第第頁訓練03直線的方程50道真題訓練一、單選題1．（2023-24上·榮昌·期中）下列四條直線中，傾斜角最大的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據傾斜角與斜率的關系判斷．【詳解】選項A中直線傾斜角為0，選項B中直線傾斜角為，選項C中直線斜率為1，傾斜角為，選項D中直線斜率為，傾斜角為鈍角，傾斜角最大．故選：D．2．（2023-24上·潮州期中）設直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分和兩種情況討論，結合斜率和傾斜角的關系分析求解.【詳解】當時，方程為，傾斜角為當時，直線的斜率，因為，則，所以；綜上所述：線的傾斜角的范圍是.故選：C．3．（2022-23·上）如果，，那么直線不通過（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】化簡直線方程為直線的斜截式方程，結合斜率和在軸上的截距，即可求解.【詳解】因為，且，所以均不為零，由直線方程，可化為，因為，且，可得，y軸截距，所以直線經過第一、三、四象限，所以不經過第二象限．故選：B.4．（2022-23·期末）數學巨星歐拉（LeonhardEuler，1707~1783）在1765年發表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：“三角形的外心?垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心的距離之半”，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．若已知的頂點，，且，則的歐拉線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意得出的歐拉線方程為線段的垂直平分線，再根據點和點的坐標求出線段的垂直平分線即可．【詳解】由，，得線段中點的坐標為，所以線段的斜率，所以線段垂直平分線的方程為：，即，又因為，所以的外心、中心、垂心都在線段的垂直平分線上，所以的歐拉線方程為，故選：D．5．（2022-23上·黑龍江期末）若直線與直線的交點在第一象限，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意得到交點坐標為，從而得到，再解不等式組即可.【詳解】，即交點為.因為交點在第一象限，所以.故選：A6．（2022-23上·馬鞍山期末）過兩直線和的交點和原點的直線方程為（）A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】D【分析】設過兩直線交點的直線系方程為，代入原點坐標，得，求解即可.【詳解】設過兩直線交點的直線系方程為，代入原點坐標，得，解得，故所求直線方程為，即.故選：D.7．（2022-23·東城·二模）已知三條直線，，將平面分為六個部分，則滿足條件的的值共有（

）A．個 B．2個 C．個 D．無數個【答案】C【分析】考慮三條直線交于一點或與或平行時，滿足條件，求出答案.【詳解】當三條直線交于一點時，可將平面分為六個部分，聯立與，解得，則將代入中，，解得，當與平行時，滿足要求，此時，當與平行時，滿足要求，此時，綜上，滿足條件的的值共有3個.故選：C8．（2023-24上·揭陽期中）“”是“直線和直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據兩直線平行的條件及充分條件、必要條件判斷即可.【詳解】當時，，，兩直線斜率都為且不重合，所以兩直線平行；當兩直線平行時，由，即，解得，經檢驗時，兩直線平行，故.綜上可知，“”是“直線和直線平行”的充要條件.故選：C9．（2023-24上·長春·期中）已知點和在直線的兩側，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據題意求出實數的取值范圍，利用直線傾斜角與斜率的關系可求得直線傾斜角的取值范圍.【詳解】因為點和在直線的兩側，則，即，解得且.易知，直線的斜率為，設直線的傾斜角為，則.當時，則；當時，則.綜上所述，直線的傾斜角的取值范圍是.故選：D.10．（2022-23上·貴陽·期中）已知直線，若直線l與連接、兩點的線段總有公共點，則直線l的傾斜角范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出直線過的定點，利用數形結合方法求出直線的斜率范圍，進而求出傾斜角范圍.【詳解】直線，由，解得，即直線過定點，設直線的斜率為，直線的傾斜角為，則，顯然直線的斜率為，直線的斜率為，由于直線經過點，且與線段總有公共點，則，即，

又，于是，因此或，所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：D11．（2023-24上·廣州期末）已知直線l的斜率與直線的斜率相等，且l和兩坐標軸在第一象限內所圍成三角形面積是24，則直線l的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意設，則，解方程再結合題意可求出，即可得出答案.【詳解】直線的斜率為，可設l的方程為.令，得，由題可知:，得，由于在第一象限與坐標軸圍成三角形，所以，所以選C項．故選：C.12．（2022-23上·泉州·期中）若直線在軸上的截距為，且它的傾斜角是直線的傾斜角的倍，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據直線在軸上的截距可求得，設直線的傾斜角為，求出即直線的斜率，即可求出.【詳解】令，則，所以，設直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為，因為直線的斜率為，所以，故，則直線的斜率，所以.故選：D.13．（2022-23上·蘇州期中）已知直線l過點，且分別交兩直線于x軸上方的兩點，O點為坐標原點，則面積的最小值為（

