專題03多邊形及其內角和【知識點睛】n邊形的內角和公式：，n邊形的外角和為360°[反過來，當已知一些內、外角的度數或數量關系也能確定多邊形的邊數]正多邊形中的角度計算正n邊形的每個內角都相等，均為；正n邊形的每個外角都相等，均為；多邊形對角線公式從n邊形的一個頂點可引出（n-3）條對角線，將n邊形分成（n-2）個三角形，n邊形的對角線共有條【類題訓練】1．為了求n邊形內角和，下面是老師與同學們從n邊形的一個頂點引出的對角線把n邊形劃分為若干個三角形，然后得出n邊形的內角和公式．這種數學的推理方式是（）A．歸納推理 B．數形結合 C．公理化 D．演繹推理【分析】由題意可知求解過程需要由易到難一步一步推理得到，進而判斷出結果即可．【解答】解：探究多邊形內角和公式時，從n邊形的一個頂點出發引出（n﹣3）條對角線，將n邊形分割成（n﹣2）個三角形，這（n﹣2）個三角形的所有內角之和即為n邊形的內角和，這一探究過程運用的數學思想是歸納推理思想，故選：A．2．若n邊形的內角和是五邊形的外角和的3倍，則n的值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根據多邊形內角和公式180°（n﹣2）和多邊形外角和為360°，可列方程，再解方程即可．【解答】解：∵一個n邊形的內角和是五邊形外角和的3倍，∴180°×（n﹣2）＝360°×3，解得：n＝8，故選：C．3．一個多邊形的每個外角都是45°，則這個多邊形的邊數為（）A．八 B．九 C．十 D．七【分析】根據多邊形的外角和是360°求解即可．【解答】解：∵360÷45＝8（邊），∴多邊形的邊數為八，故選：A．4．如果多邊形的邊數增加2，關于其內角和與外角和的變化，下列說法正確的是（）A．內角和不變，外角和增加180° B．外角和不變，內角和增加180° C．內角和不變，外角和增加360° D．外角和不變，內角和增加360°【分析】根據多邊形的內角和公式及外角和定理求解即可．【解答】解：設多邊形的邊數為n，則多邊形的內角和為（n﹣1）×180°，外角和為360°，∴多邊形的邊數增加2，內角和增加2×180°＝360°，外角和不變，故選：D．5．已知一個多邊形的每一個內角都比它相鄰的外角的4倍多30°，這個多邊形是（）A．十邊形 B．十一邊形 C．十二邊形 D．十三邊形【分析】設這個多邊形為n邊形，根據多邊形的內角和公式及外角和定理即可求解．【解答】解：設這個多邊形為n邊形，它的外角分別為x1，x2，?，xn，則對應的內角分別為4x1+30°，4x2+30°，?，4xn+30°，根據題意得，x1+x2+?+xn＝360°，（4x1+30°）+（4x2+30°）+?+（4xn+30°）＝（n﹣2）×180°，∴4×（x1+x2+?+xn）+30°n＝（n﹣2）×180°，∴4×360°+30°n＝（n﹣2）×180°，∴1440°+30°n＝180°n﹣360°，∴150°n＝1800°，∴n＝12，故選：C．6．一個多邊形的每個外角都等于40°，那么從這個多邊形的一個頂點出發的對角線的條數是（）A．9條 B．8條 C．7條 D．6條【分析】首先計算出多邊形的邊數，再根據n邊形從一個頂點出發可引出（n﹣3）條對角線可得答案．【解答】解：多邊形的邊數：360°÷40°＝9，從一個頂點出發可以引對角線的條數：9﹣3＝6（條），故選：D．7．小東在計算多邊形的內角和時不小心多計算一個內角，得到的和為1350°，則這個多邊形的邊數是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根據多邊形的內角和公式（n﹣2）?180°列方程即可得解．【解答】解：設多邊形的邊數為n，多加的內角度數為α，則（n﹣2）?180°＝1350°﹣α，∵0°＜α＜180°，∴（1350﹣180）÷180＜n﹣2＜1350÷180，∴6＜n?2＜7，∵n為正整數，∴n＝9，∴這個多邊形的邊數n的值是9．故選：C．8．如果過一個多邊形的一個頂點的對角線有5條，則該多邊形是（）A．九邊形 B．八邊形 C．七邊形 D．六邊形【分析】根據從每一個頂點出發可以作的對角線的總條數為n﹣3計算即可．【解答】解：∵過一個多邊形的一個頂點的對角線有5條，∴多邊形的邊數為5+3＝8，故選：B．9．如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，若l1∥l2，則∠1﹣∠2的值是（）A．36° B．72° C．108° D．144°【分析】由l1∥l2，得∠2＝∠BMD．由∠1＝∠BMD﹣∠MBC，得∠BMD＝∠1﹣∠MBC，那么∠1﹣∠2＝∠MBC．欲求∠1﹣∠2，需求∠MBC．由正五邊形的性質，得∠MBC＝72°，從而解決此題．【解答】解：如圖，AB的延長線交l2于點M，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴正五邊形ABCDE的每個外角相等．∴∠MBC＝＝72°．∵l1∥l2，∴∠2＝∠BMD，∵∠1＝∠BMD+∠MBC，∴∠BMD＝∠1﹣∠MBC，∴∠1﹣∠2＝∠MBC＝72°．故選：B．10．