專題平面向量的基本概念、線性運算一、學法指導與考點梳理考點一向量的有關概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度（或稱模）平面向量是自由向量零向量長度為0的向量記作0，其方向是任意的單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為士〔；平行向量方向相同或相反的非零向量（又叫做共線向量）0與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不相等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0考點二向量的線性運算向量運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則⑴交換律：a+b=b+a；(2)結合律：(a+b)+c=a+(b+c)減法求a與b的相反向量一b的和的運算叫做a與b的差上a三角形法則a—b=a+(—b)數乘求實數A與向量a的積的運算|Aa|=|A||a|，當A>0時，Aa的方向與a的方向相同；當A<0時，Aa的方向與a的方向相反；當A=0時，Aa=0A(^a)=(A^)a；(A+“)a=Aa+“a；A(a+b)=Aa+Ab考點三經典結論一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量，即硝+硫+—丸+…+力―X=—特別地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量.在△ABC中，AD,BE,CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點G(如圖所示)，易知G為△ABC的重心，則有如下結論：(1)—7+—音+~G(C=0；(2)2G=；(—*+—2)；(3)反D=-(—^+~GCC)=1(—^+~A(C).考點四共線向量定理、平面向量基本定理及應用⑴判定定理：a是一個非零向量，若存在一個實數久使得b=扁，則向量b與a共線.(2)性質定理：若向量b與非零向量a共線，則存在唯一一個實數兀使得b=a考點五平面向量基本定理及應用如果弓，勺是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數久1，定，使a=A1e1+A2e2，其中e1，e2是一組基底.二、重難點題型突破重難點題型突破1平面向量的基本概念例1.(2020-宜賓市敘州區第二中學校高一月考)下列命題正確的是( )若a與b共線，b與c共線，則a與c共線—? —> —>―?- —>―?第2頁/共15頁三個向量共面，即它們所在的直線共面若a//b，則存在唯一的實數人，使a泌D.零向量是模為0，方向任意的向TOC\o"1-5"\h\z量 =【解析】A選項，若b=0，則根據零向量方向的任意性，可的a與b共線，b與c共線；但a與c不一定共線，故A錯；B選項，因為向量是自由移動的量，因此三個向量共面，其所在的直線不一定共面；故B錯；~ ~C選項，共線向量定理，若a//b，其中b。0，則存在唯一的實數人使a泌；故C錯；D選項，根據零向量的定義可得，零向量是模為0，方向任意向量；即D正確.故選：D.【變式訓練11】、（2019?四川廣安市?高一期末）有下列四個命題：互為相反向量的兩個向量模相等；若向量AB與CD是共線的向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上；若|a|=|b|，則a=b或a=-b；④若a?=0，則a=0或b=0；其中正確結論的個數是（）A.4 B.3 C2 D.1【解析】方向相反，模相等的兩個向量是相反向量，故①正確；因為向量是自由移動的量，所以兩向量共線，點不一定共線，故②錯；向量有方向，因此模相等時，向量方向不確定，故③錯；兩向量垂直時，數量積也為0，所以④錯.故選D【變式訓練12】、（2019?四川成都市?石室中學高一期中）以下說法正確的是（）A.零向量沒有方向 B,單位向量都相等C.共線向量又叫平行向量 D.任何向量的模都是正實數【解析】由于向量中規定共線向量又叫平行向量故應選C.重難點題型突破2平面向量的線性運算例2、（1）（2020?四川省瀘縣第四中學高一月考）已知O是平面上一點，TOC\o"1-5"\h\zOA=a,OB=b,OC=c,OD=d，且四邊形ABCD為平行四邊形，則（ ）—.ja+b七c+dm0__ B.a—b—c+d—0C.a+b—c—d—0 D.a—b+c—d—0―? —? ―? ? ―? —? ―? ―? ? ―?【詳解】易知OB—OA—AB,OC—OD—DC,而在平行四邊形ABCD中,AB—DC,—? —? —? ? —? —? ―? —? ? ―?所以OB—OA—OC—OD,即b—a—c—d，所以a—b+c—d—0，故選:D（2）在^ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則EB—1_ 1 3 - 3 1_ 1 3_A.—AB——ACb.AB——ACC.—AB+—AC d.—AB+—AC4 4 4 4 4 4 4【解析】根據向量的運算法則，BE—1BA+1BD—1BA+1BC—1BA+1(BA+AC)2 2 2 4 2 4111 31 31—_BA+-BA+-AC——BA+-AC，所以EB——AB——AC.故選a.W」頊4 4 4，4【變式訓練2-1】、（2020?四川瀘州市?瀘縣五中高一月考）如圖所示，已知在ABC中，D是邊AB的中點，則CD—（ ）△

