯法計算內生收益率步驟：1．給出一個收益率；2．用步驟1給出的收益率計算每筆現金流的現值；3．加總步驟2得出的現金流現值；4．將步驟3得出的現金流總現值與金融工具的價格作比較。當步驟3得出的現金流總現值比金融工具的價格大時，選擇一個比步驟1大的收益率重復以上步驟。反之，選擇一個更小的收益率進行重復。例3.1假定一種金融工具有如表3.1的年金支付，金融工具的價格為7704美元，試求它的內生收益率。表3.1年金支付情況從現在算起的年數預計年金支付12342000200025004000%macroa(r);data;p=2000/(1+&r)+2000/(1+&r)**2+2500/(1+&r)**3+4000/(1+&r)**4;r=100*&r;putr=p=;%menda;%a(0.1);%a(0.14);%a(0.12);run;本例計算程序：計算結果：r=10p=8081.4152039r=14p=7349.0709218r=12p=7701.624974將計算結果與7704相比較，得出12%為該金融工具的內生收益率注：上例也可以直接用SAS函數yield=irr(1,-7704,2000,2000,2500,4000);

函數irr的用法：IRR(freq,c0,cl,...,cn)，freq表示每年產生現金流次數，c0-cn為現金流?；蛴肊xcel函數IRR(A1:A5)，這里A1:A5記錄現金流。計算結果一致。到期收益率到期收益率〔YieldtoMaturity〕是與債券聯系在一起的術語，指投資者持有債券至到期日時所獲得的內生收益率。即到期收益率也是一種內生收益率。到期收益率的計算公式如下：其中：P為價格($)；C為半年期的票息($)；y為到期收益率的一半；n為期數()；Par為面值(到期價值)。P，可以用試錯法求到期收益率。因此，試錯法計算到期收益率步驟：1．給出一個收益率；2．用步驟1給出的收益率計算每筆現金流的現值；3．加總步驟2得出的現金流現值；4．將步驟3得出的現金流總現值與金融工具的價格作比較。當步驟3得出的現金流總現值比金融工具的價格大時，選擇一個比步驟1大的收益率重復以上步驟。反之，選擇一個更小的收益率進行重復。試錯法計算到期收益率通用程序：dataa;delete;Run;%macroa(r,n,d,par);dataa1;p1=0;%doi=1%to&n;p1=p1+&d/(1+&r)**&i;output;%end;dataa1;seta1end=lasobs;iflasobs;p2=&par/(1+&r)**&n;p=p1+p2;r=200*&r;r1=100*&r;n=&n;dataa;setaa1;%menda;/*%a(r,n,d,par)內的具體參數值*/procprintdata=a;run;例3.2假定發行者每6個月支付1000000美元給證券持有者并連續支付30次，到期后的支付額為20000000美元。發行時，發行者籌得資金為19696024美元。計算得知，資金總本錢率為5.10%(半年期)。利用通用程序，a(r,n,d,par)取值如下：%a(0.05,30,1000000,20000000);%a(0.0505,30,1000000,20000000);%a(0.051,30,1000000,20000000);計算結果：Obsp1p2prr1n115372451.034627548.9720000000.0010.05.0030215285221.194561926.6019847147.7910.15.053015198759.444497265.3719696024.8110.25.1030將計算結果與該金融工具的價格19696024美元比較，5.10%為其到期收益率(半年期)。注：上例也可以直接用SAS函數yield=yieldp(20000000,2000000/20000000,2,30,0.5,19696024);函數yieldp用法：YIELDP(A,c,n,K,k0,p)，其中A表示面值，c為小數形式表示的名義年票息率，n為年付息次數，K為從現在起至到期日生于付息次數，k0為現在到下一個付息日的時間，p為價格。或用Excel函數yield=RATE(30,1000000,-19696024,20000000,0)。RATE用法：RATE(Nper,Pmt,Pv,Fv,Type)，其中Nper表示付息次數，Pmt表示票息金額，Pv表示價格〔初期現金流出，故為負值〕，Fv表示期末現金流，Type表示付款時間在期初還是期末，0或忽略表期末。計算結果一致。有效年利率計算銀行存款中有名義年利率和有效年利率，這兩種利率中較高的一個是有效年利率。有效年利率與周期性利率之間的換算關系：其中：m為每年支付的頻率。例3.5半年期周期性利率為4%時有效年收益率為1.042-1=8.16%。如果利息按季支付，那么周期性利率為2%時有效年利率為8.24%。計算程序：%macroa(r,m);data;i=(1+&r)**&m-1;r=100*&r;putr=i=;%menda;%a(0.02,4);run;計算結果：r=2,i=0.08243216注：上例也可以直接用SAS函數r=compound(1,1.02,.,0.25);函數compound的用法：COMPOUND(a,f,r,n)，其中a表示期初值，f表示期末值，r為有效年利率，n為年付息次數。也可以用excel函數r=EFFECT(0.08,4)。EFFECT(nominal_rate,npery)。三種收益率之間的關系債券當前收益率定義如下：表3.2三種收益率之間的關系債券發行方式三種收益率之間的關系平價票息率=當前收益率=到期收益率折價票息率<當前收益率<到期收益率溢價票息率>當前收益率>到期收益率例3.6計算一種票息率為6%,價格為700.89美元的18年期債券的當前收益率和到期收益率。假定這種債券5年內第一次被贖回的價格為1030美元,該債券的票息為每6個月支付30美元，連續支付10次。求該債券第一個贖回日的收益率。利用通用程序，a(r,n,d,par)取值如下：%a(0.056,10,30,1030);%a(0.0585,10,30,1030);%a(0.061,10,30,1030);%a(0.0635,10,30,1030);%a(0.066,10,30,1030);%a(0.0685,10,30,1030);%a(0.071,10,30,1030);%a(0.0735,10,30,1030);%a(0.076,10,30,1030);第一個贖回日收益率計算計算結果：Obsp1p2prr1n1225.048597.308822.35611.25.60102222.380583.349805.72911.75.85103219.760569.749789.50912.26.10104217.187556.496773.68312.76.35105214.659543.582758.24113.26.60106212.176530.997743.17313.76.85107209.737518.731728.46814.27.10108207.340506.777714.11714.77.3510204.985495.125700.11015.27.6010比較得出，債券第一個贖回日的收益率為15.2%。清算日處于兩個付息日之間的到期收益率計算清算日處于兩個付息日之間的到期收益率計算公式：其中：P為全價；C為半年的票息支付；y為到期收益率的一半；w=；n為票息支付的次數；Par為到期價值。例3.7假設有一種票息率為10%的公司債券在2003年3月1日到期。該債券的全價為118.788美元，清算日在1997年7月17日。計算該債券的到期收益率。表3.3為該債券的日期與對應現金流，計算程序的第一段有相關數據的輸出。

