第二章控制系統的數學模型1、傳遞函數(線性系統在零初始狀態，脈沖輸入下的響應)R(s)G(s)R(s)G(s)C(s)dny(tdny(t)dtdnr(t)osnY(s)，-dtA A1osnR(s),Ao—,Ato—，—At2s s22Ao—,Ae-aos3C(s)當r(t)=5(t)時，R(s)=1,從而有G(s)=亠 一些最基本的拉普拉斯變換公式=C(s) 一些最基本的拉普拉斯變換公式R(s)也就是說，線性系統的脈沖響應c(t)的拉普拉斯變換就是系統的傳遞函數G(s)那么，如果給定系統階躍輸入的響應c(t),該c(t)與系統傳遞函數之間的關系是什么？——2、計算系統的傳遞函數列寫常微分方程，得到輸入r(t)與c(t)的常微分方程，再使用拉普拉斯變換為頻域形式(記得系統初始狀態為零)，求取3。R(s)進行反拉普拉斯變換時，即將系統的頻域表達式轉換成為時域表達式，一般采用部分分式分解的方法，求其中的系數時用到了留數法，見p63例2-35。系統的開環傳遞函數與閉環傳遞函數的異同，注意開環傳遞函數和單位負反饋系統閉環傳遞函數之間的數學關系。對單位負反饋系統，即H(s)=l開環和閉環傳遞函數關系①(s)=—1一,G(s)=1—①")1+G(s) ①(s)G(G(s)H(s)C(s)= G(s)R(s廠1+G(s)H(s)3、結構圖化簡和梅遜增益公式理解一些基本概念比較點，引出點，前向通路，回路結構圖化簡的基本原則：保持前向通路傳遞函數不變，保持回路傳遞函數不變化簡規則包括：引出點的前(后)移動，比較點的前(后)移動，并聯相加，串聯相減回路等效(見下圖)。4)根據信號流圖使用梅遜增益公式計算傳遞函數步驟：(a)找出所有回路，并列寫回路傳遞函數L；(b)找出所有前向通路，并列寫前向通i路的傳遞函數P；(c)判斷是否存在互不接觸的獨立回路，并根據公式kA=1-Tl+為LL-....計算分母A，其中第i個和第j個回路互不接觸；(d)利用iIiji=l 'i壬j 丿相同的原理計算(a)中與第k條前向通路不接觸的回路的A；(e)根據梅遜增益公式kmTPAkkC(s)E 計算系統輸入到輸出的傳遞函數-(-)。A R(s)第二章典型習題答案課本的以下典型例題，要認真看一下，最好能試做一下。包括：P63例2-35；p65例2-392-4已知在零初始條件下，系統的單位階躍響應為c(t)=1-2e-21+e-1，試求系統的傳遞函數和脈沖響應。解：因為：1 2 13-+23-+21—(-)=—+==--+2-+1-(-+1)(-+2)(-+1)(-+2)-R(s)=s所以：3s+2G(s)=(s+1)(s+2)因為脈沖響應的頻域表達式即為系統的傳遞函數，所以系統的脈沖響應為3s+2 -1 4C(s)= = +nc(t)=-e-t+4e-21。(s+1)(s+2)s+1s+2此外，也可以通過直接對階躍響應c(t)=1-2e-21+e-1的求時間的導數得到系統的脈沖響應^=4e-21-e-1。dt2-8已知控制系統的結構如下圖所示，求輸入r(t)=3x1(t)時系統的輸出c(t)。解：首先求系統的閉環傳遞函數s解：首先求系統的閉環傳遞函數s2+2s+1 =2_1+ (s+1)s2+2s+122s2+4s++3 (s+1)(s+3)23C23C(s)=①(s)R(s)=(s+1)(s+3)s6 2 -3 1 =—+ + s(s+1)(s+3)s s+1 s+3c(t)=2-3e-t+e-3t2-12考慮下圖所示的結構圖，分別采用結構圖化簡方法和梅遜增益公式法求解閉環傳遞函R(s)解:（使用結構圖化簡的方法）C(s)■C(s)■（應用梅遜增益公式）首先定義節點1,2,3,4,5,6,7，并得到樹形結構。其次，列寫回路和前向通路。L(2,4,5,3,2)=GGH,L(3,4,5,3)=-GH,L(3,6,5,3)=-GGHTOC\o"1-5"\h\z1 2 1 2 2 1 3 2 3 2P(1,7)=G14P(1,2,3,4,5,6,7)=GGG1 2 3因為所有回路兩兩接觸，所以A=1-fL=1+GGH+GH-GGHi 2 3 2 2 1 1 2 1第一條通路與所有的回路都不接觸，所以A=A;第二條通路與所有回路都接觸，所以1A=1o2根據梅遜增益公式有：2fPAkk P GGG =P+—^=G+ 1―23 A 1A4 1+GGH+GH—GGH2 3 2 2 1 1 2 1第三章線性系統的時域分析一、幾種典型信號及其拉普拉斯變換脈沖信號，階躍信號，斜坡信號（速度信號），加速度信號（拋物線信號）二、二階系統性能指標計算1、二階系統的數學模型R(sV"y?R(sV"y?O2C(s)n1ks(s+2 )n2、 深刻理解阻尼比與二階系統極點分布的關系（詳見p76）；理解無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼。