2021年河南省新鄉市長垣縣中考數學模擬試卷

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.（3分）下列四個數中，最小的是（）

A.1B.0C.-1D.-2

2.（3分）2020年我國的嫦娥五號成功發射，首次在380000千米外的月球軌道上進行無人

交會對接和樣品轉移，將380000用科學記數法表示為（）

A.38X104B.3.8X104

3.（3分）如圖所示正三棱柱的主視圖是（

4.（3分）下列運算正確的是（）

A.a2'a3—a5B.(a-b)2="2-『

C.（a2）3=a5D.3旄-遍=3

5.（3分）如圖，BD是四邊形ABC。的對角線,若N1=N2,NADC=100°,則N4等于

()

A.70°B.75°C.80°D.85°

6.（3分）從甲、乙、丙、丁中選一人參加詩詞大會比賽，經過三輪初賽，他們的平均成續

都是90分，方差分別是S甲2=3,S乙2=2.6,S內2=2,S丁2=3.6,派誰去參賽更合適（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

7.(3分)若A(-3,yi),3(-2,v)，C(2,”)為二次函數y=(x+2)2+%的圖象上

的三點，則yi，”，”的大小關系是（）

A.y\<yz<ysB.yi<j3<j2C.*<巾<”D.y2<yi<y3

8.（3分）定義新運算“?！健保簩τ谌我鈱崝礱、b,都有蟀6=（?+&）（a-b）-1,例

4^2=（4+2）（4-2）-1=12-1=11.則方程球1『的根的情況為（）

A.無實數根B.有兩個相等的實數根

C.有兩個不相等的實數根D.只有一個實數根

9.（3分）如圖，長方形48。0中/4。8=68°,請依據尺規作圖的痕跡，求出/€（等于（）

A.34°B.44°C.56°D.68°

10.（3分）如圖，矩形ABCC的頂點A、8分別在x軸、y軸上，OA=OB=\,4）=2料,

將矩形ABC。繞點。順時針旋轉，每次旋轉45°,則第100次旋轉結束時，點C的坐標

為（）

C.(-3,2)D.(-2,3)

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.(3分)計算：n°-|-2|=

3-x>0

12.（3分）不等式組的解集是.

4x>2(x-l)

13.（3分）不透明的袋子中裝有2個紅球和1個白球，除顏色外無其他差別，隨機摸出一

個球后，放回并搖勻，再隨機摸出一個，兩次都摸到紅球的概率是.

14.（3分）如圖，等邊△ABC邊長為4,將△ABC繞AC的中點。順時針旋轉60°得到△

A'B'C,其中點8的運動路徑為BB'，則圖中陰影部分的面積為

15.（3分）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,點尸是AB上（不含端點A,B）任

意一點，把APBC沿PC折疊，當點8'的對應點落在矩形ABCD的對角線上時，BP

三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）

2

16.（8分）先化簡，再求值：（二L）+（x-2xj_）,其中x取最接近掂的整數.

x2+xx

17.（9分）2020年為“扶貧攻堅”決勝之年.某校八年級（1）班的同學積極響應校團委號

召，每位同學都向學校對口幫扶的貧困地區捐贈了圖書.全班捐書情況如圖，請你根據

圖中提供的信息解答以下問題：

八年級（1）班捐書冊數條形統計圖

個人數

八年級（1）班捐書冊數扇形統計圖

（1）請求出捐4冊書和8冊書的人數，并補全條形統計圖；

（2）在扇形統計圖中，捐6冊書的圓心角為度；

（3）本次捐贈圖書冊數的中位數為冊，眾數為冊;

（4）該校八年級共有320名學生，估計該校八年級學生本次捐贈圖書為7冊的學生人數.

18.（9分）如圖，為。。的直徑，射線AG為。。的切線，點A為切點，點C為射線

AG上任意一點，連接OC交于點E,過點8作交。。于點。，連接C￡）,

DE,OD.

