函數與基本初等函數一、選擇題1．下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是()A．y＝－x3，x∈R B．y＝sinx，x∈RC．y＝x，x∈R D．y＝(eq\f(1,2))x，x∈R2．若函數y＝f(x)是函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數，且f(2)＝1，則f(x)＝()A．log2x B.eq\f(1,2x)C．logeq\f(1,2)x D．2x－23．已知函數f(x)＝ax3＋bx2＋c是奇函數，則()A．b＝c＝0 B．a＝0C．b＝0，a≠0 D．c＝04．函數f(x＋1)為偶函數，且x＜1時，f(x)＝x2＋1,則x＞1時，f(x)的解析式為()A．f(x)＝x2－4x＋4 B．f(x)＝x2－4x＋5C．f(x)＝x2－4x－5 D．f(x)＝x2＋4x＋55．函數f(x)＝eq\f(3x2,\r(1－x))＋lg(3x＋1)的定義域是()A．(－eq\f(1,3)，＋∞) B．(－eq\f(1,3)，1)C．(－eq\f(1,3)，eq\f(1,3)) D．(－∞，－eq\f(1,3))6．若定義在R上的函數f(x)滿足：對任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，則下列說法一定正確的是()A．f(x)為奇函數 B．f(x)為偶函數C．f(x)＋1為奇函數 D．f(x)＋1為偶函數7．設奇函數f(x)在(0，＋∞)內為增函數，且f(1)＝0，則不等式eq\f(f(x)－f(－x),x)＜0的解集為()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)8．設a，b，c均為正數，且2a＝logeq\f(1,2)a，(eq\f(1,2))b＝logeq\f(1,2)b，(eq\f(1,2))c＝log2c，則()A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜a＜c二、填空題9．函數y＝eq\r(log\f(1,2)x＋2)的定義域是____________．10．已知函數f(x)＝ax＋b的圖象經過點(－2，eq\f(13,4))，其反函數y＝f－1(x)的圖象經過點(5,1)，則f(x)的解析式是________．11．函數f(x)＝lneq\f(1＋ax,1＋2x)(a≠2)為奇函數，則實數a等于________．12．方程x2－2ax＋4＝0的兩根均大于1，則實數a的范圍是________．13．若函數f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常數a，b∈R)是偶函數，且它的值域為(－∞，4]，則該函數的解析式f(x)＝________.14．函數f(x)＝log0.5(3x2－ax＋5)在(－1，＋∞)上是減函數，則實數a的取值范圍是________．三、解答題15．設f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，并且f(x)－g(x)＝x2－x，求f(x)，g(x)．16．設不等式2(logeq\f(1,2)x)2＋9(logeq\f(1,2)x)＋9≤0的解集為M，求當x∈M時，函數f(x)＝(log2eq\f(x,2))(log2eq\f(x,8))的最大、最小值．17．已知函數f(x)的圖象與函數h(x)＝x＋eq\f(1,x)＋2的圖象關于點A(0,1)對稱．18．設函數f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)是奇函數(a，b，c都是整數)，且f(1)＝2，f(2)＜3.(1)求a，b，c的值；(2)當x＜0，f(x)的單調性如何？用單調性定義證明你的結論．參考答案1B在其定義域內是奇函數但不是減函數；C在其定義域內既是奇函數又是增函數；D在其定義域內不是奇函數，只是減函數；故選A.2函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以，a＝2，故f(x)＝log2x，選A.3∵f(x)是奇函數，∴f(0)＝0，∴c＝0.∴－ax3－bx2＝－ax3＋bx2，∴b＝0，故選A.4因為f(x＋1)為偶函數，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，即f(x)＝f(2－x)；當x＞1時，2－x＜1，此時，f(2－x)＝(2－x)2＋1，即f(x)＝x2－4x＋5.5eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＞0,3x＋1＞0))，解得－eq\f(1,3)＜x＜1.