實驗三：A*算法求解8數(shù)碼問題實驗實驗?zāi)康氖煜ず驼莆諉l(fā)式搜索的定義、估價函數(shù)和算法過程，并利用A*算法求解N數(shù)碼難題，理解求解流程和搜索順序。實驗內(nèi)容八數(shù)碼問題描述所謂八數(shù)碼問題起源于一種游戲:在一個3×3的方陣中放入八個數(shù)碼1、2、3、4、5、6、7、8，其中一個單元格是空的。將任意擺放的數(shù)碼盤（城初始狀態(tài)）逐步擺成某個指定的數(shù)碼盤的排列（目標狀態(tài)），如圖1所示圖1八數(shù)碼問題的某個初始狀態(tài)和目標狀態(tài)對于以上問題，我們可以把數(shù)碼的移動等效城空格的移動。如圖1的初始排列，數(shù)碼7右移等于空格左移。那么對于每一個排列，可能的一次數(shù)碼移動最多只有4中，即空格左移、空格右移、空格上移、空格下移。最少有兩種（當空格位于方陣的4個角時）。所以，問題就轉(zhuǎn)換成如何從初始狀態(tài)開始，使空格經(jīng)過最小的移動次數(shù)最后排列成目標狀態(tài)。八數(shù)碼問題的求解算法2.1盲目搜索寬度優(yōu)先搜索算法、深度優(yōu)先搜索算法2.2啟發(fā)式搜索啟發(fā)式搜索算法的基本思想是：定義一個評價函數(shù)f，對當前的搜索狀態(tài)進行評估，找出一個最有希望的節(jié)點來擴展。先定義下面幾個函數(shù)的含義：f*(n)=g*(n)+h*(n)(1)式中g(shù)*(n)表示從初始節(jié)點s到當前節(jié)點n的最短路徑的耗散值；h*(n)表示從當前節(jié)點n到目標節(jié)點g的最短路徑的耗散值，f*(n)表示從初始節(jié)點s經(jīng)過n到目標節(jié)點g的最短路徑的耗散值。評價函數(shù)的形式可定義如(2)式所示：f(n)=g(n)+h(n)(2)其中n是被評價的當前節(jié)點。f(n)、g(n)和h(n)分別表示是對f*(n)、g*(n)和h*(n)3個函數(shù)值的估計值。利用評價函數(shù)f(n)=g(n)+h(n)來排列OPEN表節(jié)點順序的圖搜索算法稱為算法A。在A算法中，如果對所有的x，h(x)<=h*(x)(3)成立，則稱好h(x)為h*(x)的下界，它表示某種偏于保守的估計。采用h*(x)的下界h(x)為啟發(fā)函數(shù)的A算法，稱為A*算法。針對八數(shù)碼問題啟發(fā)函數(shù)設(shè)計如下：f(n)=d(n)+p(n)(4)其中A*算法中的g(n)根據(jù)具體情況設(shè)計為d(n)，意為n節(jié)點的深度，而h(n)設(shè)計為把S放入OPEN表，記f=hOPEN=NULL?是失敗擴展BESTNODE,產(chǎn)生其后繼結(jié)點SUCCESSOR選取OPEN表上未設(shè)置過的具有最小f值的節(jié)點BESTNODE,放入CLOSED表BESTNODE是目標節(jié)點建立從SUCCESSOR返回BESTNODE的指針計算g(SUC)=g(BES)+k(BES,SUC)SUC∈OPEN開始g(SUC)<g(OLD)SUC=OLD,把它添加到BESTNDOE的后繼結(jié)點表中重新確定OLD的父輩節(jié)點為BESTNODE，并修正父輩節(jié)點的g值和f值，記下g(OLD)是成功把S放入OPEN表，記f=hOPEN=NULL?是失敗擴展BESTNODE,產(chǎn)生其后繼結(jié)點SUCCESSOR選取OPEN表上未設(shè)置過的具有最小f值的節(jié)點BESTNODE,放入CLOSED表BESTNODE是目標節(jié)點建立從SUCCESSOR返回BESTNODE的指針計算g(SUC)=g(BES)+k(BES,SUC)SUC∈OPEN開始g(SUC)<g(OLD)SUC=OLD,把它添加到BESTNDOE的后繼結(jié)點表中重新確定OLD的父輩節(jié)點為BESTNODE，并修正父輩節(jié)點的g值和f值，記下g(OLD)是成功SUC∈CLOSED把SUCCESSOR放入OPEN表，添進BESTNODE的后裔表計算f值是否是否是否否否圖2A*算法流程圖p(n)，意為放錯的數(shù)碼與正確的位置距離之和。由于實際情況中，一個將牌的移動都是單步進行的，沒有交換拍等這樣的操作。所以要把所有的不在位的將牌，移動到各自的目標位置上，至少要移動從他們各自的位置到目標位置的距離和這么多次，所以最有路徑的耗散值不會比該值小，因此該啟發(fā)函數(shù)h(n)滿足A*算法的條件。A*算法流程圖,如圖2A*算法總結(jié)4.1，把起始狀態(tài)添加到開啟列表。4.2，重復(fù)如下工作：a)尋找開啟列表中f值最低的節(jié)點，我們稱它為BESTNOEb)把它切換到關(guān)閉列表中。c)對相鄰的4個節(jié)點中的每一個*如果它不在開啟列表，也不在關(guān)閉列表，把它添加到開啟列表中。把BESTNODE作為這一節(jié)點的父節(jié)點。記錄這一節(jié)點的f和g值*如果它已在開啟或關(guān)閉列表中，用g值為參考檢查新的路徑是否更好。更低的g值意味著更好的路徑。如果這樣，就把這一節(jié)點的父節(jié)點改為BESTNODE，并且重新計算這一節(jié)點的f和g值，如果保持開啟列表的f值排序，改變之后需要重新對開啟列表排序。d)停止把目標節(jié)點添加到關(guān)閉列表，這時候路徑被找到，或者沒有找到路徑，開啟列表已經(jīng)空了，這時候路徑不存在。4.3，保存路徑。從目標節(jié)點開始，沿著每一節(jié)點的父節(jié)點移動直到回到起始節(jié)點。這就是求得的路徑。