（1）求證：△OAgXODC：

（2）①當NOCA的度數為時，四邊形BOEO為菱形;

②當/OC4的度數為時，四邊形OACD為正方形.

19.（9分）一艘海監船從A點沿正北方向巡航，其航線距某島嶼（設N、M為該島嶼的東

西兩端點）最近距離為15海里（即MC=15海里），在A點測得島嶼的西端點〃在點A

的東北方向，航行4海里后到達B點，測得島嶼的東端點N在點B的北偏東62°方向（其

中N、M、C在同一條直線上），求該島嶼東西兩端點之間的距離.（精確到0.1海里）

（參考數據：sin62°g0.88,cos62°^0.47,tan62°F.87）

北

I

20.（9分）某營業廳銷售3部A型號手機和2部8型號手機的營業額為10800元，銷售4

部A型號手機和1部B型號手機的營業額為10400元.

（1）求每部A型號手機和B型號手機的售價；

（2）該營業廳計劃一次性購進兩種型號手機共50部，其中8型號手機的進貨數量不超

過A型號手機數量的3倍.已知A型手機和B型手機的進貨價格分別為1500元/部和1800

元/部，設購進A型號手機〃部，這50部手機的銷售總利潤為卬元.

①求W關于。的函數關系式；

②該營業廳購進A型號和B型號手機各多少部時，才能使銷售總利潤最大，最大利潤為

多少元？

21.(10分)二次函數y=-f+bx+c與x軸分別交于點A和點3,與y軸交于點C,直線

BC的解析式為y=-x+3,AD±x軸交直線BC于點D.

(1)求二次函數的解析式；

(2)M(m,0)為線段A8上一動點，過點用且垂直于x軸的直線與拋物線及直線8c

分別交于點E、F.直線AE與直線BC交于點G,當毆=2時，求m值.

AG2

22.(10分)如圖，在平面直角坐標系，中，直線/：y=Wr與反比例函數y=K(x>0)

2x

的圖象交于點4(2,a).

(1)a—,k=；

(2)橫，縱坐標都是整數的點叫做整點.點尸(/H,/1)為射線。4上一點，過點尸作x

軸，y軸的垂線，分別交函數)，=區(x>0)的圖象于點B,C.山線段PB,PC和函數y

X

=K(x>0)的圖象在點B,C之間的部分所圍成的區域(不含邊界)記為W.

x

①若PA=OA,則區域W內有個整點；

②若區域卬內恰有5個整點，結合函數圖象，直接寫出膽的取值范圍.

23.(11分)(1)問題發現:

如圖1,△ACB和△￡>€1￡均為等邊三角形，點A,D,E在同一直線上，連接BE.

①線段AD,BE之間的數量關系為；

②NAEB的度數為.

(2)拓展探究：

如圖2,ZXACB和△AED均為等腰直角三角形，/AC8=NAE￡>=90°,點8,D,E在

同一直線上，連接CE,求切?的值及/BEC的度數；

CE

(3)解決問題：

如圖3,在正方形A8CC中，CO=JT5，若點P滿足PO=J5，且NBPO=90°,請直

接寫出點C到直線BP的距離.

2021年河南省新鄉市長垣縣中考數學模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.（3分）下列四個數中，最小的是（）

A.1B.0C.-ID.-2

【解答】解：I*-2V-1<0<1,

所給的四個數中，最小的是-2.

故選：D.

2.（3分）2020年我國的嫦娥五號成功發射，首次在380000千米外的月球軌道上進行無人

交會對接和樣品轉移，將380000用科學記數法表示為（）

A.38X104B.3.8X104C.3.8X105D.0.38XI06

【解答】解：380000=3.8X1（）5

故選：C.

3.（3分）如圖所示正三棱柱的主視圖是（）

【解答】解：如圖所示正三棱柱的主視圖是平行排列的兩個矩形,

故選：B.