表3.3日期與對應的現金流日期現金流(美元)從0.24444到10.244411.24445.00105.00計算程序：data;date0='01mar1997'd;date1='17jul1997'd;date2='01sep1997'd;days02=datdif(date0,date2,'30/360');/*美國公司債適合30/360標準*/days12=datdif(date1,date2,'30/360');n=2*(2003-1997);w=days12/days02;putdays02/days12/n/w;callsymput(‘n’,n);/*創立一個值來自data步的宏變量n*/callsymput(‘w’,w);/*創立一個值來自data步的宏變量w*/dataa;delete;%macroa(r);dataa1;p1=0;doi=1to&n;p1=p1+5/((1+&r)**(i-1+&w));output;end;dataa1;seta1end=lasobs;iflasobs;p2=100/((1+&r)**(&n-1+&w));p=p1+p2;r=200*&r;r1=100*&r;dataa(drop=i);setaa1;w=&w;n=&n;%menda;%a(0.0363);%a(0.03735);procprintdata=a;run;計算結果：Obsp1p2prr1wn149.258466.9691116.2277.263.6300.2444411248.994066.2108115.2057.473.7350.2444411于是，當該公司債券半年期利率為3.63%時，能使其現金流的現值等于其全價118.78美元。所以這種債券的到期收益率為7.26%，即23.63%。注：上例也可以直接用SAS函數YIELD=YIELDP(100,0.1,2,12,0.12222,118.788);或EXCEL函數YIELD(DATE(1997,7,17),DATE(2003,3,1),0.1,115.010,100,2)，函數yield用法：YIELD(settlement，maturity，rate，pr，redemption，frequency，basis)，其中Settlement為成交日，Maturity為到期日，Rate為年票息率，Pr價格，Redemption為凈價，Frequency為年付息次數，Basis為日計數基準類型(0或省略為30/360，1為實際天數/實際天數，2為實際天數/360，3為實際天數/365，4為歐洲30/360)。投資組合到期收益率計算投資組合到期收益率的計算步驟：1．確定投資組合中所有證券的現金流;2．找出一個利率;3．用第二步利率得到的現金流現值和與投資組合的市場價值進行比較；4．根據第三步的比較結果斷定是否重復上述計算。例3.9現有三種債券，假定每種債券的票息支付日相同。投資組合的市場價值為57259000美元。投資組合中每種債券的現金流及整個投資組合的現金流由表3.5列出。表3.5三種債券投資組合的現金流時期債券A債券B債券C投資組合1350000105000090000023000002350000105000090000023000003350000105000090000023000004350000105000090000023000005350000105000090000023000006350000105000030900000323000007350000105000014000008350000105000014000009350000105000014000001010350000105000011400000111050000105000012105000010500001310500001050000142105000021050000%macroa(y);dataa;ap1=0;don=1to9;ap1=ap1+350000/(1+&y)**n;output;end;dataa;setaend=lasobs;iflasobs;ap2=10350000/(1+&y)**10;ap=ap1+ap2;datab;bp1=0;don=1to13;bp1=bp1+1050000/(1+&y)**n;output;end;datab;setbend=lasobs;iflasobs;bp2=21050000/(1+&y)**14;bp=bp1+bp2;datac;cp1=0;don=1to5;cp1=cp1+900000/(1+&y)**n;output;end;datac;setcend=lasobs;iflasobs;cp2=30900000/(1+&y)**6;cp=cp1+cp2;%menda;%a(0.0476966);dataabc;mergeabc;p=ap+bp+cp;putp=;run;輸出結果：p=57259006.946比較得知，該投資組合的到期收益率為9.53932%(即24.76966%)。注：本例程序與本章開始的計算到期收益率通用程序的功能相同，但算法設計不同其它計算浮動利率證券的貼現差額計算公式：浮動利率=參考利率+指數利差貼現差額計算步驟：1．在假定參考利率在證券到期前保持不變的條件下,計算現金流；2．選出一個差額;3．將現金流貼現;4．將步驟3計算出來的現金流現值與證券的價格作比較,如果現金流的現值等于證券的價格,那么貼現差額等于步驟2中假定的差額。例3.10假定有一6年期的浮動利率證券。該證券的價格為99.3098美元,按參考利率加上80個根本點(指數利差)向外支付，參考利率的當前值是10%。這種證券的票息率每6個月調整一次，票息率為5.4%，到期價值為100美元。表3.6不同貼現差額的計算結果現金流的現值(美元)假定的年差價(基本點)時期參考利率現金流808488961001105.45.12335.12245.12145.11955.11852105.44.86094.85904.85724.85354.85163105.44.61184.60924.60664.60134.59874105.44.37554.37224.36894.36234.35905105.44.15144.14744.14354.13564.13176105.43.93873.93423.92973.92083.91637105.43.73693.73193.72703.71713.71228105.43.54543.54013.53473.52403.51869105.43.36383.35803.35233.34093.335210105.43.19143.18543.17943.16733.161311105.43.02793.02163.01533.00282.99651210105.456.072955.945455.818255.564755.4385總現值=100.00099.826999.654199.309899.1381dataa;delete;%macroa(y,z,x);dataa1;don=1to12;ifn<12thenp&x=5.4/(1+&y+&z)**n;elsep&x=105.4/(1+&y+&z)**n;output;end;dataa1;seta1;sump&x+p&x;dataa;mergeaa1;%menda;%a(0.05,0.004,80);%a(0.05,0.0042,84);%a(0.05,0.0044,88);%a(0.05,0.0048,96);%a(0.05,0.005,100);procprintdata=anoobs;run;計算程序：由計算結果得出，貼現差額應為96個根本點。債券價格與必要收益率例3.11表3.7給出了票面價值為1000美元、必要收益率從5%~14%的20年期、票息率為9%的債券價格。表3.7必要收益率與債券價格關系債券價格(美元)必要收益率(%)1502.06