。 。 。BC-1BA B.-BC+1BA C.-BC-1BA d.BC+1BA2 2 2 2【詳解】囹D是邊AB的中點，囹BD=1BA,囹CD=CB+BD=-BC+1BA.選：B.

—> —> —> —2 ———2 —【變式訓練2-2】、(2020?眉山市東坡區永壽高級中學高一期中)如圖，正六邊形ABCDEF中，BA+CD+EF=()A.0B.BEC.ADA.0B.BEC.ADD.CF【詳解】將—?平移到=，二平移到二，故BA+CD+EF=CB+BA+AF=CF,故選D.重難點題型突破3平面向量共線定理的應用一——————一————例3.(2020屆安徽省合肥市高三第二次質檢)在平行四邊形ABCD中，若DE=EC,AE交BD于F點，則AF=()TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 12 12『一AB+-AD b-AB--ADCAB——ADd AB+—AD3 3十3 3 3 3［解柝口口圖二.DE=EC，二E為CD的中點一 一一一. 」 1 、直 1 、人.設AF=人AE=XIAB+BC+-CD=XAB+AD--AB=-AB+XAD，且B，\* 2 ) \ 2 J2F,D三點共線，...§+人=1，解得X=2，二AF=1AB+2AD.故選D。⑵（2019?四川南充市?閬中中學高一月考）設兩個非零向量a與b不共線.若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b)，求證：A,b,D三點共線;―?―?試確定實數k，使ka+b和a+kb同向. ?——>—>—>?——TOC\o"1-5"\h\z【詳解】(1)證明：囹AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b),―?—?―? ―?BD=BC+CD=2a+8b+3(a—b)=5(a+b)=5AB, ?—— > —>—>?——囹AB與BD共線，又它們有公共點B,財，B,D三點共線； ??? ―>—? —?—? —?—? ?(2)解：若ka+b和a+kb同向，囹存在實數人〉0,使ka+b=X(a+kb),即ka+b=Xa+k人b,二k=人』=k人，解得k=—1(舍),k=1.【變式訓練31】、（2018?四川攀枝花市?高一期末）已知向量a,b不共線，c=ka+b,―?—? —? —?d=a—b，如果cd，那么（）II 一一--一A.k=1且c與d同向 B.k=1且c與d反向—?―? ―? —?―?C.k=—1且c與d同向 D?k=—1且c與d反向f) fl=Xk【解析】c//d,?c=Xd,?a+b=X^ka—b,a,b不共線，.?.〈解得[1=—XTOC\o"1-5"\h\z'k=—1 f) ?.?〈 ,d=—a—b=—M+bJ=—c,選d.X=—1—一_一一一__ __重難點題型突破4平面向量基本定理及其應用