4.（3分）下列運算正確的是（）

A.B.（a-/?）2—c^-tr

C.（a2）3=/D.3泥-捉=3

【解答】解：A、a2.q3=a5,故此選項正確；

B、Ca-b）2=a2-2ab+l7,故此選項錯誤;

c、（/）3=a,故此選項錯誤；

D、3旄-泥=2泥，故此選項錯誤；

故選：A.

5.（3分）如圖，80是四邊形A8CD的對角線.若/1=/2,/A￡>C=100°,則乙4等于

（）

A.70°B.75°C.80°D.85°

【解答】解：=

.,.AB//CD,

：.ZA+ZADC=ISO°,

VZ/1DC=100°,

，乙4=180°-100°=80°,

故選：C.

6.（3分）從甲、乙、丙、丁中選一人參加詩詞大會比賽，經過三輪初賽，他們的平均成續

都是90分，方差分別是S甲2=3,$乙2=2.6,S丙2=2,S丁2=3.6,派誰去參賽更合適（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【解答】解：￥2=3,S乙2=2.6,S內2=2,S”=3.6,

，S丙2Vsz用2Vs產,

派丙去參賽更合適，

故選：C.

7.（3分）若A（-3,yi）,B（-2,”），C（2,y3）為二次函數y=（x+2）2+%的圖象上

的三點，則yi，”，g的大小關系是（）

A.yi<y2<yyB.yi<j3<>,2C.J3<yi<?!2D.y2<yi<y3

【解答】解：???二次函數y=（x+2）2+k,

拋物線開口向上，對稱軸為x=-2,

；.A（-3,yi）關于對稱軸的對稱點為（-1,yi）,

；-2<-1<2,

<y3.

故選：D.

8.(3分)定義新運算“a※6'：對于任意實數a、b,都有蟀5=(a+6)(a-b)-1,例

4X2=(4+2)(4-2)-1=12-1=11.則方程工※1=x的根的情況為()

A.無實數根B.有兩個相等的實數根

C.有兩個不相等的實數根D.只有一個實數根

【解答】解：由新定義得(x+1)(X-1)-1=X,

整理得/-X-2=0,

；△=(-1)2-4XlX(-2)=9>0,

.?.方程有兩個不相等的實數根.

故選：C.

9.(3分)如圖，長方形48co中NACB=68°,請依據尺規作圖的痕跡，求出Na等于()

A.34°B.44°C.56°D.68°

【解答】解：如圖，由作圖可知，EF垂直平分線段AC,4E平分ND4C,

/.ZAOE=90°,ZEAC=AZACB=34°,

2

：.a=ZAEO=90°-34°=56°,

10.（3分）如圖，矩形4BCO的頂點A、8分別在x軸、y軸上，OA=OB=1,AD=2?,

將矩形ABC。繞點。順時針旋轉，每次旋轉45°,則第100次旋轉結束時，點C的坐標

為（）

A.(3,2)B.(2,-3)C.(-3,2)D.(-2,3)

【解答】解：如圖，過點C作CELy軸于點E,連接OC,

...NABO=N8AO=45°,

VZABC=90°,

：.ZCBE=45°,

,:BC=AD=2&,

:.CE=BE=2,

：.OE=OB+BE^3,

/.C（-2,3）,

?.?矩形ABC。繞點。順時針旋轉，每次旋轉45°,

則第2次旋轉結束時，點C的坐標為（3,2）；

則第4次旋轉結束時，點C的坐標為（2,-3）；

則第6次旋轉結束時，點C的坐標為（-3,-2）；

則第8次旋轉結束時，點C的坐標為（-2,3）；

發現規律：旋轉8次一個循環,

A1004-8=12-4,

則第100次旋轉結束時，點C的坐標為（2,-3）.

故選：B.

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.（3分）計算：11°-|-21=-1.

【解答】解：原式=1-2

=-1.

故答案為：-1.

12.（3分）不等式組、的解集是-l<x<3.

[4x>2（x-l）

【解答】解：解不等式3-x20,得：xW3,

解不等式4x>2（x-1）,得：x>-1,

則不等式組的解集為-1<XW3,

故答案為：-1V4W3.

