模態(tài)邏輯Modal

Logic01概述模態(tài)語言03可能世界語義學04公理系統(tǒng)05其它常見的幾種模態(tài)邏輯0201概述

概述A.明天必然會下雨B.明天可能會下雨C.明天會下雨C蘊涵B

命題邏輯

模態(tài)邏輯例子A蘊涵C

模態(tài)詞模態(tài)邏輯研究這些模態(tài)命題之間的推理關系。應該遵守承諾、不允許盜竊、將來人類能登上月球、張三知道魯迅是周樹人、李四相信人類愛好和平涉及道義的模態(tài)詞：應該和允許涉及時間的模態(tài)詞：將來和過去涉及認知的模態(tài)詞：知道和相信

模態(tài)詞

例子模態(tài)詞都可以用于修飾整個命題。由模態(tài)詞修飾命題而構(gòu)成的復合命題稱為模態(tài)命題。

訴諸直覺的方式

一些有效的模態(tài)推理模式

數(shù)學公理化的方法現(xiàn)代邏輯學家通過構(gòu)建公理系統(tǒng)刻畫有效的模態(tài)公式。在公理系統(tǒng)中，通過采用公理和推理規(guī)則可以證明的模態(tài)公式則為有效的模態(tài)公式。

路易斯采用的公理化方法兼具了系統(tǒng)性和嚴格性，但他對于公理的選取卻仍然是依靠直覺去挑選有效的模態(tài)公式，而直覺并非是完全正確可靠的。

問題

這樣的的公理系統(tǒng)無法回答一個最根本的問題：為什么這些公式是有效的，而不是其它的那些公式？

語義學領域

可能世界語義學采用語義模型解釋模態(tài)公式的意義，并構(gòu)造賦予模態(tài)公式真假的真理理論。

萊布尼茲引入了可能世界概念，并把必然理解為在所有可能世界上為真，而可能理解為在某個可能世界上為真。克里普克對該想法進行了進一步的完善，在可能世界之間引入了可通達關系，從而構(gòu)成了現(xiàn)代模態(tài)邏輯的語義學基礎。02模態(tài)語言

模態(tài)語言

ML

定義模態(tài)語言ML

包含以下四類初始符號：（a）是非邏輯符號，其意義多由具體應用場景決定；（b）（c）是邏輯符號，其意義是由邏輯決定的；（d）左右括號屬于輔助符號，便于閱讀與書寫。

分類

模態(tài)公式

ML

中公式是根據(jù)下列規(guī)則形成的

ML

中符號串：所有的命題變元都是公式；

例子

定義

模態(tài)公式

記法最外層括號可以省略；

例子

模態(tài)算子記法03可能世界語義學

模態(tài)算子的語義模態(tài)算子不是真值聯(lián)結(jié)詞：它們構(gòu)成的復合公式的值不僅僅依賴于其子公式的值。

例子“我這時在寫書”這句話為真，但“我這時必然在寫書”卻不為真“1+1=2”和“必然1+1=2”都為真。例子中，子句都為真，但通過必然算子構(gòu)造的復合句卻是一真一假。

可能世界語義學的基本想法

他引入可能世界，把必然理解為在所有可能世界上為真，而可能理解為在某個可能世界上為真。克里普克萊布尼茲基本想法

模態(tài)算子、可通達關系R

的不同解釋方法時態(tài)算子（將來、過去）、知識算子（知道）、信念算子（相信）、道義算子（應該、允許）等。可通達關系

為全關系。

萊布尼茲時態(tài)算子

中元素理解為時刻，

理解為時刻間的先后關系。

如果時間是線性的，那么就要求

是一個線序，如果認為時間可以分支，那么就要求

是一個樹狀的序。

知識算子

中元素理解為認知狀態(tài)，

理解為認知的不可區(qū)分關系。模態(tài)邏輯不是一個邏輯而是一類邏輯。克里普克框架語義

語義例2

語義例3

語義一個公式的值只和它中出現(xiàn)的變元的賦值相關。命題5記法語義點模型框架

模態(tài)邏輯K命題6推論7定義04公理系統(tǒng)

公理系統(tǒng)這節(jié)給出模態(tài)邏輯K的一個公理系統(tǒng)，它包含若干條公理和三條推理規(guī)則。定義記法

代入例子

模態(tài)公理系統(tǒng)K公理模態(tài)公理系統(tǒng)

K

包含下列公理和推理規(guī)則：推理規(guī)則定義

證明證明嚴格規(guī)定了如何使用公理和推理規(guī)則得出公理系統(tǒng)中的定理。

定義

定理與證明例8證明

其他推理規(guī)則盡管公理系統(tǒng)K

中只包含三個初始的推理規(guī)則，但是我們下面證明存在其它一些推理規(guī)則在

K

中也是成立的。其他推理規(guī)則

簡化證明例14證明公理系統(tǒng)的性質(zhì)

公理系統(tǒng)的性質(zhì)刻畫一個邏輯通常有兩種方式：通過模型語義地定義出這個邏輯中有效的公式；通過公理系統(tǒng)語法地證明出這個邏輯中的定理。對于同一個邏輯，這兩種定義應該是重合的，即語法定義的定理集應該等于語義定義的有效公式集。采用通常的術語陳述這句話就是說，一個公理系統(tǒng)應該滿足可靠性和完全性。

因為一對矛盾的公式不可能同時在一個框架上有效，所以公理系統(tǒng)K

的可靠性蘊涵它是一致的。

05其他常見的幾種模態(tài)邏輯常見的幾種模態(tài)邏輯

可靠性和完全性定義對于公理系統(tǒng)，我們需要引入更一般的可靠性和完全性概念。

運用新的可靠性完全性概念，上節(jié)中公理系統(tǒng)K

的可靠性和完全性可以重新陳述如下：相對于所有框架構(gòu)成的類，公理系統(tǒng)K

是可靠且完全的。

定理19

模態(tài)邏輯D語義語法

定理20

模態(tài)邏輯T語義語法

定理21相對于自返框架類，公理系統(tǒng)T

是可靠且完全的。

模態(tài)邏輯K4語義語法

定理22相對