51346.72

61213.55

71098.96

81000.00

9

914.2010

839.5411

774.3112

717.0913

666.7114dataa;delete;%macroa(y);dataa1;p1=45*(1-(1/(1+&y)**40))/&y;p2=1000*(1/(1+&y)**40);p=p1+p2;y=200*&y;dataa;setaa1;%menda;%a(0.025);%a(0.03);%a(0.035);%a(0.04);%a(0.045);%a(0.05);%a(0.055);%a(0.06);%a(0.065);%a(0.07);procprintdata=a;run;結果：Obsp1p2py11129.62372.4311502.06521040.16306.5571346.7263960.98252.5721213.5574890.67208.2891098.9685828.07171.9291000.0096772.16142.046914.20107722.08117.463839.54118677.0897.222774.31129636.5580.541717.091310599.9366.780666.7114不含期權債券價格與收益率關系圖：procgplotdata=a;plotp*y=1;symbol1v=nonei=joinr=1c=black;title2'不含期權債券價格與收益率關系圖';labelp=’價格’y=’必要收益率’;run;不含期權債券價格與收益率關系圖價格6007008009001000110012001300140015001600必要收益率567891011121314債券價格時間軌跡例3.12列出面值為1000美元，期限為20年，票息率為9%，必要收益率為12%的債券逼近到期日時的債券價格情況。title2;dataa;don=40to0by-2;p1=45*(1-(1/(1+0.06)**n))/0.06;p2=1000*(1/(1+0.06)**n);p=p1+p2;year=n/2;output;end;procprintdata=anoobs;varyearp1p2p;run;生成圖表程序：打印列表結果：YearP1

P2P20677.08397.22774.3119668.071109.24777.31…………182.503890.00972.5000.0001000.001000.00假定必要收益率不變的情況下,貼水債券時間軌跡圖程序：dataa;seta;p0=1000;procgplotdata=a;plotp*year=1p0*year=2/overlay;symbol1v=nonei=joinr=1c=black;symbol2v=nonei=joinr=1c=black;title2'假定必要收益率不變的情況下，貼水債券時間軌跡';labelp='價格'year='剩余到期年數';run;例3.14假設有一種票息率為10%的公司債券，2003年3月到期，到期價值為100美元，清算日在1997年7月17日，假設必要收益率為6.5%，求債券價格(適用30/360)。dataa;delete;%macroa(y);dataa1;date1='17jul1997'd;date2='01sep1997'd;days1=datdif(date1,date2,'30/360');w=days1/180;callsymput(‘x’,w);/*創立一個值來自data步的宏變量x*/p1=0;don=1to12;p1=p1+5/(1+&y)**(n-1+w);output;end;dataa1;seta1end=lasobs;iflasobs;p2=105/((1+&y)**(12-1+&x));p=p1+p2;y=200*&y;y1=100*&y;dataa;setaa1;%menda;%a(0.0325);procprintdata=a;run;計算結果：p=123.51

