專題06全等模型-角平分線模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識(shí)點(diǎn)，需要掌握其各類模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，本專題就角平分線的幾類全等模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線、于點(diǎn)A時(shí)，過點(diǎn)C作.結(jié)論：、≌.圖1圖2常見模型1（直角三角形型）條件：如圖2，在中，，為的角平分線，過點(diǎn)D作.結(jié)論：、≌.（當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，還有.）圖3常見模型2（鄰等對補(bǔ)型）條件：如圖3，OC是∠COB的角平分線，AC=BC，過點(diǎn)C作CD⊥OA、CE⊥OB。結(jié)論：①；②；③.例1．（2022·北京·中考真題）如圖，在中，平分若則____．例2．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°例3．（2023·山東·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠D＝∠C＝90°，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．例4．（2022秋·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定理的回顧與應(yīng)用：(1)填空：角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到．符號(hào)語言：∵如圖1，為上的平分線，且，∴．(2)解答：已知：如圖2，，為的平分線，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的與角的兩邊相交于點(diǎn)、，且．求證：．(3)作圖：根據(jù)以上種情況，再次尋找其它情況，點(diǎn)P為的平分線上的點(diǎn)，請你用尺規(guī)作圖3，分別在角的兩邊上找點(diǎn)、，使得（要求保留作圖痕跡，不寫作法）(4)思考：如圖4，為的平分線，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的與角的兩邊相交于點(diǎn)、，當(dāng)與有怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，．（只寫數(shù)量關(guān)系，不必證明）模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線，，結(jié)論：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三線合一等。圖1圖2圖3條件：如圖2，為的角平分線，，延長BA，CE交于點(diǎn)F.結(jié)論：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三線合一等。例1．（2023·江蘇·八年級(jí)期末）如圖，中，，，平分，則的最大值為．例2．（2022·綿陽市·九年級(jí)期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E．若AB=BF，求證：BD垂直平分AF．（2）如圖2，CE⊥BD，垂足E在BD的延長線上．試判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足為E，EF與AC交于點(diǎn)M．直接寫出線段CE與線段FM的數(shù)量關(guān)系．例3．（2022·安徽黃山·九年級(jí)期中）如圖，在中，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，于．（1）如圖（1），若平分時(shí)，①求的度數(shù)；②延長交的延長線于點(diǎn)，補(bǔ)全圖形，探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖（2），過點(diǎn)作于點(diǎn)，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．模型3.角平分線構(gòu)造軸對稱模型（角平分線+截線段相等）【模型解讀與圖示】條件：如圖，為的角平分線，A為任意一點(diǎn)，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，CB=CA。條件：如圖，分別為和的角平分線，，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，≌，AB+CD=BC。例1．（2023·山東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若已知周長為，，，則長為（

）A． B． C． D．4例2．（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，的角平分線、相交于點(diǎn)O，求證：．

例3．（2023·山東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．例4．（2023·遼寧沈陽·八年級(jí)校考期末）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題:如圖一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC數(shù)量關(guān)系.小明發(fā)現(xiàn)可以用下面方法解決問題:作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E：(1)根據(jù)閱讀材料可得AD與DC的數(shù)量關(guān)系為__________.(2)如圖二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.(3)如圖三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與BD、BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·江蘇常州·一模）如圖，已知四邊形的對角互補(bǔ)，且，，．過頂點(diǎn)C作于E，則的值為（

）A． B．9 C．6 D．7．22．（2021·四川成都·二模）已知，如圖，BC=DC，∠B+∠D=180°．連接AC，在AB，AC，AD上分別取點(diǎn)E，P，F(xiàn)，連接PE，PF．若AE=4，AF=6，△APE的面積為4，則△APF的面積是（

）A．2 B．4 C．6 D．83．（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平分，，，，，則的長為（

）

A． B． C． D．4．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)P為定角的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且與互補(bǔ)，若在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：①恒成立；②的值不變；③四邊形的面積不變；其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A．3 B．2 C．1 D．05．（2022秋·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)到各邊的距離相等；④設(shè)，，則，其中正確的結(jié)論有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2022·福建·福州立志中學(xué)一模）如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點(diǎn)B，交CD于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH交BE于點(diǎn)G，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①△ACD≌△FBD；②AE=CE；③△DGF為等腰三角形；④S四邊形ADGE=S四邊形GHCE．其中正確的有_________（寫出所有正確結(jié)論序號(hào)）．7．（2023·重慶市八年級(jí)月考）如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為______cm2．8．（2023·江蘇八年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，交BD的延長線于點(diǎn)E，若BD＝4，則CE＝________．9．（2023春·廣西·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形中，平分，于點(diǎn)，．求證：．10．（2023·成都市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形中，于，，.求證：；.11．（2023·四川·八年級(jí)期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E．若AB=BF，求證：BD垂直平分AF．（2）如圖2，CE⊥BD，垂足E在BD的延長線上．試判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足為E，EF與AC交于點(diǎn)M．直接寫出線段CE與線段FM的數(shù)量關(guān)系．12．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，過點(diǎn)C作射線CB′，使∠ACB′=∠ACB（點(diǎn)B′與點(diǎn)B在直線AC的異側(cè)）點(diǎn)D是射線CB′上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AD與的位置關(guān)系是______，若，則CD的長為______；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接DE．①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段BE，CD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．13．（2022·重慶·二模）已知：如圖1，四邊形ABCD中，，連接AC、BD，交于點(diǎn)E，．(1)求證：；(2)如圖2，過點(diǎn)B作，交DC于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，若，求線段GF的長．14．（2022·陜西西安·一模）如圖，△ABD和△BCE都是等邊三角形，∠ABC＜105°，AE與DC交于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝DC；（2）求∠BFE的度數(shù)；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．15．（2022·自貢市九年級(jí)月考）根據(jù)圖片回答下列問題．(1)如圖①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．(2)如圖②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求證：DB=DC．16．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)教材96頁的部分內(nèi)容．已知：如圖13.5.4，是的平分線，P是上任意一點(diǎn)，，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．求證：．分析：圖中有兩個(gè)直角三角形和，只要證明這兩個(gè)三角形全等便可證得【問題解決】請根據(jù)教材