—? —? —?例4.(1)?(2019?四川雅安中學高一月考)以下四組向量能作為基底的是()A.A.e1=(1,2),e2=(2,4)C.ei=(2,1),e2=(-2,-1)ei=(3,-1),e2=(-1,3)D.[=(2,0),e2=(3,0)—A —A【解析】對于A, 1x4-2x2=0,.?.〈與e2共線，不能作為基底；TOC\o"1-5"\h\z—— —? 一對于B, 3x3-(-1)x(-1)=8更0,匕與e2不共線，能作為基底；\o"CurrentDocument" > >\o"CurrentDocument"對于C,???2x(-1)-1x(-2)=0,「?e1與e2共線，不能作為基底； ? >對于D，-2x0-0x3=0,.e1與e2共線，不能作為基底，故選B. >(2).(2019?江西高一期末(理))設e「e2是平面內的一組基底，則下面四組向量中,能作為 >基底的是( )A.e一e與e一e2 112C.e+e與e-e十A.e一e與e一e2 112C.e+e與e-e十2FD.-—e+-e與e-—e之1一82婦1牛2【解析頊。匚匕是平面內的一組基底，所以匕和e2不共線，一一對應選項A：e-e=-(e-e)，所以這2個向量共線，不能作為基底；2 1 1 2 > > > >對應選項B：2e1+3e2=-2(^匕-6e2)，所以這2個向量共線，不能作為基底;對應選項D：一!e+1e=-1J-=e］，所以這2個向量共線，不能作為基底;走1氣2 2煩142)對應選項C：e1+烏與亍e2不共線,能作為基底.故選：C.(3).(2019?內蒙古高三月考(理))在正方形ABCD中，點O為AABC內切圓的圓心，若AO=xAB+yAD,則勺的值為（ ）D.TOC\o"1-5"\h\z2>/^-1 3 +1D.A. B. C. 4 4 4【解析】連并延長到與相交于點H,設正方形ABCD的邊長為1,則BH=-BD=—,設AABC內切圓的半徑為,，貝（J2 2BH=0H+0B=r+HS+）r=^，可得r= .2 2設AABC內切圓在A8邊上的切點為E,則A0=AE+E0=（l-r）AB+rADJi一g —>V2X妗7^—1有工=——，y=l———，故xy="-x1-—=—-—.故選：d2 2 21 2 2【變式訓練11（2011-北京高三開學考試（理））在平行四邊形ABCD中AB=e^AC=eNC=、AC,BM=}-MC,則MN= .（用表示）2 4 2 i2【解析】如圖:【解析】如圖:1 2 1MN=CN—CM=CN+2bm=CN+云BC=—-AC+—(AC—AB)=——^+4 3 4zTOC\o"1-5"\h\z2, 、 2 5 2 5*-<)=--e1+-2e2.故本題答案為--\+-2氣.J J -LJ J -LJ【變式訓練2】.(2020-四川雅安市?雅安中學高一月考)已知向量a=(-3,4)測下列能使 ? ? ? ? ? ?a=人匕+目％(人，目eR)成立的一組向量匕，e2是( )A.e1=(0,0),e2=(-1,2) B.e1=(-1,3),e2=(2,-6)e=(-1,2),e=(3,-1) D.e=(--,1),e=(1,-2)1 2 1 2 2【解析】A中e1是零向量，與任何向量共線，B中e2=-2e1,匕,e2,d中。2=-2匕，e,e，只有C中e,e不共線，根據平面向量基本定理，存在人,H使得a=Xe+^e.故12 12 1 2選：C.一 一一一一一一為線段AD的中點，［變式訓練3】(2020四川省綿陽南山中學高二開學考試)在△ABC中，D為BC為線段AD的中點，若2BD=DC，且BE=xAB+yAC，則x+y=( )2A A. 2A A. 31B?—2C.1D?—-【詳解】由圖可知，BE【詳解】由圖可知，BE=AE-AB，因為E為線段AD的中點，所以AE=；AD，因為2因為2BD=DC，所以BD=3bC，所以BE=AE-AB=1AD-AB=1(AB+BD)-AB=1AB+上(AC-AB)-AB2 2 2 62 1 2 1一3ab官'因為BE=XAB+ '岌以切-3,yZ6，21 1所以x+y=-立6=-2，故選：B重難點題型突破5綜合應用例5.（1）（2020屆黑龍江省齊齊哈爾高三二模）如圖，在AABC中，點2為線段AC上靠近點A的三等分點，點P為線段BQ上靠近點B的三等分點，則PA+PC=（ ）A.1BA+-BC b5BA+-BC C1BA+10BCd-BA+-BCTOC\o"1-5"\h\z3 3 .9 9 ?9 9 .9 92—［解析］PA+PC—BA—BP+BC—BP—BA+BC——BQ一2一一1一一」1一 ,—BA+BC—^(BA+AQ)—-BA+BC-成1AC3 3 33一?5 7一——BA+BC——(BC—BA)——BA+—BC3 9 9 9 ?【變式訓心1】、0020?仁壽縣文宮中學高一月考(文))設D,E,F分別是ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且DC—2BD,CE—2EA,AF—2FB，則AD+BE+CF與BC△()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂「一一