注：可以用SAS函數直接計算：pv=pvp(100,0.1,2,12,0.1222,0.065)。函數PVP用法：PVP(A,c,n,K,k0,y)，其中A表示面值，c表示名義年票息率，n為年付息次數，K為生于付息次數，k0為現在到下一次付息日的間隔，y為必要收益率。也可以用EXCEL函數PRICE(DATE(1997,7,17),DATE(2003,3,1),0.1,0.065,100,2)。PRICE(settlement,maturity,rate,yld,redemption,frequency,basis)，注意，這里計算的是凈價，需要進行調整得到全價。首次發行貼水債券的債務處理假設首次發行的債券是貼水債券，那么隨著時間接近到期日，債券價格就接近票面價格，即價格有一個上升的趨勢。在稅收申報時，為了準確計算資本利得，有必要區分價格的上升是由于接近到期日還是由于市場行為引起的。因此，必須對發行價格進行調整，以便計算資本利得，原那么上采用持續收益法。首次發行貼水債券的債務處理過程：1.計算年利息，即申報的毛收入，為調整后的發行價格與發行時到期收益率的乘積；2.計算票面利息；3.計算當年攤還的發行貼水額，為年利息(毛收入)與票面利息之差；4.計算調整后的發行價格，為當年攤還的首次發行貼水額與原發行價格之和。例3.15票息率為4%(半年付一次息)的5年期債券，以7683美元的價格發行，贖回價值為10000美元。假設該債券的到期收益率為10%，求調整后的發行價格。dataa;p=7683;don=1to10;year=n/2;t=p*0.05;c=10000*0.02;b=t-c;p=b+p;putyear=p=t=c=b=;output;end;labelyear='持有年限't='申報的毛收入'c='票面利息'b='調整的發行貼水'p='調整后的發行價格';run;datab;seta;optionsnocenter;procprintdata=blabelnoobs;varyeartcbp;title'以持續收益法調整發行價格';title;options;run;輸出結果：持有年限年利息〔毛收入〕票面利息當期攤還的發行貼水調整后的發行價格0.5384.150200184.1507867.151.0393.358200193.3588060.511.5403.025200203.0258263.532.0413.177200213.1778476.712.5423.835200223.8358700.543.0435.027200235.0278935.573.5446.779200246.7799182.354.0459.118200259.1189441.474.5472.073200272.0739713.545.0485.677200285.6779999.22債券久期計算久期是反映債券價格波動的一個指標。它對到期時間進行加權平均，權重等于各期現金流的現值占總債券現金流現值的比例。久期實際表示的是投資者收回初始投資的實際時間。久期與修正久期計算麥考雷(Macaulay)久期的計算公式：麥考雷久期(以期間計)=麥考雷久期(年)=麥考雷久期(以期間計)/k其中：PVCFt為以t期對應的市場普遍收益率進行貼現得到的債券在第t期的現金流現值；n為債券持有期內現金流的期間總數；TPV為債券各期現金流的總現值;k為每年支付現金流的次數。修正久期=其中：PVCFt為以t期對應的市場普遍收益率進行貼現而得債券在第t期的現金流現值；n為債券持有期內現金流的期間總數；TPV為債券各期現金流的總現值；Y為到期收益率的一半。債券組合的久期計算公式：債券組合的久期=其中：債券i市值總和在債券組合市值總和中所占的比重；債券i的修正久期；債券組合中債券的個數。例3.16面值為100美元，票息率為10%的5年期債券,收益率為10%,計算久期(以年計)及修正久期。dataa;c2=0;tc2=0;don=1to10;t=n;ifn<10thenc=5;elseifn=10thenc=105;a=1/((1+0.05)**n);c1=c/((1+0.05)**n);tc1=t*c1;c2=c2+c/((1+0.05)**n);tc2=tc2+t*c/((1+0.05)**n);ifn=10thend=tc2/(c2*2);md=d/(1+0.05);output;end;datab;seta;dropc2tc2n;labelt='時間'c='現金流'a='1美元的現值'c1='現金流的現值'tc1='t*pvcf'd='久期(以年計)'md='修正久期';procprintdata=blabelnoobs;title'久期及修正久期';vardmd;run;輸出結果：久期(以年計)修正久期4.053913.86087注：修正久期可直接用SAS函數計算：Modifdur=DURP(100,0.1,2,10,0.5,0.1);函數DURP用法：DURP(A,c,n,K,k0,y)，其中A表示面值，c表示名義年票息率，n為年付息次數，K為生于付息次數，k0為現在到下一次付息日的間隔，y為收益率。或用EXCEL函數，久期=DURATION(DATE(1995,1,1),DATE(2000,1,1),0.1,0.1,2)函數duration的用法：DURATION(settlement，maturity，coupon，yld，frequency，basis)。修正久期=MDURATION(DATE(1995,1,1),DATE(2000,1,1),0.1,0.1,2)，mduration用法同duration.例3.19面值為100美元，票息率為10%，到期收益率為10%的5年期債券，以平價出售，計算久期。