）A．8 B．9 C． D．20【答案】A【分析】判斷直線斜率存在并設直線l的方程為，求出兩點的橫坐標，表示出三角形的面積，并化簡，結合基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意知直線l的斜率一定存在，斜率設為k，則直線l的方程為，分別與聯立可得兩點的橫坐標：，故，兩點都在x軸的上方，故，故，當且僅當，即時等號成立，故面積的最小值為8，故選：A．14．（2023-24上·廣州·期中）著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”事實上，很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如可以轉化為平面上點與點的距離.結合上述觀點，下列說法正確的是（

）A．函數的最小值為B．已知x，y滿足，則的最大值為C．已知x，y滿足，則的取值范圍是D．已知x，y滿足，則的最大值為0【答案】A【分析】函數表示到點和的距離之和，計算距離得到A正確，舉反例得到BCD錯誤，得到答案.【詳解】對選項A：，表示到點和的距離之和，最小值為，正確；對選項B：取，滿足條件，此時，錯誤；對選項C：取，滿足條件，此時，錯誤；對選項D：取，滿足條件，此時，錯誤；故選：A15．（2022-23上·薊州·期中）點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線l方程分別為（

）A．； B．；C．； D．；【答案】C【分析】對直線的方程進行變形確定該直線所過的定點，然后點到線距離最大的性質進行求解即可.【詳解】將直線的方程整理得：，因為，有成立，所以只能，解得，即直線過定點；若要到直線的距離最大，只需，此時直線是圖中直線，此時點到直線的最大距離為線段的長度，即，又直線的斜率為，故此時直線的方程為：，即.故選：C

16．（2022-23上·舟山·期末）已知點P在直線上,,則的最小值為（

）A． B．5 C． D．【答案】D【分析】過點做關于直線的對稱點,求出點坐標,則直線是線段的垂直平分線,則,的值即為所求.【詳解】解:由題知,過點做關于直線的對稱點,取直線上一點,連接,連接交于點,連接,如圖所示:則有,解得,即,因為關于直線對稱,所以直線是線段的垂直平分線,所以,則,當且僅當點運動到處時,所以.故選:D.17．（2022上·淄博·期末）已知：，，，，，一束光線從F點出發射到BC上的D點經BC反射后，再經AC反射，落到線段AE上（不含端點），則FD斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據光線的入射光線和反射光線之間的規律，可先求F點關于直線BC的對稱點P，再求P關于直線AC的對稱點M,由此可確定動點D在直線BC上的變動范圍，進而求的其斜率的取值范圍.【詳解】由題意可知：直線的方程為，直線的方程為，如圖：設關于直線的對稱點為，則,解得，故，同理可求關于直線的對稱點為,連接,交于N，而MN方程為y=2,聯立得N點坐標為，連接，分別交于,方程為：，和直線方程聯立，解得H點坐標為,PN的方程為x=2,和直線方程聯立解得，連接,則之間即為動點D點的變動范圍，而,故FD斜率的取值范圍是，故選B.18．（2020上·新余·期末）已知在中，其中，，的平分線所在的直線方程為，則的面積為（

）A． B． C．8 D．【答案】C【分析】首先求得直線與直線的交點的坐標，利用到直線的距離相等列方程，解方程求得點的坐標.利用到直線的距離以及的長，求得三角形的面積.【詳解】直線的方程為，即.由解得.設，直線的方程分別為，即，.根據角平分線的性質可知，到直線的距離相等，所以，，由于，所以上式可化為，兩邊平方并化簡得，解得（），所以.所以到直線的距離為，而，所以.故選：C

【點睛】本小題主要考查直線方程的求法，考查直線與直線交點坐標，考查點到直線距離公式、兩點間的距離公式，考查角平分線的性質，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.二、多選題19．（2023-24上·煙臺·期中）已知直線，則（

