2023年廣東省東莞市寮步鎮信義學校數學九年級第一學期期末達標測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，以點為位似中心，把放大為原圖形的2倍得到，則下列說法錯誤的是（）A．B．C．，，三點在同一直線上D．2．下列說法中，正確的是（）A．不可能事件發生的概率為0B．隨機事件發生的概率為C．概率很小的事件不可能發生D．投擲一枚質地均勻的硬幣100次，正面朝上的次數一定為50次3．如圖在正方形網格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網格圖形是（）A． B． C． D．4．拋物線y＝2（x﹣3）2+2的頂點坐標是（）A．(﹣3，2) B．(3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(3，﹣2)5．小華同學某體育項目7次測試成績如下（單位：分）：9，7，1，8，1，9，1．這組數據的中位數和眾數分別為（）A．8，1 B．1，9 C．8，9 D．9，16．（11·大連）某農科院對甲、乙兩種甜玉米各用10塊相同條件的試驗田進行試驗，得到兩個品種每公頃產量的兩組數據，其方差分別為s甲2＝0.002、s乙2＝0.03，則()A．甲比乙的產量穩定 B．乙比甲的產量穩定C．甲、乙的產量一樣穩定 D．無法確定哪一品種的產量更穩定7．如圖，、、是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1，則的值為（）A． B．1 C． D．8．如圖所示，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A(1，0)和點B，與y軸的正半軸交于點C．現有下列結論：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0；④3a+c＝0，其中，正確結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．49．下列說法正確的個數是（）①相等的弦所對的弧相等；②相等的弦所對的圓心角相等；③長度相等的弧是等?。虎芟嗟鹊南宜鶎Φ膱A周角相等；⑤圓周角越大所對的弧越長；⑥等弧所對的圓心角相等；A．個 B．個 C．個 D．個10．若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝6，AD＝3，則EC的長是（）A．2 B．3 C．4 D．511．如圖，正方形中，點、分別在邊，上，與交于點.若，，則的長為（）A． B． C． D．12．在大量重復試驗中，關于隨機事件發生的頻率與概率，下列說法正確的是()A．頻率就是概率B．頻率與試驗次數無關C．概率是隨機的，與頻率無關D．隨著試驗次數的增加，頻率一般會越來越接近概率二、填空題（每題4分，共24分）13．一個不透明的口袋中裝有個紅球和個黃球，這些球除了顏色外，無其他差別，從中隨機摸出一個球，恰好是紅球的概率為__________.14．方程的解為_____.15．若反比例函數的圖像上有兩點，，則____．（填“>”或“=”或“<”）16．若點，在反比例函數的圖象上，則______.（填“>”“<”或“=”）17．關于的方程的一個根是，則它的另一個根是__________．18．若二次函數的對稱軸為直線，則關于的方程的解為______．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC三個頂點都在格點上，點A、B、C的坐標分別為A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3），請解答下列問題：（1）畫出△ABC關于原點O的中心對稱圖形△A1B1C1；（2）畫出△ABC關于y軸對稱圖形△A2B2C2，則△A2B2C2與△A1B1C1的位置關系是．20．（8分）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，直徑AB＝4，直線EF經過點C，AD⊥EF于點D，∠ACD＝∠B．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若AD＝1，求BC的長；（3）在（2）的條件下，求圖中陰影部分的面積．21．（8分）綜合與實踐背景閱讀：旋轉就是將圖形上的每一點在平面內繞著旋轉中心旋轉固定角度的位置移動，其中“旋”是過程，“轉”是結果．旋轉作為圖形變換的一種，具備圖形旋轉前后對應點到旋轉中心的距離相等：對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角：旋轉前、后的圖形是全等圖形等性質．所以充分運用這些性質是在解決有關旋轉問題的關?。畬嵺`操作：如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝12，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為α．問題解決：（1）①當α＝0°時，＝；②當α＝180°時，＝．（2）試判斷：當0°≤a＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．問題再探：（3）當△EDC旋轉至A，D，E三點共線時，求得線段BD的長為．22．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，將△ABC繞點B順時針旋轉得到△DBE，使點C的對應點E恰好落在AB上，求線段AE的長．23．（10分）已知關于的方程：．（1）求證：不論取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根．（2）設方程的兩根為，，若，求的值．24．（10分）二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，根據圖象解答下列問題：（1）方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根為（2）y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍為；（3）若方程ax2＋bx＋c＝k有兩個不相等的實數根時，k的取值范圍為；（4）求出此拋物線的解析式．25．（12分）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”．（1）如圖1，在四邊形中，，，對角線平分．求證：是四邊形的“相似對角線”；（2）如圖2，已知是四邊形的“相似對角線”，．連接，若的面積為，求的長．26．如圖，點D是∠AOB的平分線OC上任意一點，過D作DE⊥OB于E，以DE為半徑作⊙D，①判斷⊙D與OA的位置關系，并證明你的結論．②通過上述證明，你還能得出哪些等量關系？