%macrod(i,y,p);dataa;x=100*(&i/2)*((1-1/((1+&y/2)**10))/(&y/2));h=x/&p;d=((1+(&y/2))/(&y/2))*h+(((&y/2)-(&i/2))/(&y/2))*10*(1-h);putd=;%mendd(i,y,p);%d(0.10,0.10,100);run;輸出結果：d=8.1078216756修正久期的近似計算近似久期=其中：V-為收益率下降證券的估計價格；V+為收益率上升證券的估計價格；V0為證券初始價格；為證券收益率的變化。例3.20票息率為7%，到期收益率為10%的20年期債券，以74.26美元的價格出售，收益率上升或下降20個根本點的價格變化如下所示，試計算近似修正久期。V-=75.64468623V+=72.917291682 V0=74.261370469=0.002(半年變化10個根本點)收益率上升或下降20個根本點的債券初始價格計算程序：dataa;delete;%macroa(n,y,cupon,par);dataa1;p1=0;%doi=1%to&n;p1=p1+&cupon*&par/(1+&y)**&i;output;%end;dataa1;seta1end=lasobs;iflasobs;p2=&par/(1+&y)**&n;p=p1+p2;y=200*&y;y1=100*&y;dataa;setaa1;putp=;%menda;%a(40,0.05,0.035,100);%a(40,0.052,0.035,100);%a(40,0.048,0.035,100);run;p=74.261370469p=71.611134614p=77.068604183近似久期計算程序：%macromd(Vu,Vd,V,y);dataa;md=(&vu-&vd)/(2*&v*&y);putmd=;%mendmd;%md(75.64,72.92,74.26,0.002);run;輸出結果：MD=9.15701589結果接近精確值md=9.1802370384精確值計算程序：%macrod(y,cupon,period,p0);dataa;c2=0;tc2=0;don=1to.t=n;ifn<&periodthenc=&cupon;elseifn=&periodthenc=&cupon+&p0;a=1/((1+&y)**n);c1=c/((1+&y)**n);tc1=t*c1;c2=c2+c/((1+&y)**n);tc2=tc2+t*c/((1+&y)**n);ifn=&periodthend=tc2/(c2*2);md=D/(1+&y);putd=md=;output;dropntc2c2;end;%mendd;%d(0.05,3.5,40,100);run;輸出結果為：md=9.1802370384債券凸度計算凸度(分期限計算)=凸度(按年計算)=凸度(分期限計算)/零票息債券的凸度=其中：PVCFt為以第t期對應的收益率貼現得到的第t期現金流現值；n為總的時期數；Y為到期收益率的一半；PVTCF為以到期收益率貼現得到的各期現金流總現值；為每年付息的次數。例3.21假設面值為100美元，5年期的票息率為8%的債券,每半年付息。假設該債券的初始收益率為10%，計算該債券的凸度。%macrod(y,cupon,period,p0);dataa;c2=0;tc2=0;don=1to.t=n;ifn<&periodthenc=&cupon;elseifn=&periodthenc=&cupon+&p0;a=1/((1+&y)**n);c1=c/((1+&y)**n);tc1=t*(t+1)*c1;c2=c2+c/((1+&y)**n);tc2=tc2+t*(t+1)*c/((1+&y)**n);ifn=&periodthenconcave=tc2/(c2*((1+&y)**2));yearlyconcave=concave/4;putconcave=;putyearlyconcave=;output;dropntc2c2;end;procprintdata=a;%mendd;%d(0.05,4,10,100);run;計算結果：凸度(以半年記)concave=78.29424228凸度(以年計)yearlyconcave=19.57356057注：也可以用SAS函數直接計算：convx=convxp(100,0.08,2,10,0.5,0.1);函數convxp的用法：CONVXP(A,c,n,K,k0,y)，其中A表示面值，c表示名義年票息率，n為年付息次數，K為生于付息次數，k0為現在到下一次付息日的間隔，y為收益率。例3.22假設面值為100美元，5年期的零息票債券，年收益率為10%，計算凸度。%macroconcave(n,y);dataa;concave=&n*(&n+1)/((1+&y)**2);putconcave=;%mendconcave;%concave(10,0.05);run;計算結果：凸度concave=99.77324263計算凸度引起的價格變化凸度引起價格變化百分比的估計值=例3.24面值為100美元，期限為15年的票息率為8%的債券，每半年付息，其初始收益率為10%。假設收益率由10%增長到13%，計算凸度引起的價格變化。首先計算年凸度：只需要將上面凸度計算程序中的宏參數值改為%d(0.05,4,30,100)即可求得年凸度為94.3571。%macrovp(x,y);dataa;caused=0.5*&x*(&y**2)*100;putcaused=’%’;%mendvp;%vp(94.3571,0.03);run;計算結果：凸度引起的價格變化為caused=4.2460695%