如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝110°，與∠BAD，∠ABC相鄰的外角都是110°，則∠ADC的外角α的度數是（）A．90° B．85° C．80° D．70°【分析】根據多邊形外角和為360°，進行求解即可．【解答】解：∵在四邊形ABCD中，∠C＝110°，∴∠C相鄰的外角度數為：180°﹣110°＝70°，∴∠α＝360°﹣70°﹣110°﹣110°＝70°．故選：D．11．如圖，若干全等正五邊形排成環狀．圖中所示的是前3個五邊形，要完成這一圓環還需（）個五邊形．A．6 B．7 C．8 D．9【分析】先根據多邊形的內角和公式（n﹣2）?180°求出正五邊形的每一個內角的度數，再延長五邊形的兩邊相交于一點，并根據四邊形的內角和求出這個角的度數，然后根據周角等于360°求出完成這一圓環需要的正五邊形的個數，然后減去3即可得解．【解答】解：五邊形的內角和為（5﹣2）×180°＝540°，所以正五邊形的每一個內角為540°÷5＝108°，如圖，延長正五邊形的兩邊相交于點O，則∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，360°÷36°＝10，∵已經有3個五邊形，∴10﹣3＝7，即完成這一圓環還需7個五邊形．故選：B．12．如圖，是有一個公共頂點O的兩個全等正五邊形，若將它們的其中一邊都放在直線a上，則∠AOB的度數為（）A．108° B．120° C．135° D．144°【分析】根據正多邊形的性質解決此題．【解答】解：如圖．由題意得，∠1＝∠2＝72°，∠4＝∠5＝108°．∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝36°．∴∠AOB＝360°﹣∠4﹣∠5﹣∠3＝108°．故選：A．13．如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點P，則∠P＝（）A．90°﹣α B．90°+α C． D．360°﹣α【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度數，然后根據角平分線的性質以及三角形的內角和定理求解∠P的度數．【解答】解：∵四邊形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠D）＝360°﹣α，∵PB和PC分別為∠ABC、∠BCD的平分線，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝（360°﹣α）＝180°﹣α，則∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（180°﹣α）＝α．故選：C．14．將一副直角三角板與正五邊形按如圖所示的方式擺放．如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3等于（）A．5° B．10° C．15° D．20°【分析】利用360°減去兩個三角形兩個內角的度數，減去正五邊形的一個內角的度數，然后減去∠1和∠2即可求得．【解答】解：因為一個三角形的內角的度數是90°，另一個三角形的內角度數是60°，正五邊形的內角的度數是：×（5﹣2）×180°＝108°，則∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣41°﹣51°＝10°．故選：B．15．如圖，已知AB是正六邊形ABCDEF與正五邊形ABGHI的公共邊，連接FI，則∠AFI的度數為（）A．24° B．26° C．28° D．30°【分析】先求出正六邊形和正五邊形的內角，根據周角等于360°求出∠FAI的度數，根據AF＝AI，得到等腰三角形兩底角相等即可得出答案．【解答】解：∵∠FAB＝＝120°，∠IAB＝＝108°，∴∠FAI＝360°﹣120°﹣108°＝132°，∵AF＝AI，∴∠AFI＝∠AIF＝＝24°，故選：A．16．如圖，六邊形ABCDEF的內角都相等，AD∥EF，∠BCO＝68°32'，則∠AOC的度數是（）A．92°8' B．102°8' C．110°28' D．111°28'【分析】根據多邊形的內角和及平行線的性質求解即可．【解答】解：∵六邊形ABCDEF的內角相等，∴∠EFA＝∠FAB＝∠B＝＝120°，∵AD∥EF，∴∠EFA+∠FAD＝180°，∴∠FAD＝180°﹣∠EFA＝60°，∴∠OAB＝∠FAB﹣∠FAD＝60°．∵∠BCO＝68°32'，∴∠AOC＝360°﹣∠OAB﹣∠B﹣∠BCO＝360°﹣60°﹣120°﹣68°32′＝111°28′，故選：D．17．用一條寬度相等的足夠長的紙條打一個結（如圖1所示），然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形ABCDE．圖中，∠BAC＝度．【分析】利用多邊形的內角和定理和等腰三角形的性質即可解決問題．【解答】解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝36度．