）A．直線的斜率為 B．直線的傾斜角為150°C．直線不經過第三象限 D．直線與直線平行【答案】BCD【分析】由直線方程確定斜率、傾斜角判斷A、B；根據直線方程直接判定所過象限判斷C；由直線平行的判定判斷D.【詳解】由題設，若傾斜角，則，A錯，B對；顯然直線過第一、二、四象限，不過第三象限，C對；由，故與平行，D對.故選：BCD20．（2023-24上·開封期中）已知直線l：與n：，下列選項正確的是（

）A．若，則或B．若，則C．直線l恒過點D．若直線n在x軸上的截距為6，則直線n的斜截式為【答案】AC【分析】運用兩直線平行性質可判斷A項，運用兩直線垂直的性質可判斷B項，提取參數后計算可判斷C項，由截距定義可求得a的值進而可判斷D項.【詳解】對于A項，若，則，解得或，經檢驗，均符合，故A項正確；對于B項，若，則，解得或，故B項不成立；對于C項，因為，則由得，所以l恒過點，故C項正確；對于D項，若直線n在x軸上的截距為6，即直線n過點，則，得，所以直線n的方程為，斜截式為，故D項不成立．故選：AC.21．（2023-24上·成都·期中）直線過點，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則直線在軸上的截距可能是（

）A．3 B．0 C． D．1【答案】ABD【分析】通過討論直線截距是否為的情況，即可得出結論【詳解】由題意，直線過點，在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，當直線的截距為0時，顯然滿足題意，為：；當直線的截距不為0時，設橫、縱截距分別為，則直線方程為：，∴，解得：或，∴直線的縱截距可取.故選：ABD.22．（2022-23上·白城·期中）下列結論不正確的是（

）．A．過點，的直線的傾斜角為B．直線恒過定點C．直線與直線之間的距離是D．已知，，點P在x軸上，則的最小值是5【答案】ABC【分析】A選項，求出過點，的直線的斜率，進而得到傾斜角不為；B選項，變形后得到方程組，求出恒過點；C選項，直線變形為，利用兩平行線間距離公式求出答案；D選項，在坐標系中畫出點的坐標，利用對稱性求出的最小值.【詳解】A選項，過點，的直線的斜率為，設直線傾斜角為，則，由于，故過點，的直線的傾斜角不為，A錯誤；B選項，直線變形得到，令，解得，故直線恒過點，B錯誤；C選項，直線變形為，故與直線之間的距離是，故C錯誤；D選項，在平面直角坐標系中畫出，，兩點都在軸上方，畫出關于軸的對稱點，連接，與軸交于點，則即為的最小值，則，D正確.故選：ABC23．（2022-23上·廣州·期中）已知等腰直角三角形的直角頂點為，點的坐標為，則點的坐標可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據三角形為等腰直角三角形列方程組，即可求解.【詳解】設，由題意可得，可化為，解得:或，即或．故選：AC24．（2022-23上·長春·期末）以下四個命題表述錯誤的是（

）A．恒過定點B．若直線與互相垂直，則實數C．已知直線與平行，則或D．設直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是【答案】BCD【分析】根據題意，求出各直線的斜率，依次判斷各選項的正誤.【詳解】選項A：直線，即，所以恒過定點，故A正確；選項B：根據題意，當時，直線的斜率，直線的斜率不存在，此時，與互相垂直，當時，直線的斜率，直線的斜率，因為兩直線互相垂直，所以，解得，所以或，故B錯誤；選項C：根據題意，當時，直線的斜率，直線的斜率不存在，此時，與互相垂直，舍去，當時，直線的斜率，直線的斜率，因為兩直線互相平行，所以，解得，當時，兩直線重合，故舍去，所以，故C錯誤；選項D：根據題意，直線的斜率，因為，所以，所以，傾斜角的取值范圍是，故D錯誤；故選：BCD.25．（2022-23上·珠海·期末）下列結論正確的是（

）A．若直線與直線平行，則它們的距離為B．點關于直線的對稱點的坐標為C．原點到直線的距離的最大值為D．直線與坐標軸圍成的三角形的面積為【答案】BC【分析】由題意利用兩條直線平行的性質求得的值，再利用兩條平行直線間的距離公式，計算求得結果判斷A；利用對稱知識求出對稱點判斷選項B；求出直線系經過的定點，利用兩點間距離公式求解最大值即可判斷C；求解三角形的面積判斷D．【詳解】對于A，直線與直線平行，顯然，所以，且，解得，故兩條平行直線即為直線與直線，則它們之間的距離為，所以A不正確；對于B，假設點關于直線的對稱點的坐標為，則，解得，，即點關于直線的對稱點的坐標為，故B正確；對于C，由，得，由，得，故直線過定點，所以原點到直線的距離的最大值為，故C正確；對于D，令，得，令，得，所以直線與坐標軸圍成的三角形的面積為，故D不正確.故選：BC．26．（2022上·孝感·期中）下列結論錯誤的是（