故選B.6令x＝0，得f(0)＝2f(0)＋1，f(0)＝－1，所以f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＋1＝－1，而f(x)＋f(－x)＋1＋1＝0，即f(x)＋1＝－，所以f(x)＋1為奇函數，故選C.7因為f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，于是不等式變為eq\f(2f(x),x)＜0，根據函數的單調性和奇偶性，畫出函數的示意圖(圖略)，可知不等式eq\f(2f(x),x)＜0的解集為(－1,0)∪(0,1)．8如下圖：∴a＜b＜c.A9(0,4]10f(x)＝2x＋311依題意有f(－x)＋f(x)＝lneq\f(1－ax,1－2x)＋lneq\f(1＋ax,1＋2x)＝0，即eq\f(1－ax,1－2x)·eq\f(1＋ax,1＋2x)＝1，故1－a2x2＝1－4x2，解得a2＝4，但a≠2，故a＝－2.12解法一：利用韋達定理，設方程x2－2ax＋4＝0的兩根為x1、x2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x1－1)(x2－1)＞0，,(x1－1)＋(x2－1)＞0，))解之得2≤a＜eq\f(5,2).13f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函數，則其圖象關于y軸對稱．∴2a＋ab＝0?b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，且值域為(－∞，4]，∴2a2＝4，∴f(x)＝－2x2＋4.－2x2＋414設g(x)＝3x2－ax＋5，已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,6)≤－1，,g(－1)≥0，))解得－8≤a≤－6.15f(x)為奇函數，∴f(－x)＝－f(x)；g(x)為偶數，∴g(－x)＝g(x)．f(x)－g(x)＝x2－x∴f(－x)－g(－x)＝x2＋x從而－f(x)－g(x)＝x2＋x，即f(x)＋g(x)＝－x2－x，16∵2(logeq\f(1,2)x)2＋9(logeq\f(1,2)x)＋9≤0，∴(2logeq\f(1,2)x＋3)(logeq\f(1,2)x＋3)≤0.∴－3≤logeq\f(1,2)x≤－eq\f(3,2).即logeq\f(1,2)(eq\f(1,2))－3≤logeq\f(1,2)x≤logeq\f(1,2)(eq\f(1,2))－eq\f(3,2)∴(eq\f(1,2))－eq\f(3,2)≤x≤(eq\f(1,2))－3，即2eq\r(2)≤x≤8.從而M＝．又f(x)＝(log2x－1)(log2x－3)＝logeq\o\al(2,2)x－4log2x＋3＝(log2x－2)2－1.∵2eq\r(2)≤x≤8，∴eq\f(3,2)≤log2x≤3.∴當log2x＝2，即x＝4時ymin＝－1；當log2x＝3，即x＝8時，ymax＝0.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(x)－g(x)＝x2－x,f(x)＋g(x)＝－x2－x))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(x)＝－x,g(x)＝－x2))17(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)·x＋ax，且g(x)在區間(0,2]上為減函數，求實數a的取值范圍．(1)設f(x)圖象上任意一點的坐標為(x，y)，點(x，y)關于點A(0,1)的對稱點(－x,2－y)在h(x)的圖象上．∴2－y＝－x＋eq\f(1,－x)＋2，∴y＝x＋eq\f(1,x)，即f(x)＝x＋eq\f(1,x).(2)g(x)＝(x＋eq\f(1,x))·x＋ax，即g(x)＝x2＋ax＋1.g(x)在(0,2]上遞減?－eq\f(a,2)≥2，∴a≤－4.18(1)由f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)是奇函數，得f(－x)＝－f(x)對定義域內x恒成立，則eq\f(a(－x)2＋1,b(－x)＋c)＝－eq\f(ax2＋1,bx＋c)?－bx＋c＝－(bx＋c)對定義域內x恒成立，即c＝0.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(1)＝2,f(2)＜3))?eq\b\lc\{\rc\(\a