13.（3分）不透明的袋子中裝有2個紅球和I個白球，除顏色外無其他差別，隨機摸出一

個球后，放回并搖勻，再隨機摸出一個，兩次都摸到紅球的概率是A.

一9一

【解答】解：畫樹狀圖如下：

開始

紅紅白

/KZNz4\

紅紅白紅紅白紅紅白

由樹狀圖可知，共有9種等可能結果，其中兩次都摸到紅球的有4種結果，

所以兩次都摸到紅球的概率為匹，

9

故答案為：1.

9

14.（3分）如圖，等邊△ABC邊長為4,將aABC繞AC的中點。順時針旋轉60°得到△

A'B'C,其中點8的運動路徑為BB'，則圖中陰影部分的面積為_2兀-2次_.

B'

BC'C

【解答】解：?:△ABC為等邊三角形，。為AC的中點，

：.AC=CD=^AC=2,ZA=60°,

2

又：△ABC是△ABC繞AC的中點。順時針旋轉60°得到，

.'.A'D=C'D=AD=CD=2,NA'=60°,

.,.△A4,。為等邊三角形，

同理△CC'D,ZXAB'E,ABCE也為等邊三角形，邊長都為2,

連接B。，B'D,ED,

"：△48'C'是△4BC繞AC的中點D順時針旋轉60°得到，

:.NBDB'=60°,

：?S陰=5扇形BDB-SAB'DE-S&BDE，

:△ABC與△4'BfC1為等邊三角形，D為AC,A'C中點，

C.BDLAC,B'D.LAfC,

?**BD=B'D=yjq2_22=2^3，

a_60兀（2?）2

SfflBDB---------------—271,

360

SM，OE與S^BDE是底為。E,高的和為BB'=AC'=B'O=2?,

在△AED中，ZE4D=60°,EA=AD=2,

...△AQE為等邊三角形，DE=2,

?e?SABDE+SABDE=—'X2X273=2^3，

2

:.S陰=2n-2V3.

故答案為：2TI-2。^.

B'

15.（3分）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,點尸是48上（不含端點4,B）任

意一點，把△PBC沿PC折疊，當點夕的對應點落在矩形ABC。的對角線上時，BP=

【解答】解①點A落在矩形對角線8。上，如圖1所示.

?.,矩形ABCO中，AB=4,BC=3

：.ZABC=90Q,AC=BD,

.,.AC=B￡>=J42+32=5.

根據折疊的性質得：PC1.BB,,

:*NPBD=NBCP,

：./\BCP^/\ABD,

?BPBC

ADAB

即BP_4-BP=8-BP.

解得：BP=2.

4

②點A落在矩形對角線AC上，如圖2所示.

\D

圖？

根據折疊的性質得：BP=B'P,NB=NPB'C=90°,

AZAB1A=90°,

：./\APB'S^ACB,

?BzPAP

BC=AC'

即叫WL,

35

解得：BP=3.

2

故答案為：旦或9.

24

三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）

2

16.（8分）先化簡，再求值：（工+（x-紅1），其中x取最接近旄的整數.

x2+xx

【解答】解：原式=（x+?（xj）+x2-2x+l

x（x+l）X

_X-1X

X（x-1）2

=1.

X-1

??"取最接近泥的整數，

??.x=2,

把x=2代入=_1—=]

2-1

17.（9分）2020年為“扶貧攻堅”決勝之年.某校八年級（1）班的同學積極響應校團委號

召，每位同學都向學校對口幫扶的貧困地區捐贈了圖書.全班捐書情況如圖，請你根據

圖中提供的信息解答以下問題：

八年級（1）班捐書冊數條形統計圖

個人數

八年級（1）班捐書冊數扇形統計圖

數

（1）請求出捐4冊書和8冊書的人數，并補全條形統計圖；

（2）在扇形統計圖中，捐6冊書的圓心角為72度;

（3）本次捐贈圖書冊數的中位數為7冊,眾數為8冊:

（4）該校八年級共有320名學生，估計該校八年級學生本次捐贈圖書為7冊的學生人數.