）A．過點，的直線的傾斜角為B．直線與直線之間的距離為C．已知點，，點在軸上，則的最小值為D．已知兩點，，過點的直線與線段沒有公共點，則直線的斜率的取值范圍是【答案】ABD【分析】求出直線的斜率，再由斜率的定義求出傾斜角可判斷A；根據兩平行線間的距離可判斷B；點關于軸的對稱點為，則求出最小值可判斷C；求出臨界值和，由可判斷D，進而可得符合題意的選項.【詳解】對于，因為，，所以，因為直線的傾斜角的范圍為，所以直線的傾斜角為，故選項A錯誤；對于B，由可得，與平行，則兩條平行直線間的距離為，故選項B錯誤，對于C，點關于軸的對稱點為，則，所以，的最小值為，故選項C正確，對于D，，，又因為直線與線段沒有公共點，所以，故選項D錯誤，故選：ABD.27．（2022-23上·長春·期中）已知為坐標原點，，為軸上一動點，為直線：上一動點，則（

）A．周長的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為4【答案】BCD【分析】設關于直線：的對稱點為，關于軸的對稱點為，對于A：根據對稱性可得，進而可得結果；對于B：根據點到直線的距離分析判斷；對于C：因為，結合點到直線的距離分析判斷；對于D：根據題意分析可得，結合點到直線的距離分析判斷.【詳解】設關于直線：的對稱點為，關于軸的對稱點為，可知，對于選項A：可得周長，當且僅當四點共線時，等號成立，所以周長的最小值為，故A錯誤；對于選項B：設到軸，直線：的距離分別為，則，可得，所以的最小值為，故B正確；對于選項C：因為，設到直線：的距離為，可得，所以的最小值為，故C正確；對于選項D：作，垂足為，因為直線的斜率，則，可得，則，可得，所以的最小值為4，故D正確；故選：BCD.28．（2022-23下·南通·期末）對于兩點，，定義一種“距離”：，則（

）A．若點C是線段AB的中點，則B．在中，若，則C．在中，D．在正方形ABCD中，有【答案】ACD【分析】根據新定義，，之間的“距離:對選項逐個分析即可判斷其正誤即可．【詳解】A中，若點C是線段AB的中點，則點C坐標為，則，故A正確；B中，因為中，若，取，，則，，，故，，顯然，故B不正確；對于C，設，則，因為，同理，所以，故C正確;D中，因為ABCD為正方形，設正方形邊長為a，可取，則，，故D正確．故選：ACD.三、填空題29．（2023-24上·福州·期中）若a，b為正實數，直線與直線互相垂直，則的最大值為.【答案】/0.125【分析】由直線垂直的條件求得關系，再由基本不等式得最大值．【詳解】由題意，即，由基本不等式得，所以，當且僅當，即時等號成立．故答案為：．30．（2023-24上·深圳·期中）已知點，點在軸上，為直角三角形，請寫出的一個坐標：．【答案】（答案不唯一，任意一個都可以）【分析】根據題意可設，再對直角進行分類討論并利用直線垂直的斜率關系可求得的一個坐標為.【詳解】設，易知當或時，不合題意，因此當且時，可得，，當為直角時，，得的坐標為．當為直角時，，得的坐標為．當為直角時，，化簡得，該方程無解．故答案為：（答案不唯一，任意一個都可以）.31．（2023-24上·福州·期中）已知直線：與直線：平行，則經過點且與直線垂直的直線方程為.【答案】【分析】根據兩直線平行求出的值，再設與直線垂直的直線方程為，代入點的坐標，求出的值，即可得解.【詳解】因為直線：與直線：平行，所以，解得或，當時：，：，則與重合，舍去；當時：，：，所以與平行，符合題意，設與直線垂直的直線方程為，則，解得，所以所求直線方程為.故答案為：32．（2022-23上·寧波·期中）經過點，且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍的直線的方程是.【答案】和；【分析】根據直線過原點和不經過原點兩種情況，即可由待定系數的方法求解.【詳解】若直線經過原點，則設直線方程為，將代入可得，若直線不經過原點，設直線方程為，將代入可得，所以直線方程為，即，故答案為：和；33．（2023-24上·松原·期中）若a，b為正實數，直線與直線互相垂直，則點到直線的距離的最大值為．【答案】【分析】根據向量垂直得到，再結合點到直線距離公式和基本不等式求解答案即可.【詳解】因為直線與直線互相垂直，所以，即，則點到直線的距離，因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為，所以，所以．故答案為：34．（2022-23上·聊城·期末）已知直線和兩點，若直線上存在一點使得最小，則點的坐標為.【答案】【分析】利用對稱轉化，再根據圖象，轉化為三點共線求點的坐標.【詳解】首先設點關于的對稱點，則，解得：，即根據對稱性可知，，當點三點共線時，等號成立，此時最小，即點是直線與的交點，，直線，聯立，解得：，即此時