5、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)采用結(jié)構(gòu)體來保存八數(shù)碼的狀態(tài)、f和g的值以及該節(jié)點的父節(jié)點；structNode{ints[3][3];//保存八數(shù)碼狀態(tài)，0代表空格intf,g;//啟發(fā)函數(shù)中的f和g值structNode*next;structNode*previous;//保存其父節(jié)點};6、實驗結(jié)果，如圖3所示圖3A*算法求解八數(shù)碼問題實驗結(jié)果7、源代碼//-----------------------------------------------------------------------------//代碼：利用A*算法求解八數(shù)碼問題。//八數(shù)碼問題的啟發(fā)函數(shù)設(shè)計為：f(n)=d(n)+p(n),其中A*算法中的g(n)根據(jù)具體情況設(shè)計為d(n)，意為n節(jié)點的深度，而h(n)設(shè)計為p(n)，意為放錯的數(shù)碼與正確的位置距離之和。//后繼結(jié)點的獲取：數(shù)碼的移動等效為空格的移動。首先判斷空格上下左右的可移動性，其次移動空格獲取后繼結(jié)點。//-----------------------------------------------------------------------------#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>//八數(shù)碼狀態(tài)對應(yīng)的節(jié)點結(jié)構(gòu)體structNode{ints[3][3];//保存八數(shù)碼狀態(tài)，0代表空格intf,g;//啟發(fā)函數(shù)中的f和g值structNode*next;structNode*previous;//保存其父節(jié)點};intopen_N=0;//記錄Open列表中節(jié)點數(shù)目//八數(shù)碼初始狀態(tài)intinital_s[3][3]={2,8,3,1,6,4,7,0,5};//八數(shù)碼目標狀態(tài)intfinal_s[3][3]={1,2,3,8,0,4,7,6,5};//------------------------------------------------------------------------//添加節(jié)點函數(shù)入口，方法：通過插入排序向指定表添加//------------------------------------------------------------------------voidAdd_Node(structNode*head,structNode*p){structNode*q;if(head->next)//考慮鏈表為空{(diào)q=head->next; if(p->f<head->next->f){//考慮插入的節(jié)點值比鏈表的第一個節(jié)點值小 p->next=head->next; head->next=p; } else{ while(q->next)//考慮插入節(jié)點x，形如a<=x<=b { if((q->f<p->f||q->f==p->f)&&(q->next->f>p->f||q->next->f==p->f)){ p->next=q->next; q->next=p; break; } q=q->next; } if(q->next==NULL)//考慮插入的節(jié)點值比鏈表最后一個元素的值更大 q->next=p; }}elsehead->next=p;}//------------------------------------------------------------------------//刪除節(jié)點函數(shù)入口//------------------------------------------------------------------------voiddel_Node(structNode*head,structNode*p){structNode*q;q=head;while(q->next){ if(q->next==p){ q->next=p->next; p->next=NULL; if(q->next==NULL)return;//free(p); } q=q->next;}}//------------------------------------------------------------------------//判斷兩個數(shù)組是否相等函數(shù)入口//------------------------------------------------------------------------intequal(ints1[3][3],ints2[3][3]){inti,j,flag=0;for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) if(s1[i][j]!=s2[i][j]){flag=1;break;}if(!flag) return1;elsereturn0;}//------------------------------------------------------------------------//判斷后繼節(jié)點是否存在于Open或Closed表中函數(shù)入口//------------------------------------------------------------------------intexit_Node(structNode*head,ints[3][3],structNode*Old_Node){structNode*q=head->next;intflag=0;while(q) if(equal(q->s,s)){ flag=1; Old_Node->next=q; return1;} elseq=q->next;if(!flag)return0;}//------------------------------------------------------------------------//計算p(n)的函數(shù)入口//其中p(n)為放錯位的數(shù)碼與其正確的位置之間距離之和//具體方法：放錯位的數(shù)碼與其正確的位置對應(yīng)下標差的絕對值之和//------------------------------------------------------------------------intwrong_sum(ints[3][3]){inti,j,fi,fj,sum=0;for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) { for(fi=0;fi<3;fi++) for(fj=0;fj<3;fj++) if((final_s[fi][fj]==s[i][j])){ sum+=fabs(i-fi)+fabs(j-fj); break; } }returnsum;}//------------------------------------------------------------------------//獲取后繼結(jié)點函數(shù)入口//檢查空格每種移動的合法性，如果合法則移動空格得到后繼結(jié)點//------------------------------------------------------------------------intget_successor(structNode*BESTNODE,intdirection,structNode*Successor)//擴展BESTNODE，產(chǎn)生其后繼結(jié)點SUCCESSOR{inti,j,i_0,j_0,temp;for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) Successor->s[i][j]=BESTNODE->s[i][j];//獲取空格所在位置for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) if(BESTNODE->s[i][j]==0){i_0=i;j_0=j;break;}switch(direction){ case0:if((i_0-1)>-1){ temp=Successor->s[i_0][j_0]; Successor->s[i_0][j_0]=Successor->s[i_0-1][j_0]; Successor->s[i_0-1][j_0]=temp; return1; } elsereturn0; case1:if((j_0-1)>-1){ temp=Successor->s[i_0][j_0]; Successor->s[i_0][j_0]=Successor->s[i_0][j_0-1]; Successor->s[i_0][j_0-1]=temp; return1; } elsereturn0; case2:if((j_0+1)<3){ temp=Successor->s[i_0][j_0]; Successor->s[i_0][j_0]=Successor->s[i_0][j_0+1]; Successor->s[i_0][j_0+1]=temp; return1; } elsereturn0; case3:if((i_0+1)<3){ temp=Successor->s[i_0][j_0]; Successor->s[i_0][j_0]=Successor->s[i_0+1][j_0]; Successor->s[i_0+1][j_0]=temp; return1; } elsereturn0; }}//------------------------------------------------------------------------//從OPen表獲取最佳節(jié)點函數(shù)入口//------------------------------------------------------------------------structNode*get_BESTNODE(structNode*Open){returnOpen->next;}//------------------------------------------------------------------------//輸出最佳路徑函數(shù)入口//------------------------------------------------------------------------voidprint_Path(structNode*head){structNode*q,*q1,*p;inti,j,count=1;p=(structNode*)malloc(sizeof(structNode));//通過頭插法變更節(jié)點輸出次序p->previous=NULL;q=head;while(q){q1=q->previous;q->previous=p->previous;p->previous=q;q=q1;}q=p->previous;while(q){if(q==p->previous)printf("八數(shù)碼的初始狀態(tài)：\n");elseif(q->previous==NULL)printf("八數(shù)碼的目標狀態(tài)：\n");elseprintf("八數(shù)碼的中間態(tài)%d\n",count++);for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) { printf("%4d",q->s[i][j]); if(j==2)printf("\n"); }printf("f=%d,g=%d\