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】直接利用位似圖形的性質進而得出答案．【詳解】∵以點O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△ABC，

∴△ABC∽△A′B′C′，A，O，A′三點在同一直線上，AC∥A′C′，

無法得到CO：CA′=1：2，

故選：B．【點睛】此題考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質是解題關鍵．2、A【解析】試題分析：不可能事件發生的概率為0，故A正確；隨機事件發生的概率為在0到1之間，故B錯誤；概率很小的事件也可能發生，故C錯誤；投擲一枚質地均勻的硬幣100次，正面向上的次數為50次是隨機事件，D錯誤；故選A．考點：隨機事件．3、C【分析】可利用正方形的邊把對應的線段表示出來，利用一角相等且夾邊對應成比例兩個三角形相似，根據各個選項條件篩選即可．【詳解】解：根據勾股定理，AC=，BC=，AB=所以，,,,則+=所以，利用勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形

所以,=A.不存在直角，所以不與△ABC相似；B.兩直角邊比（較長的直角邊：較短的直角邊）=≠2，所以不與△ABC相似；C.選項中圖形是直角三角形，且兩直角邊比（較長的直角邊：較短的直角邊）=2，故C中圖形與所給圖形的三角形相似．D.不存在直角，所以不與△ABC相似.

故選：C．【點睛】此題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，及判定三角形相似的方法，本題中根據勾股定理計算三角形的三邊長是解題的關鍵．4、B【分析】根據y＝a（x﹣h）2+k，頂點坐標是（h，k）可得答案．【詳解】解：拋物線y＝2（x﹣3）2+2的頂點坐標是（3，2），故選：B【點睛】本題考查二次函數的性質；熟練掌握二次函數由解析式求頂點坐標的方法是解題的關鍵．5、D【解析】試題分析：把這組數據從小到大排列：7，8，9，9，1，1，1，最中間的數是9，則中位數是9；1出現了3次，出現的次數最多，則眾數是1；故選D．考點：眾數；中位數．6、A【解析】方差是刻畫波動大小的一個重要的數字.與平均數一樣，仍采用樣本的波動大小去估計總體的波動大小的方法，方差越小則波動越小，穩定性也越好.【詳解】因為s＝0.002<s＝0.03，所以，甲比乙的產量穩定.故選A【點睛】本題考核知識點：方差.解題關鍵點：理解方差意義.7、C【分析】連接BC，AB=，BC=，AC=，得到△ABC是直角三角形，從而求解.【詳解】解：連接BC，由勾股定理可得：AB=，BC=，AC=，∵∴△ABC是直角三角形，∴故選：C．【點睛】本題考查直角三角形，勾股定理；熟練掌握在方格中利用勾股定理求邊長，同時判斷三角形形狀是解題的關鍵．8、B【分析】由拋物線的開口方向，判斷a與0的關系；由對稱軸與y軸的位置關系，判斷ab與0的關系；由拋物線與y軸的交點，判斷c與0的關系，進而判斷abc與0的關系，據此可判斷①．由x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c，再結合圖象x＝﹣2時，y＞0，即可得4a﹣2b+c與0的關系，據此可判斷②．根據圖象得對稱軸為x＝﹣＞﹣1，即可得2a﹣b與0的關系，據此可判斷③．由x＝1時，y＝a+b+c，再結合2a﹣b與0的關系，即可得3a+c與0的關系，據此可判斷④．【詳解】解：①∵拋物線的開口向下，∴a＜0，∵對稱軸位于y軸的左側，∴a、b同號，即ab＞0，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，∴abc＞0，故①正確；②如圖，當x＝﹣2時，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，故②正確；③對稱軸為x＝﹣＞﹣1，得2a＜b，即2a﹣b＜0，故③錯誤；④∵當x＝1時，y＝0，∴0＝a+b+c，又∵2a﹣b＜0，即b＞2a，∴0＝a+b+c＞a+2a+c＝3a+c，即3a+c＜0，故④錯誤．綜上所述，①②正確，即有2個結論正確．故選：B．【點睛】本題考查二次函數圖象位置與系數的關系．熟練掌握二次函數開口方向、對稱軸、與坐標軸交點等性質，并充分運用數形結合是解題關鍵．9、A【分析】根據圓的相關知識和性質對每個選項進行判斷，即可得到答案.【詳解】解：在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等；故①錯誤；在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等；故②錯誤；在同圓或等圓中，長度相等的弧是等?。还盛坼e誤；在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等；故④錯誤；在同圓或等圓中，圓周角越大所對的弧越長；故⑤錯誤；等弧所對的圓心角相等；故⑥正確；∴說法正確的有1個；故選：A.【點睛】本題考查了弧，弦，圓心角，圓周角定理，要求學生對基本的概念定理有透徹的理解，解題的關鍵是熟練掌握所學性質定理.10、C【分析】利用相似三角形的性質得，對應邊的比相等，求出AE的長，EC=AC-AE，即可計算DE的長；【詳解】∵△ABC∽△ADE，∴，∵AB＝9，AC＝6，AD＝3，∴AE=2，即EC=AC-AE=6-2=4；故選C.【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.11、A【分析】根據正方形的性質以及勾股定理求得，證明，根據全等三角形的性質可得，繼而根據，可求得CG的長，進而根據即可求得答案.【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，，∴，故選A.【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，三角函數等知識，綜合性較強，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.注意數形結合思想的運用.12、D【詳解】因為大量重復試驗事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數附近，可以用這個常數估計這個事件發生的概率,所以D選項說法正確,故選D.二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】∵一個不透明的口袋中裝有3個紅球和9個黃球，這些球除了顏色外無其他差別，

