云南省富源縣第六中學2024屆高一數學第二學期期末聯考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．中，，則（）A． B． C．或 D．02．如圖是一個邊長為3的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區域內隨機投擲1089個點，其中落入白色部分的有484個點，據此可估計黑色部分的面積為（）A．4 B．5 C．8 D．93．已知函數，若存在滿足，且，則n的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．64．若，，則方程有實數根的概率為（）A． B． C． D．5．已知、都是單位向量，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．6．過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是()A． B．C．或 D．或7．某種產品的廣告費用支出與銷售額之間具有線性相關關系，根據下表數據（單位：百萬元)，由最小二乘法求得回歸直線方程為.現發現表中有個數據看不清，請你推斷該數據值為（)345582834★5672A．65 B．60 C．55 D．508．若，，則()A． B． C． D．9．如圖，A，B是半徑為1的圓周上的定點，P為圓周上的動點，∠APB是銳角，大小為.圖中△PAB的面積的最大值為（）A．+sin2 B．sin+sin2C．+sin D．+cos10．已知數列的通項公式是，則等于（）A．70 B．28 C．20 D．8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．記，則函數的最小值為__________．12．在中，角的對邊分別為，若面積，則角__________．13．已知數列的前n項和為，，且（），記（），若對恒成立，則的最小值為__．14．已知方程的四個根組成一個首項為的等差數列，則_____．15．函數在區間上的最大值為，則的值是_____________.16．已知、、分別是的邊、、的中點，為的外心，且，給出下列等式：①；②；③；④其中正確的等式是_________（填寫所有正確等式的編號）.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列的各項排成如圖所示的三角形數陣，數陣中，每一行的第一個數，，，，…構成等差數列，是的前n項和，且，（1）若數陣中從第三行開始每行中的數按從左到右的順序均構成公比為正數的等比數列，且公比相等，已知，求的值；（2）設，對任意，求及的最大值．18．已知的三個頂點，，，其外接圓為圓．（1）求圓的方程；（2）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（3）對于線段上的任意一點，若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點，，使得點是線段的中點，求圓的半徑的取值范圍．19．設有關于的一元二次方程．（Ⅰ）若是從四個數中任取的一個數，是從三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率．（Ⅱ）若是從區間任取的一個數，是從區間任取的一個數，求上述方程有實根的概率．20．已知圓經過、、三點．（1）求圓的標準方程；（2）若過點的直線被圓截得的弦的長為，求直線的傾斜角．21．已知向量，.求：（1）；（2）與的夾角的余弦值；（3）求的值使與為平行向量.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

根據正弦定理把角化為邊，可得，然后根據余弦定理，可得，最后使用余弦定理，可得結果.【題目詳解】由，所以，即由，又所以，則故，又故選：D【題目點撥】本題考查正弦定理、余弦定理的應用，屬基礎題.2、B【解題分析】

由幾何概型中的隨機模擬試驗可得：，將正方形面積代入運算即可．【題目詳解】由題意在正方形區域內隨機投擲1089個點，其中落入白色部分的有484個點，則其中落入黑色部分的有605個點，由隨機模擬試驗可得：，又，可得，故選B．【題目點撥】本題主要考查幾何概型概率公式以及模擬實驗的基本應用，屬于簡單題，求不規則圖形的面積的主要方法就是利用模擬實驗，列出未知面積與已知面積之間的方程求解.3、D【解題分析】

根據正弦函數的性質，對任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，因此要使得滿足條件的n最小，則盡量讓更多的取值對應的點是最值點，然后再對應圖象取值.【題目詳解】，因為正弦函數對任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，要使n取得最小值，盡可能多讓（i=1，2，3，…，n）取得最高點，因為，所以要使得滿足條件的n最小，如圖所示則需取，，，，，，即取，，，，，，即．故選：D【題目點撥】本題主要考查正弦函數的圖象，還考查了數形結合的思想方法，屬于中檔題.4、B【解題分析】方程有實數根，則：，即：，則：，如圖所示，由幾何概型計算公式可得，滿足題意的概率值為：.本題選擇B選項.5、B【解題分析】