【解答】解：（1）該班學生總人數為12?30%=40（人），

捐書4冊的人數為40X10%=4（人），捐書8冊的人數為40義35%=14（人），

補全圖形如下：

八年級（1）班捐書冊數條形統計圖

,人數

數

（2）在扇形統計圖中，捐6冊書的圓心角為360°X_L=72°,

40

故答案為：72；

（3）?.?中位數是第20、21個數據的平均數，而第20、21個數據均為7冊,

這組數據的中位數為7冊，

；數據8出現的次數最多，有14個，

眾數為8冊，

故答案為：7、8；

（4）估計該校八年級學生本次捐贈圖書為7冊的學生人數320X30%=96（人）.

18.（9分）如圖，為的直徑，射線AG為。0的切線，點A為切點，點C為射線

AG上任意一點，連接0C交。。于點E,過點8作BO〃OC交。0于點。，連接C￡>,

DE,OD.

（1）求證：△OAC也△one；

（2）①當D0C4的度數為30°時,四邊形為菱形；

②當/OC4的度數為45°時,四邊形Q4C。為正方形.

【解答】(1)證明：...?！ǘ?。。，

:.NB=NODB,

'：BD//OC,

：.ZAOC=ZB,ZDOC=ZODB,

：.ZAOC^ZCOD,

'：OA=OD,OC=OC,

.?.△OAC絲△ODC(SAS)；

(2)①：四邊形BOEC是菱形，

：.OB=DB.

又：00=08,

：.OD=OB=DB.

...△OB。為等邊三角形，

.\ZOBD=60°.

'：CO//DB,

：.ZAOC=60°,

；射線AG為。。的切線，

：.OA±AC,

，NOAC=90°,

AZOCA=ZOAC-ZAOC=90°-60°=30°,

②；四邊形OACC是正方形，

AZACD=90°,

ZACO=ZDCO,

AZOCA=45",

故答案為：30°,45°.

19.（9分）一艘海監船從4點沿正北方向巡航，其航線距某島嶼（設N、M為該島嶼的東

西兩端點）最近距離為15海里（即例C=15海里），在4點測得島嶼的西端點M在點A

的東北方向，航行4海里后到達B點,測得島嶼的東端點N在點B的北偏東62°方向（其

中N、M、C在同一條直線上），求該島嶼東西兩端點之間的距離.（精確到0.1海里）

（參考數據：sin62°=0.88,cos62°^0.47,tan62°-1.87）

【解答】解：由題意可知：AB=4海里，ZCAM=45°,NCBN=62°,ZACN=90°.

在RtZXACM中，

VMC=15,NC4M=45°,

AAC=-峰一=~^—=15（海里），

tanZCAMtan451

；A3=4海里，

：.BC=AC-AB=15-4=ll（海里），

在RtZXBCND中，

■:4CBN=62°,

：.NC=BCnanZCBN=11?tan62°1X1.87=20.57(海里)，

：.MN=NC-MC=20.51-15=5.57?5.6(海里)，

答：該島嶼東西兩端點MN之間的距離為5.6海里.

20.(9分)某營業廳銷售3部A型號手機和2部B型號手機的營業額為10800元，銷售4

部A型號手機和1部B型號手機的營業額為10400元.

(1)求每部A型號手機和B型號手機的售價；

(2)該營業廳計劃一次性購進兩種型號手機共50部，其中3型號手機的進貨數量不超

過A型號手機數量的3倍.己知A型手機和B型手機的進貨價格分別為1500元/部和1800

元/部，設購進A型號手機。部，這50部手機的銷售總利潤為卬元.

①求W關于。的函數關系式；

②該營業廳購進A型號和B型號手機各多少部時，才能使銷售總利潤最大，最大利潤為

多少元？

【解答】解：(1)設每部A型號手機的售價為x元，每部B型號手機的售價為y元.