【詳解】AD=AB+BD=AB+1BC=AB+1CaC-AB）=-AB+-AC3 3 3 3同理.BE=2BA+1BC,CF=2CB+1CA,： ?3 ,, —_x，所以AD±BE所以AD±BE±CF=（2 1 \二.二13 3 ）（2 1 \ .（2a*Acj±-BA+-bc+-C+-CA=1CB,

3所以AD+BE+CF與Bb反向平行故選：A【變式訓練5-2】、（2019四川廣安市高一期末）已知OAB中，點D在線段OB上，且OD=2DB，延長BA到C，使BA=AC.設OA=a,OB=b.△（1） 用a,b表示向量OC,DC；（2）若向量OC與OA+kDC共線，求k的值.【詳解】解：（1）A為BC的中點，OA=1（OB+OC），1 A A匕r > A2—- 5-可得OC=2OA-OB=2a-b，而DC=OC-OD=OC-3OB=2a-3b（2） 由（1）得OA+kDC=（2k+1）a--kb， ??? ―? ~—?OC與OA+kDC共線，設OC=人￡+kDC），即2a-b=X（2k+1）a+--人kb，3TOC\o"1-5"\h\z2=X（2k+1） 3根據平面向量基本定理，得｛L 5八，解之得，k=-.-1=一一人k 4〔 3三、課堂定時訓練（45分鐘）

（2019?四川南充市?閬中中學高一月考）下列命題中正確的是（ ）A.共線向量都相等 B.單位向量都相等C.平行向量不一定是共線向量D.模為0的向量與任意一個向量平行【詳解】對于A,共線向量大小不一定相等，方向不一定相同，A錯誤；對于B,單位向量的模長相等，但方向不一定相同，B錯誤；對于C,平行向量一定是共線向量，C錯誤；對于D，模為0的向量是零向量，它與任意一個向量是平行向量，D正確.故選D.（2020四川綿陽市?三臺中學實驗學校高一開學考試）下列命題中正確的是（ ）A.OA-OB=AB B.AB=BAC.WB_=0AB+BC+CD=ADC.WB_=0【詳解】對于A選項，OA-OB=BA，A選項錯誤;對于B選項，AB=-BA，B選項錯誤；對于C選項，0?AB=0，C選項錯誤;對于D選項，AB+BC+CD=AC+CD=AD，D選項正確.故選：D.B.2e—eB.2e—e，e-1e1 2 1 22A.e—e，e—e12 2 1C.2C.2e2—3e1，6匕—4e2D.e+e，e—e【詳解】不共線的兩個向量可以作為平面的一組基底對于A，e—e=—(e—e)不滿足；對于B，2e—e=2(e—二e)不滿足;2 1 12 12 122

對于C,6e—4e=—2（2e—3e）不滿足；故選：D.1 2 2 1（2020-四川綿陽市?三臺中學實驗學校高一月考）如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，一E,兩別為BC,CD的中點，G為EF中點，則AG=（ ）ABABA.-AB+1AD b.1AB+-AD C.-AB+-AD d.2AB+-AD【詳解】根據題意:AG=-\AE+AF)，又AE=AB+BE=AB+1AD【詳解】根據題意:TOC\o"1-5"\h\z2一 一. 2一…_3 3…一AF=AD+DF=AD+-AB，所以AG=-AB+-AD，故選：C4>（2020?四川瀘州市?瀘縣五中高一月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是（）A.AB=DC B.AD+AB=AC C.AB—AD=BDD.AD+CB=0【解析】在平行四邊形ABCD中,顯然有AB=DC,AD+CB=0,故A,D正確；根據向量的平行四邊形法則，可知AD+AB=AC,故B正確;根據向量的三角形法,AB—AD=DB,故C錯誤;故選:C.（2023四川成都市?棠湖中學高一月考（文））設AABC中BC邊上的中線為AD，點O滿足AO=2OD，則OC=( )A.--AB+-ACB.-AB-1A