美元凸度美元凸度=凸度×初始價格.為確定美元引起的價格變化幅度，可以利用以下公式：凸度解釋的價格變化幅度=例3.25期限為15年的票息率為8%的債券，收益率為10%，計算每100美元面值債券的美元凸度。首先計算凸度和初始價格：凸度=94.36初始價格=84.627548973凸度前面已經計算過，初始價格的計算程序為：dataa;delete;%macroa(n,y,cupon,par);dataa1;p1=0;%doi=1%to&n;p1=p1+&cupon*&par/(1+&y)**&i;output;%end;dataa1;seta1end=lasobs;iflasobs;p2=&par/(1+&y)**&n;p=p1+p2;y=200*&y;y1=100*&y;dataa;setaa1;%menda;%a(30,0.05,0.04,100);putp=;run;計算的初始價格為p=84.627548973計算美元凸度程序：%macroanlaye(x,y,p);dataa;concave=&x*&p;vp=0.5*concave*(&y**2);putconcave=;putvp=;%mendanlaye;%anlaye(94.36,0.01,84.627548973);%anlaye(94.36,0.02,84.627548973);run;計算結果：美元凸度concave==7985.4555211100基點的價格變化vp=0.3992727761200基點的價格變化vp=1.5970911042近似凸度近似凸度=其中：V-為收益率下降證券的估計價格；V+為收益率上升證券的估計價格；V0為證券初始價格；為證券收益率的變化。例3.26面值為100美元，期限為20年，票息率為7%的債券，到期收益率為10%，假設發生20個基點的變化，計算凸度。條件：V-=75.64V+=72.92V0=74.26=0.002%macroconcave(Vu,Vd,V,y);dataa;yearlyconcoave=(&vu+&vd-2*&v)/(&v*(&y**2));putyearlyconcoave=;%mendconcave;%concave(75.64,72.92,74.26,0.002);run;計算結果：concoave=134.66199838精確計算凸度(以年計)yearlyconcave=132.077精確計算凸度的程序：%macrod(y,cupon,period,p0);dataa;c2=0;tc2=0;don=1to.t=n;ifn<&periodthenc=&cupon;elseifn=&periodthenc=&cupon+&p0;a=1/((1+&y)**n);c1=c/((1+&y)**n);tc1=t*(t+1)*c1;c2=c2+c/((1+&y)**n);tc2=tc2+t*(t+1)*c/((1+&y)**n);ifn=&periodthenconcave=tc2/(c2*((1+&y)**2));yearlyconcave=concave/4;putconcave=;putyearlyconcave=;output;dropntc2c2;end;procprintdata=a;%mendd;%d(0.05,3.5,40,100);run;結果：精確計算凸度(以年計)yearlyconcave=132.077抵押支持債券貸款利率計算例3.27一宗4年期抵押貸款，設未來5年每年的貸款利率分別為8%，10%，12%，13%，11%。計算抵押貸款利率。dataa;I=((1+0.08)*(1+0.1)*(1+0.12)*(1+0.13)*(1+0.11))**0.2-1;PutI=;run;抵押貸款利率I=0.1078658績效衡量債券組合的到期收益率其中：Rp為組合到期收益率；V1為期末組合市價；V0為期初組合市價；D為評估期內組合對客戶的現金分配。