由、都是單位向量，由向量的數量積和共線的定義可判斷出正確選項.【題目詳解】由、都是單位向量，所以.設、的夾角為.則，所以A，D不正確.當時，、同向或反向，所以C不正確.,所以B正確.故選：B【題目點撥】本題考查了單位向量的概念，屬于概念考查題，應該掌握．6、C【解題分析】

設過點A(4，1)的直線方程為y-1=k(x-4)(k≠0),令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-.由已知得1-4k=4-,∴k=-1或k=,∴所求直線方程為x+y-5=0或x-4y=0.故選C.7、B【解題分析】

求出樣本中心點的坐標，代入線性回歸方程求解．【題目詳解】設表中看不清的數據為，則，，代入，得，解得．故選：．【題目點撥】本題考查線性回歸方程，明確線性回歸方程恒過樣本點的中心是關鍵，是基礎題．8、B【解題分析】

利用誘導公式得到的值，再由同角三角函數的平方關系，結合角的范圍，即可得答案.【題目詳解】∵，又，∴.故選：B.【題目點撥】本題考查誘導公式、同角三角函數的平方關系，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意符號問題.9、B【解題分析】

由正弦定理可得，，則，，當點在的中垂線上時，取得最大值，此時的面積最大，求解即可.【題目詳解】在中，由正弦定理可得，，則.，當點在的中垂線上時，取得最大值，此時的面積最大.取的中點，過點作的垂線，交圓于點，取圓心為，則（為銳角），.所以的面積最大為.故選B.【題目點撥】本題考查了三角形的面積的計算、正弦定理的應用，考查了三角函數的化簡，考查了計算能力，屬于基礎題.10、C【解題分析】

因為，所以，所以=20.故選C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解題分析】

利用求解.【題目詳解】，當時，等號成立.故答案為：4【題目點撥】本題主要考查絕對值不等式求最值，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.12、【解題分析】

根據面積公式計算出的值，然后利用反三角函數求解出的值.【題目詳解】因為，所以，則，則有：.【題目點撥】本題考查三角形的面積公式以及余弦定理的應用，難度較易.利用面積公式的時候要選擇合適的公式進行化簡，可根據所求角進行選擇.13、【解題分析】

,即為首項為，公差為的等差數列，，，，由得，因為或時，有最大值，，即的最小值為，故答案為.【方法點晴】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，掌握一些常見的裂項技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.14、【解題分析】

把方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）＝0化為x2﹣2x+m＝0，或x2﹣2x+n＝0，設是第一個方程的根，代入方程即可求得m，則方程的另一個根可求；設另一個方程的根為s，t，（s≤t）根據韋達定理可知∴s+t＝2根據等差中項的性質可知四個跟成的等差數列為，s，t，，進而根據數列的第一項和第四項求得公差，則s和t可求，進而根據韋達定理求得n，最后代入|m﹣n|即可．【題目詳解】方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）＝0可化為x2﹣2x+m＝0①，或x2﹣2x+n＝0②，設是方程①的根，則將代入方程①，可解得m，∴方程①的另一個根為．設方程②的另一個根為s，t，（s≤t）則由根與系數的關系知，s+t＝2，st＝n，又方程①的兩根之和也是2，∴s+t由等差數列中的項的性質可知，此等差數列為，s，t，，公差為[]÷3，∴s，t，∴n＝st∴|m﹣n|＝||．故答案為【題目點撥】本題主要考查了等差數列的性質．考查了學生創造性思維和解決問題的能力．15、【解題分析】