故答案為：35．（2022-23上·南通·期中）經過點作直線l，且直線l與連接點，的線段總有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是．【答案】【分析】由題意畫出圖形，數形結合能求出使直線與線段有公共點的直線的斜率的范圍與傾斜角的范圍．【詳解】解：如圖，，，，，，則使直線與線段有公共點的直線的斜率的范圍為，，又直線傾斜角的范圍是：，且直線l的傾斜角的范圍為．故答案為：．36．（2022上·三明·期末）已知某正三角形的一條內角平分線所在直線的斜率為，寫出與該角平分線相鄰兩邊中，其中一邊所在直線的斜率為．【答案】或3．（注：寫出一個或兩個正確值均可得滿分）【分析】由題意利用一條直線到另一條直線的夾角公式，求得與該角平分線相鄰的兩條邊所在直線的斜率.【詳解】解：某正三角形的一條內角平分線所在直線的斜率為，設這個正三角形中與該角平分線相鄰的兩條邊所在直線的斜率分別為，且，則，解得.故答案為：或3．（注：寫出一個或兩個正確值均可得滿分）37．（2020·專題練習）已知的頂點，、邊中線方程分別為、，則直線的方程為．【答案】【分析】設點，，根據線段的中點在直線上可求得的值，根據線段的中點在直線上可求得的值，進而可得出點、的坐標，由此可求得直線的方程.【詳解】由題意可知，點在直線上，設點，則線段的中點為，易知點在直線上，則，解得，所以，點的坐標為.點在直線上，可設點，則線段的中點為點，易知點在直線上，則，解得，所以，點的坐標為.直線的斜率為，因此，直線的方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查直線方程的求解，求出三角形的頂點坐標是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.38．（2023-24上·汕頭期中）已知為直線上的一點，則的最小值為．【答案】【分析】利用兩點的距離公式結合“將軍飲馬”模型計算最值即可.【詳解】如圖，為點到原點和到點的距離之和，即．設關于直線對稱的點為，則解之得即．易得，當三點共線時，取到最小值，且最小值為．

故答案為：.39．（2023-24上·深圳期中）已知的頂點，，其外心（外接圓圓心）、重心（三條中線交點）、垂心（三條高線點）在同一條直線上，且這條直線的方程為，則頂點的坐標是.【答案】或【分析】設頂點的坐標是，根據重心坐標公式結合外心的定義和性質運算求解.【詳解】設頂點的坐標是，則的重心坐標為，由題意可知：，即，可知線段的中點為，斜率，則線段的中垂線的方程為，即，聯立方程，解得，即的外心坐標為，由，即，可得，解得或，即或，經檢驗或均符合題意.故答案為：或.40．（2022-23上·長春·期中）已知的頂點，，，設的外心（三邊中垂線的交點）到直線的距離為，垂心（三邊高的交點）到頂點的距離為，則.【答案】【分析】先利用直線關系求出中垂線及高線，從而求出的外心和垂心坐標，然后根據點到直線的距離和兩點距離求解即可.【詳解】因為，，所以直線的方程為，即，又的中點為，所以直線的中垂線方程為，即，同理，，所以直線的方程為，又的中點為，所以直線的中垂線方程為，聯立，得，所以的外心為，則它到直線的距離為，又邊的高線為，即，邊的高線為，聯立，得，所以的垂心為，則垂心到頂點的距離為，所以.故答案為：四、解答題41．（2023-24上·武威·期中）已知直線，．(1)若，求實數的值；(2)若，求實數的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據兩直線平行可得出關于實數的等式與不等式，即可解得實數的值；（2）利用兩直線垂直可得出關于實數的等式，即可解得實數的值.【詳解】（1）因為直線，，且，則，解得.（2）因為，則，解得或.42．（2023-24上·佛山期末）已知四邊形的四個頂點分別為，，，．試判斷四邊形OABC的形狀，并說明理由.【答案】平行四邊形，理由見解析【分析】應用兩點式求四邊形各邊所在直線斜率，由斜率及點的關系判斷邊之間的位置關系；【詳解】如下圖示：

