必考問題2函數與方程及函數的實際應用1．高考定位高考對本部分的考查有：(1)①確定函數零點及函數零點的個數；②根據函數零點的存在情況求參數值或取值范圍．(2)函數與向量、數列、不等式、解析幾何等知識綜合考查函數的基本性質．(3)函數的實際應用問題．對函數零點問題及用函數解決實際應用問題的考查是顯性的，而隊運用函數思想解決問題和函數與其他知識綜合問題的考查是隱性的。題型既有選擇題、填空題，又有解答題，客觀題主要考查相應函數的圖象和性質，主觀題考查較為綜合，在考查函數的零點、方程根的基礎上，又注重考查函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合的思想方法．2.必備知識與方法2.1零點存在性定理如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下兩點：①滿足條件的零點可能不唯一；②不滿足條件時，也可能有零點．2.2應用函數模型解決實際問題的一般程序eq\f(讀題,文字語言)?eq\f(建模,數學語言)?eq\f(求解,數學應用)?eq\f(反饋,檢驗作答)與函數有關的應用題，經常涉及到物價、路程、產值、環保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優化問題．解答這類問題的關鍵是確切的建立相關函數解析式，然后應用函數、方程、不等式和導數的有關知識加以綜合解答．對函數零點問題，常用的處理方法有：（1）直接解方程；（2）利用零點存在定理判斷；（3）運用化歸與轉化思想和數形結合思想處理的根的根函數和函數圖像交點的橫坐標。3．典型例題分析3.1確定函數零點及函數零點的個數【例1】函數與函數圖像交點的個數為()A．0B．1方法一：直接作出兩個函數的圖像，看交點個數；方法二：令，則直接解方程；方法三：利用零點存在定理判斷函數的零點。【突破訓練1】(1)(唐山市2013學年高三第一學期期末)的零點個數為（）A．4B．5C．6D．7(2)（太原五中2014屆高三12月月考）若函數滿足且時，，函數，則函數在區間內的零點的個數為（）A．7 B．8 C．9 D．10【解析】當時，是一段開口向下的拋物線，的最大值為1，∵，∴是以2為周期的周期函數，和圖像如圖所示，有8個交點，所以函數有8個零點.變式：若函數滿足且時，，函數。問：（1）函數和函數圖像上關于軸對稱的點有幾對？（2）函數和函數圖像上關于原點對稱的點有幾對？3.2根據函數零點的存在情況求參數值或取值范圍【例2】已知實數,,滿足，且，則實數的取值范圍是。【解析】由題意得，是方程的兩相異實根，令，則，得【突破訓練2】已知函數有兩個零點，，則有()【例3】已知是實數，函數，如果函數在區間上有零點，求的取值范圍．【解析】當a＝0時，f(x)＝2x－3，其零點x＝eq\f(3,2)不在區間[－1,1]上．當a≠0時，函數f(x)在區間[－1,1]分為兩種情況：①函數在區間[－1,1]上只有一個零點，此時或解得1≤a≤5或a＝－eq\f(3＋\r(7),2).②函數在區間[－1,1]上有兩個零點，此時eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝8a2＋24a＋4＞0，,－1＜－\f(1,2a)＜1，,f1≥0，,f－1≥0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＝8a2＋24a＋4＞0，,－1＜－\f(1,2a)＜1，,f1≤0，,f－1≤0，))解得a≥5或a＜－eq\f(3＋\r(7),2).綜上所述，如果函數在區間[－1,1]上有零點，那么實數a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3＋\r(7),2)))∪[1，＋∞)．3.3函數與向量、數列、不等式、解析幾何等知識綜合考查函數的基本性質【例4】（2013上海春季高考）已知真命題:“函數的圖像關于點成中心對稱圖形”的充要條件為“函數是奇函數”.(1)將函數的圖像向左平移1個單位,再向上平移2個單位,求此時圖像對應的函數解析式,并利用題設中的真命題求函數圖像對稱中心的坐標;(2)求函數圖像對稱中心的坐標;(3)已知命題:“函數的圖像關于某直線成軸對稱圖像”的充要條件為“存在實數a和b,使得函數是偶函數”.判斷該命題的真假.如果是真命題,請給予證明;如果是假命題,請說明理由,并類比題設的真命題對它進行修改,使之成為真命題(不必證明).【解析】(1)平移后圖像對應的函數解析式為,整理得,由于函數是奇函數,由題設真命題知,函數圖像對稱中心的坐標是.(2)設的對稱中心為,由題設知函數是奇函數.設則,即.

由不等式的解集關于原點對稱,得.此時.任取,由,得,

所以函數圖像對稱中心的坐標是.(3)此命題是假命題.舉反例說明:函數的圖像關于直線成軸對稱圖像,但是對任意實數和,函數,即總不是偶函數.修改后的真命題:“函數的圖像關于直線成軸對稱圖像”的充要條件是“函數是偶函數”.【例5】已知向量滿足，則的最小值為（）A．B．C．D．【解析】設，則，所以，故選B【突破訓練3】（1）已知均為單位向量，且它們的夾角為60°，當取最小值時，___________；（2）(福建六校2013學年第三次聯考】對于三次函數（），給出定義：設是函數的導數，是函數的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”，某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.給定函數，請你根據上面探究結果，計算+…++=__________.3．4函數的實際應用問題【例6】（2014高考湖南卷理8）某市生產總值連續兩年持續增加，第一年的增長率為，第二年的增長率為，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為()A．B．C．D．【解析】設兩年的平均增長率為,則有,故選D.【例7】【2014福建三明】（本小題滿分12分）學校某研究性學習小組在對學生上課注意力集中情況的調查研究中，發現其在40分鐘的一節課中，注