利用同角三角函數平方關系，易將函數化為二次型的函數，結合余弦函數的性質，及函數在上的最大值為1，易求出的值．【題目詳解】函數又函數在上的最大值為1，≤0，又,且在上單調遞增，所以即．故答案為：【題目點撥】本題考查的知識點是三角函數的最值，其中利用同角三角函數平方關系，將函數化為二次型的函數，是解答本題的關鍵，屬于中檔題．16、①②④.【解題分析】

根據向量的中點性質與向量的加法運算,可判斷①②③.【題目詳解】、、分別是的邊、、的中點,為的外心,且,設三條中線交點為G,如下圖所示:對于①,由三角形中線性質及向量加法運算可知,所以①正確;對于②,,所以②正確;對于③,,所以③錯誤;對于,由外心性質可知,所以故正確.綜上可知,正確的為①②④.故答案為:①②④.【題目點撥】本題考查了向量的線性運算,三角形外心的性質及應用,屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2),.【解題分析】

（1）先求出的通項公式，再計算等比數列的公比，最后得到.（2）先計算,再利用裂項求和計算得到，設函數，通過均值不等式得到答案.【題目詳解】（1）為等差數列，設公差為，，，，，.設從第3行起，每行的公比都是q，且，，，，，故是數陣中第10行第5個數，而.（2），.設：（當且僅當時，等號成立）時，（其他方法酌情給分）【題目點撥】本題考查了等差數列等比數列，裂項求和，均值不等式，綜合性強，意在考查學生的計算能力和解決問題的能力.18、（1）（2）或（3）【解題分析】

試題分析：(1)借助題設條件直接求解；(2)借助題設待定直線的斜率,再運用直線的點斜式方程求解；(3)借助題設建立關于的不等式,運用分析推證的方法進行求解.試題解析：（1）的面積為2；（2）線段的垂直平分線方程為，線段的垂直平分線方程為，所以外接圓圓心，半徑，圓的方程為，設圓心到直線的距離為，因為直線被圓截得的弦長為2，所以.當直線垂直于軸時，顯然符合題意，即為所求；當直線不垂直于軸時，設直線方程為，則，解得，綜上，直線的方程為或.（3）直線的方程為，設，，因為點是線段的中點，所以，又，都在半徑為的圓上，所以因為關于，的方程組有解，即以為圓心，為半徑的圓與以為圓心，為半徑的圓有公共點，所以，又，所以對成立.而在上的值域為，所以且.又線段與圓無公共點，所以對成立，即.故圓的半徑的取值范圍為.考點：直線與圓的位置關系等有關知識的綜合運用．19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（1）本題是一個古典概型，可知基本事件共12個，方程當時有實根的充要條件為，滿足條件的事件中包含9個基本事件，由古典概型公式得到事件發生的概率．（2）本題是一個幾何概型，試驗的全部約束所構成的區域為，．構成事件的區域為，，．根據幾何概型公式得到結果．【題目詳解】解：設事件為“方程有實數根”．當時，方程有實數根的充要條件為．（Ⅰ）基本事件共12個：．其中第一個數表示的取值，第二個數表示的取值．事件中包含9個基本事件，事件發生的概率為．（Ⅱ）實驗的全部結果所構成的區域為．構成事件的區域為，所求的概率為【題目點撥】本題考查幾何概型和古典概型，放在一起的目的是把兩種概型加以比較，屬于基礎題．20、（1）；（2）或.【解題分析】

（1）設出圓的一般方程，然后代入三個點的坐標，聯立方程組可解得；（2）討論直線的斜率是否存在，根據點到直線的距離和勾股定理列式可得直線的傾斜角．【題目詳解】（1）設圓的一般方程為，將點、、的坐標代入圓的方程得，解得，所以，圓的一般方程為，標準方程為；（2）設圓心到直線的距離為，則.①當直線的斜率不存在時，即直線到圓心的距離為，滿足題意，此時直線的傾斜角為；②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，此時，直線的傾斜角為.綜上所述，直線的傾斜角為或.【題目點撥】本題考查圓的方程的求解，同時也考查了利用直線