3、 理解并牢記二階系統性能指標及其計算公式。兀一B上升時間：t= ；峰值時間:兀一B上升時間：t= ；峰值時間:r①調節時間：4t= (2%),sSn3(5%)gn超調量：dx100%理解以上性能指標對應在單位階躍響應圖上的情況（詳見p73圖3-2）o三、熟練使用勞斯判據進行系統穩定性分析1、使用勞斯判據進行系統穩定性分析的步驟（1）先得到閉環系統的特征方程;（2）根據特征方程列寫勞斯表并進行計算，其中對出現某行第一列元素為零和整行為零兩種特殊情況要進行相應的處理；（3）根據第一列元素符號

的改變次數，判斷閉環傳遞函數在右半平面(不穩定)特征根的個數?？蓞⒖紁93-p94加深理解。2、利用勞斯判據分析系統穩定、臨界穩定、不穩定時系統參數的取值范圍。四、系統穩態誤差的計算(掌握靜態誤差系數法)R(s)E(R(s)E(s)= 1R(s)—1+G(s)H(s)當系統輸入為典型輸入信號的線性組合，如r(t)=a-1(t)+卩t-1(t)+t2-1(t)，則根據疊2aBy加原理，則系統的穩態誤差為e= +，其中：ss1+K KKpva靜態位置誤差系數K=lim G(s)H(s)；TOC\o"1-5"\h\zp sT0靜態速度誤差系數K=limsG(s)H(s)；v sT0靜態加速度誤差系數K=lim s2G(s)H(s)。\o"CurrentDocument"a sT0理解系統型號的概念，理解系統型號與上述幾個靜態誤差系數的關系，可參考p99表3-2。第三章典型習題答案課本的以下典型例題，要認真看一下，最好能試做一下。包括：P104例3-17；p106例3-20；p107例3-23；p107例3-24；p108例3-27；p113例3-35第一個問題。3-3設單位負反饋系統的開環傳遞函數為G(s)3-3設單位負反饋系統的開環傳遞函數為G(s)=1s(s+1)，試求系統的上升時間t、峰值時r間t、超調量b%和調節時間t。ps解：首先求出閉環傳遞函數為s(s+1)2+s+1s(s+1)根據二階系統的數學模型，f2A=1根據二階系統的數學模型，有＜n，從而得到w=1,g=0.5。iro2=1 nncd=w1-g2=0.866 ，卩=arccosg=兀/3。d n所以-卩=2.412-卩=2.412(s)，兀t= =3.628(s),pdd4=8(s),2%,gdnb%=eb%=e-?/ig2x100%=16.3%。3-8要求下圖所示系統具有性能指標："%=2°%‘tp=1S。請確定系統參數K和A，并計算t和t。rs解：首先求出閉環傳遞函數內回路傳遞函數：s(s內回路傳遞函數：s(s+1)Ass2+(AK+1)ss(s+1)R(s)s2+(AK+1)ss2+(AK+1)s+KR(s)s2+(AK+1)ss2+(AK+1)s+Ks2(AK+1)s=1=0.456AK+1=2gw=3.220b%=e-gt/T-g2100%=20%=3.530K=d2=12.461K=12.461nA=0.178從而可計算出t=r兀t=r兀-B=0.651(s),gd=2.485(s),2%。3-11已知單位負反饋系統的開環傳遞函數為K(0.5s+1)G(s)=-s(s+l)(0.5s2+s+1)請確定系統穩定時的K值范圍。解：R(s)C(s)?GR(s)C(s)?G(s)閉環系統的傳遞函數為C(s) G(s) K(0.5s+1)①(s)= = =R(s) 1+G(s) s(s+l)(0.5s2+s+1)+K(0.5s+1)10—10—K>06—0.5K2—5K+1010—KK>0D(s)=s(s+1)(0.5s2+s+1)+K(0.5s+1)=0.5s4+1.5s3+2s2+(0.5K+1)s+K根據特征方程，列寫如下的勞斯表s40.52Ks31.51+0.5K0s210—KK0s1—0.5K2—5K+1010—K00s0K系統穩定，則要求第一列所有元素都大于零，即要求10—K>0I >00.5K2—5K+10>0n0<K<3^5—5K>03-12已知單位負反饋系統的開環傳遞函數為s+2G(s)=s2(s3+2s2+9s+10)請判別系統穩定性。若系統不穩定，指出位于右半s平面和虛軸上的特征根的數目解：閉環系統特征方程為D(s)=s5+2s4+9s3+10s2+s+2，列寫如下的勞斯表s5191s42102s31x10-2x9- =400s20-4x10_4 =1020s1-0.80s02由于第一列元素變號兩次(由10變為-0.8，再由-0.8變為2)，所以閉環系統不穩定，在右半s平面有兩個特征根。3-1