由題意，得仔+2了=10800

|4x+y=10400

解得卜=2000

]y=2400

(2)①由題意，得卬=(2000-1500)a+(2400-1800)(50-a),

即w=30000-100a,

X50-aW3a.

2

.,.w關于a的函數關系式為vv=30000-100a(a22?)；

2

②w關于a的函數關系式為w=30000-100小

■:k=-100<0,

二卬隨a的增大而減小，

又只能取正整數，

...當a=13時，總利潤w最大，最大利潤卬=30000-100X13=28700

50-a=37

答：該營業廳購進A型號手機13部，B型號手機37部時，銷售總利潤最大，最大利潤

為28700元

21.(10分)二次函數y=-7+bx+c與x軸分別交于點A和點8,與y軸交于點C,直線

8c的解析式為y=-x+3,AOLc軸交直線8c于點。.

(1)求二次函數的解析式；

(2)M(m,0)為線段A8上一動點，過點”且垂直于x軸的直線與拋物線及直線8c

分別交于點E、F.直線AE與直線BC交于點G,當旦色=工時，求加值.

AG2

【解答】解：(1)???直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于8、C兩點，

.?.點8(3,0),點C(0,3),

；B(3,0)和C(0,3)在拋物線y=-/+6x+c上，

..J-9+3b+c=0,解得，b=2,

Ic=3Ic=3

.?.二次函數的解析式為：y=-x2+2x+3.

(2)?.?二次函數y=-W+2x+3與x軸交于點A、B,

...點A(-1,0),

"CADLx軸交直線BC于點D,

.?.點0(-1,4),

：.AD=4,

軸，A￡>_Lx軸，

：.EF//AD,

:.XEFGSXADG,

?EFEG1

AD"AGV

軸交直線BC于點尸，點M(機，0),

:?E-m2+2〃?+3),F(機，-77?+3).

①若點M在原點右側，如圖1,則所=(-團2+2加+3)-(-,27+3)=-川+3加,

2

...-m+3m二工解得：m=l,/?12=2；

42

②若點M在原點左側，如圖2,則歷=(-m+3)-(-/M2+2/77+3)=川-3〃1,

???K-3m=l,解得i=371乙現=3次

(舍去)；

2

22.(10分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線/：>=當與反比例函數y=K(%>0)

2x

的圖象交于點A(2,a\

(1)a=3,k=6；

(2)橫，縱坐標都是整數的點叫做整點.點P(加，〃)為射線OA上一點，過點P作x

軸，y軸的垂線，分別交函數y=K(x>0)的圖象于點B,C.由線段PB,PC和函數y

X

=K(x>o)的圖象在點8,C之間的部分所圍成的區域(不含邊界)記為W.

x

①若以=04則區域W內有5個整點;

②若區域卬內恰有5個整點，結合函數圖象，直接寫出〃?的取值范圍.

【解答】解：(1)???直線/：y=當與反比例函數)，=KG>0)的圖象交于點A(2,a).

2x

**?a=—X2=3,

2

?,?點A(2,3),

反比例函數y=K過點A,

x

:.k=3X2=6；

故答案為：3.6；

(2)①：點P為射線0A上一點，且出=。4,

；.A為0P中點，

VA(2,3),

二點P的坐標為(4,6),

將x=4代入>=旦中，得丫=旦，

x2

將y=6代入y=2中，得x=l,

x

■:PB,PC分另IJ垂直于x軸和y軸，

：.B(4,旦)，C(1,6),

2

如圖,

y

結合函數圖象可知，區域W內有5個整點,

故答案為：5；

②當點P在點A下方時，如圖，

結合函數圖象可知，當2w機＜1時，區域W內有5個整點;

3

當點P在點A上方時，如圖,

y

結合函數圖象可知，當此時，區域W內有5個整點;

3

綜上所述：當兇■V〃?W4或2w〃?Vl,區域W內有5個整點.