18．一個多邊形的每個內角都等于120°，則這個多邊形的邊數是．【分析】先求出這個多邊形的每一個外角的度數，然后根據任意多邊形外角和等于360°，再用360°除以外角的度數，即可得到邊數．【解答】解：∵多邊形的每一個內角都等于120°，∴多邊形的每一個外角都等于180°﹣120°＝60°，∴邊數n＝360°÷60°＝6．故答案為：6．19．在一個各內角都相等的多邊形中，每一個內角都比相鄰外角的3倍還大20°，則這個多邊形的內角和為．【分析】設多邊形的一個外角為α，則與其相鄰的內角等于3α+20°，根據內角與其相鄰的外角的和是180度列出方程，求出α的值，再由多邊形的外角和為360°，求出此多邊形的邊數為360°÷α，然后根據多邊形內角和公式求解．【解答】解：設多邊形的一個外角為α，則與其相鄰的內角等于3α+20°，由題意得，（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．即多邊形的每個外角為40°．又∵多邊形的外角和為360°，∴多邊形的外角個數為360°÷40°＝9．∴多邊形的邊數為9，∴這個多邊形的內角和為（9﹣2）?180°＝1260°．故答案為：1260°．20．如圖，孔明在駕校練車，他由點A出發向前行駛200米到B處，向左轉45°．繼續向前行駛同樣的路程到C處，再向左轉45°．按這樣的行駛方法，回到點A總共行駛了．【分析】根據題意可知該汽車所走的路程正好是一個外角為45°的多邊形的周長，求出多邊形的周長即可．【解答】解：根據題意得：360°÷45°＝8，則他走回點A時共走的路程是8×200＝1600（米）．故回到A點共走了1600米．故答案為：1600米．21．如圖，將透明直尺疊放在正五邊形ABCDE上，若正五邊形恰好有一個頂點E在直尺的邊上，且直尺一邊與DE垂直，與另一邊AB交于點F，則∠AFE等于度．【分析】求出正五邊形的內角后，通過推理推導即可得出答案．【解答】解：如圖標記，正五邊形的內角＝＝108°，∠1＝108°﹣90°＝18°，在△AEF中，∠AFE＝180°﹣∠1﹣∠A＝180°﹣18°﹣108°＝54°，故答案為：54．22．如圖，∠1，∠2，∠3是五邊形ABCDE的3個外角，若∠A+∠B＝230°，則∠1+∠2+∠3＝°．【分析】利用五邊形的內角和，求出∠BCD+∠CDE+∠DEA＝310°，再根據平角的定義，即可求出答案．【解答】解：∵五邊形的內角和為（5﹣2）×180°＝540°，而∠A+∠B＝230°，∴∠BCD+∠CDE+∠DEA＝540°﹣230°＝310°，又∴∠1+∠BCD+∠2+∠CDE+∠3+∠DEA＝180°×3＝540°，∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣310°＝230°，故答案為：230．23．若對圖1中星形截去一個角，如圖2，再對圖2中的角A，B，E，F如法進一步截去，如圖3，則圖中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝度．【分析】根據圖中可找出規律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一個角則會增加180度，由此即可求出答案．【解答】解：根據圖中可得出規律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一個角則會增加180度，所以當截去5個角時增加了180×5度，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180×5+180＝1080°．故答案為：1080．24．如圖，在五邊形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC＝90°，求∠EFC的度數．【分析】根據角平分線的性質，，，再根據五邊形內角和求出∠AED+∠BCD的值，可得到∠DEF+∠DCF的值，再利用四邊形內角和為360°即可求出∠EFC的度數．【解答】解：∵EF平分∠AED，CF平分∠BCD，∴，．∵AE∥BC，∴∠A+∠B＝180°．∵五邊形的內角和為（5﹣2）×180°＝540°，∠D＝90°，∴∠AED+∠BCD＝540°﹣（∠A+∠B+∠D）＝540°﹣（180°+90°）＝270°，即，∵四邊形EFBD內角和為360°，∴∠EFC＝360°﹣（∠D+∠DEF+∠DCF）＝360°﹣（90°+135°）＝135°．25．如圖，將六邊形紙片ABCDEF沿虛線剪去一個角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°．（1）求六邊形ABCDEF的內角和；（2）求∠BGD的度數．【分析】（1）根據多邊形的內角和公式：（n﹣2）?180°即可得出答案；（2）根據（1）得到∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣470°＝250°，再根據四邊形的內角和是360°即可得出答案．【解答】解：（1）六邊形ABCDEF的內角和為：（6﹣