n\n",q->f,q->g);q=q->previous;}}//------------------------------------------------------------------------//A*子算法入口:處理后繼結(jié)點//------------------------------------------------------------------------voidsub_A_algorithm(structNode*Open,structNode*BESTNODE,structNode*Closed,structNode*Successor){structNode*Old_Node=(structNode*)malloc(sizeof(structNode));Successor->previous=BESTNODE;//建立從successor返回BESTNODE的指針Successor->g=BESTNODE->g+1;//計算后繼結(jié)點的g值//檢查后繼結(jié)點是否已存在于Open和Closed表中，如果存在：該節(jié)點記為old_Node，比較后繼結(jié)點的g值和表中old_Node節(jié)點//g值，前者小代表新的路徑比老路徑更好，將Old_Node的父節(jié)點改為BESTNODE，并修改其f，g值，后者小則什么也不做。//即不存在Open也不存在Closed表則將其加入OPen表，并計算其f值if(exit_Node(Open,Successor->s,Old_Node)){ if(Successor->g<Old_Node->g){ Old_Node->next->previous=BESTNODE;//將Old_Node的父節(jié)點改為BESTNODE Old_Node->next->g=Successor->g;//修改g值 Old_Node->next->f=Old_Node->g+wrong_sum(Old_Node->s);//修改f值 //排序~~~~~~~~~~~~~~~~~~ del_Node(Open,Old_Node); Add_Node(Open,Old_Node); } } elseif(exit_Node(Closed,Successor->s,Old_Node)){if(Successor->g<Old_Node->g){ Old_Node->next->previous=BESTNODE; Old_Node->next->g=Successor->g; Old_Node->next->f=Old_Node->g+wrong_sum(Old_Node->s); //排序~~~~~~~~~~~~~~~~~~ del_Node(Closed,Old_Node); Add_Node(Closed,Old_Node); } } else{ Successor->f=Successor->g+wrong_sum(Successor->s); Add_Node(Open,Successor); open_N++; }}//------------------------------------------------------------------------//A*算法入口//八數(shù)碼問題的啟發(fā)函數(shù)為：f(n)=d(n)+p(n)//其中A*算法中的g(n)根據(jù)具體情況設(shè)計為d(n)，意為n節(jié)點的深度，而h(n)設(shè)計為p(n)，//意為放錯的數(shù)碼與正確的位置距離之和//------------------------------------------------------------------------voidA_algorithm(structNode*Open,structNode*Closed)//A*算法{inti,j;structNode*BESTNODE,*inital,*Successor;inital=(structNode*)malloc(sizeof(structNode));//初始化起始節(jié)點for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) inital->s[i][j]=inital_s[i][j];inital->f=wrong_sum(inital_s);inital->g=0;inital->previous=NULL;inital->next=NULL;Add_Node(Open,inital);//把初始節(jié)點放入OPEN表open_N++;while(1){ if(open_N==0){printf("failure!");return;} else{ BESTNODE=get_BESTNODE(Open);//從OPEN表獲取f值最小的BESTNODE，將其從OPEN表刪除并加入CLOSED表中 del_Node(Open,BESTNODE); open_N--; Add_Node(Closed,BESTNODE); if(equal(BESTNODE->s,final_s)){//判斷BESTNODE是否為目標節(jié)點 printf("success!\n"); print_Path(BESTNODE); return; } //針對八數(shù)碼問題，后繼結(jié)點Successor的擴展方法：空格（二維數(shù)組中的0）上下左右移動， //判斷每種移動的有效性，有效則轉(zhuǎn)向A*子算法處理后繼節(jié)點，否則進行下一種移動else{ Successor=(structNode*)malloc(sizeof(structNode));Successor->next=NULL; if(get_successor(BESTNODE,0,Successor))sub_A_algorithm(Open,BESTNODE,Closed,Succes