數學實驗實驗報告學院：數學與統計學院班級：數學與應用數學3班學號：202370010314姓名：康萍實驗二怎樣計算實驗目的分別用以下三種方法計算的近似值，并比擬三種方法的精確度：數值積分法：通過使用Mathematica7.0編寫梯形公式和辛普森公式的程序語言計算。泰勒級數法：利用反正切函數泰勒級數計算。蒙特卡羅〔MonteCarlo〕法：通過使用Mathematica7.0編寫蒙特卡羅公式的程序語言來計算。實驗環境基于Windows環境下的Mathematica7.0軟件。實驗的根本理論和方法數值積分法以單位圓的圓心為原點建立直角坐標系，那么單位圓在第一象限內的局部G是一個扇形，由曲線及兩條坐標軸圍成，它的面積。算出了S的近似值，它的4倍就是的近似值。而扇形面積S實際上就是定積分。與有關的定積分有很多，比方的定積分就比的定積分更容易計算，更適合于用來計算。一般地，要計算定積分，也就是計算曲線與直線所圍成的曲邊梯形G的面積S。為此，用一組平行于y軸的直線將曲邊梯形T分成n個小曲邊梯形，總面積S分成這些小曲邊梯形的面積之和。如果取n很大，使每個小曲邊梯形的寬度都很小，可以將它上方的邊界近似的看作直線段，將每個小曲邊梯形近似的看作梯形來求面積，就得到梯形公式。如果更準確些，將每個小曲邊梯形的上邊界近似的看作拋物線段，就得到辛普森公式。具體公式如下：梯形公式設分點將積分區間分成n等份，即。所有的曲邊梯形的寬度都是。記那么第i個曲邊梯形的面積近似的等于梯形面積。將所有這些梯形面積加起來就得到這就是梯形公式。辛普森公式仍用分點將區間分成n等份，直線將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形。再做每個小區間的中點。將第i個小曲邊梯形的上邊界近似的看作經過三點的拋物線段，那么可求得其中，于是得到這就是辛普森公式。泰勒級數法利用反正切函數的泰勒級數當x的絕對值小于1，最好是遠小于1，這樣，隨著指數的增加，x的冪快速接近于0，泰勒級數就會很快收斂，比方，取得到的就收斂的快，在中取得到的的近似值的誤差就小于，準確度度已經非常高了。我們并不知道是的多少倍，但是卻能計算出與相差多少。記，那么因此，即，從而得到〔1〕比收斂得更快。利用泰勒級數計算出與的近似值再相加，然后再乘以4，就得到的近似值。還可以考慮用來計算，它收斂的更快。由易算出從而得到即〔2〕稱為Maqin公式，利用的泰勒展開式求出的近似值，再代入Maqin公式就可以求出的近似值。由于是通過計算等算出來的，只要計算這些的近似值到足夠的精確度，就能保證所得到的的近似值到足夠的精確度，我們是通過計算來得到的近似值的。當時，這個近似值的誤差為蒙特卡羅〔MonteCarlo〕法在數值積分中，我們利用求單位圓面積的來得到，從而得到，單位圓的是一個扇形G，它是邊長為1的單位正方形的一局部，單位正方形的面積。只要能夠求出扇形G的面積在正方形的面積中所占的比例，就能立即得到S，從而得到的值。為了求出扇形面積在正方形面積中所占的比例k，一個方法是在正方形中隨機的投入很多點，使所投的每個點落在正方形每一個位置的時機均等，看其中有多少個點落在扇形內。將落在扇形內的點的個數m與所投點的總數n的比可以看作k的近似值。而任何一種計算機語言都有這樣的語言可以實現這樣的隨機點，能夠產生在區間內均勻分布的隨機數。在Mathematica中，產生區間內均勻分布的隨機數的語句是Random[]產生兩個這樣的隨機數x,y,那么以〔x,y〕為坐標的點就是單位正方形內的一點P，它落在正方形內每個點的時機均等。P落在扇形內的充分必要條件是。這樣利用隨機數來解決問題的數學方法稱為蒙特卡羅法。