例3.28一個債券投資組合期初與期末市場價格分別為1億美元和1.12億美元，在評估期內分給投資人500萬美元的利息收入。收益率計算：%macror(v1,v0,d);data;r=(&v1-&v0+&d)/&v0;putr=;%mendr(v1,v0,d);%r(112000000,100000000,5000000);run;計算結果：r=0.17例3.29第1至4月的組合子期收益率分別為12%，25%，-15%和-2%，那么月平均收益率為5%。算術平均時序收益率程序：%macror(r1,r2,r3,r4,n);dataa;r=(&r1+&r2+&r3+&r4)/&n;putr=;%mendR(r1,r2,r3,r4,n);%r(0.12,0.25,-0.15,-0.02,4);run;計算結果：r=0.05幾何平均時序收益率程序：%macror(r1,r2,r3,r4,n);dataa;r=((&r1+1)*(&r2+1)*(&r3+1)*(&r4+1))**(1/&n)-1;putr=;%mendR(r1,r2,r3,r4,n);%r(0.12,0.25,-0.15,-0.02,4);run;計算結果：r=0.039185933美元權重收益率美元權重收益率就是內生收益率。例3.30一個7月初市價為100000美元的組合，7~9月每月抽回資金5000美元，沒有客戶的追加現金投入，9月底組合市價為110000美元。計算程序：data;don=0.07to0.10by0.001;p=5000/(1+n)+5000/((1+n)**2)+115000/((1+n)**3);r=n;ifabs(p-100000)<100thenputp=r=;end;run;計算結果：p=99941.704989r=0.081算術平均收益率算術平均收益率計算簡單，不同時間段的權重都相同。算術平均收益率指標有時不太合理，會產生誤解，參考下面例子。例3.31一年中,前四個月的收益情況分別是一月－50％，二月50％，三月－50％，四月50％。如果只關注這四個月的投資收益情況，算術平均收益率=(－50％＋50％－50％＋50％)/4＝0％。換句話說，平均收益率是0％。但是看一下數據會知道，在這四個月中該投資者是虧損的。所以，算術收益率帶來的是錯誤的結論。如果在十二月底投資$1,000,000，根據前四個月收益數據，四月底的資本剩余為$562,500，計算公式如下：算術平均收益率存在的問題可以由幾何平均收益率解決。