OA邊所在直線的斜率，AB邊所在直線的斜率，BC邊所在直線的斜率，CO邊所在直線的斜率．由知：點O不在BC上，則OA與BC不重合，又，得．同理，由且AB與CO不重合，得．因此四邊形OABC是平行四邊形．43．（2023-24上·咸陽·期中）已知的三個頂點是．(1)求AB邊的高所在直線的方程；(2)若直線l過點C，且點A，B到直線l的距離相等，求直線l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據點斜式求得邊的高所在直線的方程.（2）對是否與直線平行進行分類討論，由點斜式或斜截式求得直線的方程.【詳解】（1）直線的斜率為，所以邊的高所在直線的斜率為，所以邊的高所在直線的方程為.（2）直線的斜率為，若直線與直線平行，則直線的方程為.線段的中點坐標為，若直線過，則直線的方程為.44．（2023-24上·張家口期中）已知直線過點．(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若直線與兩坐標軸上圍成的三角形面積為，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設直線的方程為，代入點坐標可得答案；（2）設直線的方程為，求出橫截距、縱截距，利用可得答案.【詳解】（1）設直線的方程為過點，的方程：；（2）設直線的方程為，橫截距為，縱截距為，，或，方程為或.45．（2022-23上·平涼·期末）已知，，．(1)求點的坐標，滿足，；(2)若點在x軸上，且，求直線的傾斜角．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據兩直線的垂直關系和平行關系即可求出結果；（2）根據條件可得即可求出結果.【詳解】（1）設，由已知得，又，可得，即．①由已知得，又，可得，即．②聯立①②解得，∴．（2）設，∵，∴，又∵，，∴，解得．∴，又∵，∴軸，故直線MQ的傾斜角為90°．46．（2023-24上·周口期中）已知直線經過點，且與直線垂直.(1)求直線的方程；(2)若直線與直線平行且點到直線的距離為，求直線的方程；(3)若直線與直線相交于點，且在軸，軸上截距相等，求直線的方程.【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）由兩直線垂直得直線的斜率，由點斜式方程可得；（2）由直線與直線平行，設出直線的一般式方程待定系數，再由點到直線的距離公式可求；（3）由直線在軸，軸上截距相等，按照截距是否為零分類討論，再分別在不同分類下求解直線方程，由點在直線上待定系數即可.【詳解】（1）直線與直線垂直，且直線斜率為，則直線的斜率為，又直線經過點，故直線的方程為，化簡得；（2）由直線與直線平行，則可設直線的方程為，又點到直線的距離為，則，解得，或，故直線的方程為或；（3）直線在軸，軸上截距相等，①當截距都為時，則直線過原點，且過點，故直線的方程為，即；②當截距都不為時，則可設直線的方程為，由直線過點，得，解得，則直線的方程為；綜上所述，直線的方程為或.47．（2022-23上·深圳·期末）已知直線，直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于A，B兩點．(1)證明：直線l過定點；(2)已知點，當最小時，求實數m的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據直線恒過定點的求法列出方程組，解之即可求解；（2）有（1），設直線方程為，可得，根據平面向量數量積的坐標表示和基本不等式中“1”的用法可得直線l的方程，即可求解.【詳解】（1）已知直線，則，由，解得，即直線l過定點；（2）設直線的方程為，則，又直線l過定點，則，又點，則，當且僅當即即時取等號，所以直線l的方程為，所以直線l過，即，解得．48．（2022-23上·南充·期末）某市的兩條直線公路OM，ON所圍成的角形區域內有一村莊，該市為響應黨中央的鄉村振興戰略，擬過村莊修建一條公路，使之圍成一個等腰三角形區域．在