實驗內容與步驟及得到的結果分析實驗1數值積分計算實驗內容分別取n=5000,n=6000,n=1000,用梯形公式和辛普森公式計算的近似值，取20位有效數字，將所得的結果與進行比擬。實驗步驟在Mathematica中輸入語句如下：3、實驗結果結果分析三次實驗結果所得的第一個數字是利用梯形公式計算出的，結果保存了20位有效數字，實驗結果所得的第二個數字是利用辛普森公式計算出的，結果保存了30位有效數字，第三個結果是的前30位有效數字組成的近似值。而且隨著n取值的增大，的精確度也隨之不斷增高。實驗2泰勒級數法計算實驗內容利用反正切函數的泰勒級數：計算，分別將代入上面的級數，并分別對n取值為n=5000,n=20000,n=40000計算的值，觀察所得的結果和所花的時間。實驗步驟在Mathematica中輸入語句如下實驗結果結果分析在第一個實驗結果中，0.469指的是所用的時間是0.469s，后面的數值指的是取20位近似值所得出的的近似值。后面的三個數值，第一個數值是將和代入所得的結果，結果保存了150位有效數字；第二個數值是將代入所得的結果，結果保存了150位有效數字；第三個數值是的前150位有效數字組成的近似值。第二個實驗比第一個實驗所用時間少，為0.047s，第三個實驗比前兩個實驗所用時間多，為1.672s。可見，隨著n取值的增多，所用時間會隨著增多，同時的精確度也會隨之增高。而且，通過比照數值積分法與泰勒級數法的計算結果，我們發現，當n的取值相同時，相對于泰勒級數法而言，數值積分法的精確度較高。實驗3蒙特卡羅法計算實驗內容取，n=5000,n=20000利用隨機投點的方法來計算的值。實驗步驟在Mathematica中輸入語句如下：3、實驗結果結果分析每次投10000個點得出的一個近似值存放在數組P中，一共做10次得到10個近似值，最后通過print[p]語句將其全部輸出得到:3.1264,3.156,3.1376,3.1616,3.1312,3.134,3.1624,3.1616,3.144,3.1448.最后求出這10個近似值的平均值，相當于隨機投點10000次得到的近似值，即3.14596。第二個積第三個實驗結果原理與第一個相同，通過比照，我們發現，隨著n取值的增大，的精確度也越來越高。四三種計算方法的比擬通過上面的實驗，我們發現：當n=10000時精度很低，取更大的n，精確度會更高一些。但總的來說，蒙特卡羅法的精確度比數值積分和泰勒級數法低，基于此，我們依然用蒙特卡羅法是因為：假設不是求一個扇形的面積，而是求100個圓的公共局部G的面積時，要確定公共局部G的邊界將是一個很困難的問題，此時很難用定積分或數值積分計算，但用蒙特卡羅法就沒有多大困難，仍然可以用一個正方形或長發形Q將圖形G包含在內，仍然可以通過產生隨機數在Q內隨機投點P〔x,y〕，通過判斷P〔x,y〕是否落在內，也就是判斷是否成立，如果P落在每一個圓的內部，那么它就落在所有這些圓的公共局部G的內部，而讓計算機做100次乃至1000次，10000次這樣的判斷都是輕而易舉的事情。因此，蒙特卡羅法在很多場合下，特別是對精確度要求不太高的情況下是大有用武之地的。附錄另一種用蒙特卡羅法來計算的方法是1777年法國數學家蒲豐〔Buffon〕t提出的隨機擲針實驗。其步驟如下：取一張白紙，在上面畫很多間距為d的等距平行線；取一根長度為的均勻直針，隨機地向畫有平行線的紙上擲去，一共投擲n次〔n是一個很大的整數〕，觀察針和直線相交的次數m；由分析知道針和直線相交的概率,取m/n為p的近似值，那么特別取針的長度時，。心得體會通過本次實驗，在通過初步了解梯形公式，辛普森公式及泰勒級數的根本理論之后，通過使用Mathmatia編程，在計算出結果并從多角度對其進行分析其計算結果之后，我們深刻的感受到了不同的方法的精妙之處，如，在計算值時，數值積分法與泰勒級數法相對于蒙