幾何平均收益率實際中幾何收益率常常有兩種形式：價值加權(value-weighted)幾何平均，時間加權(time-weighted)幾何平均。價值加權收益率(或者稱作美元加權收益率dollar-weightedrateofreturn)，是在一系列現金流中找到一個公共的收益率。一般情況下，可以用下面的公式計算收益率r：

這里是在t時刻來自證券組合的凈現金流量(收益現金流減去支出現金流)，t=1,….T。是組合一開始的市場價值。是結束時刻的市場價值。例3.32分別計算下面兩個投資的價值加權和時間加權收益率。1.起始投資額為50(即投資組合起始時的市場價值為50)；一年后，投資組合的價值為100。首先計算年度價值加權收益率，以表示：解為＝100％?，F在計算年度時間加權收益率，以表示，那么：2.起始投資額為50；六個月后，凈現金流為－25(現金流出)，一年后投資組合的價值為100。首先計算年度價值加權收益率，以表示：解為＝40.69％?，F在計算年度時間加權收益率，以表示，那么：其中和分別是前六個月和后六個月的時間加權收益率。于是，得到年度時間加權收益率為：例3.33第1至4月的組合子期收益率分別為12%，25%，-15%和-2%，那么月平均收益率為5%。算術平均時序收益率程序：%macror(r1,r2,r3,r4,n);dataa;r=(&r1+&r2+&r3+&r4)/&n;putr=;%mendR(r1,r2,r3,r4,n);%r(0.12,0.25,-0.15,-0.02,4);run;計算結果：r=0.05時間加權幾何平均時序收益率程序：%macror(r1,r2,r3,r4,n);dataa;r=((&r1+1)*(&r2+1)*(&r3+1)*(&r4+1))**(1/&n)-1;putr=;%mendR(r1,r2,r3,r4,n);%r(0.12,0.25,-0.15,-0.02,4);run;計算結果：r=0.039185933二叉樹定價模型第1年利率二叉樹狀結構如下：其中：σ為1年期遠期利率的波動率，本節假設為10%；r1,L為第1年年末較低的1年期遠期利率；r1,H為第1年年末較高的1年期遠期利率；e為自然對數的底數(2.71828)。

r0r1,H=e2σ×r1,Lr1,L不含期權債券的二叉樹定價模型例3.34有一票息率為5.25%的還有3年到期的不含權的債券，到期價格為100美元，利率結構為：r0=3.5%,r1=4.074%,r2=4.53%。計算債券的初始價格。計算程序：%macrop(r0,r1,r2,c,d);dataa;p2hh=(&c+100)/(1+&r2*(2.71828**(4*&d)));/*p2hh=98.587492675*/p2hl=(&c+100)/(1+&r2*(2.71828**(2*&d)));/*p2hl=99.731881142*/p2ll=(&c+100)/(&r2+1);/*p2ll=100.68879747*/p1h=((&c+p2hh)/(1+&r1*(2.71828**(2*&d)))+(&c+p2hl)/(1+&r1*(2.71828**(2*&d))))/2;/*p1h=99.460536418*/p1l=((&c+p2hl)/(1+&r1)+(&c+p2hl)/(&r1+1))/2;