∴從中隨機摸出一個小球，恰好是紅球的概率為：．故答案為：．【點睛】本題考查了概率公式的應用．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．14、，【分析】因式分解法即可求解.【詳解】解：x(2x-5)=0,，【點睛】本題考查了用提公因式法求解一元二次方程的解,屬于簡單題,熟悉解題方法是解題關鍵.15、<【分析】先把A(，2)，B(，-1)代入反比例函數，求出的值并比較出其大小即可．【詳解】∵點A(，2)，B(，-1)是反比例函數圖像上的點，∴，，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特點，即反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式．16、<【分析】根據反比例的性質，比較大小【詳解】∵∴在每一象限內y隨x的增大而增大點，在第二象限內y隨x的增大而增大∴m<n故本題答案為：<【點睛】本題考查了通過反比例圖像的增減性判斷大小17、6【分析】根據一元二次方程的根與系數的關系解答即可.【詳解】解：設方程的另一個根是，則，解得：.故答案為：6.【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，屬于基礎題型，熟練掌握一元二次方程的兩根之和與兩根之積與其系數的關系是解此類題的關鍵.18、，【分析】根據對稱軸方程求得b，再代入解一元二次方程即可．【詳解】解：∵二次函數y=x2+bx-5的對稱軸為直線x=1，∴=1,即b=-2∴解得：，故答案為，．【點睛】本題主要考查的是拋物線與x軸的交點、一元二次方程等知識，根據拋物線的對稱軸確定b的值是解答本題的關鍵．三、解答題（共78分）19、（1）作圖見解析；（2）關于x軸對稱．【分析】（1）依據中心對稱的性質，即可得到關于原點的中心對稱圖形△；（2）依據軸對稱的性質，即可得到△，進而根據圖形位置得出△與△的位置關系．【詳解】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求，△A2B2C2與△A1B1C1的位置關系是關于x軸對稱．故答案為：關于x軸對稱．【點睛】本題主要考查了利用旋轉變換以及軸對稱變換作圖，掌握軸對稱性的性質以及中心對稱的性質是解決問題的關鍵．20、（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）連接OC，由OB＝OC，利用等邊對等角得到∠BCO＝∠B，由∠ACD＝∠B，得到∠ACD+∠OCA＝90°，即可得到EF為圓O的切線；（2）證明Rt△ABC∽Rt△ACD，可求出AC＝2，由勾股定理求出BC的長即可；（3）求出∠B＝30°，可得∠AOC＝60°，在Rt△ACD中，求出CD，然后用梯形ADCO和扇形OAC的面積相減即可得出答案．【詳解】（1）證明：連接OC，∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠OCA＝90°，∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠B，∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠OCA＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：在Rt△ABC和Rt△ACD中，∵∠ACD＝∠B，∠ACB＝∠ADC，∴Rt△ABC∽Rt△ACD，∴，∴AC2＝AD?AB＝1×4＝4，∴AC＝2，∴；（3）解：∵在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，∴∠B＝30°，∴∠AOC＝60°，在Rt△ADC中，∠ACD＝∠B＝30°，AD＝1，∴CD＝＝＝，∴S陰影＝S梯形ADCO﹣S扇形OAC＝．【點睛】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，勾股定理以及扇形面積的計算，熟練掌握圓的基本性質是解本題的關鍵．21、（1）①，②；（2）無變化，證明見解析；（2）6或．【分析】問題解決：（1）①根據三角形中位線定理可得：BD=CDBC=6，AE=CEAC=2，即可求出的值；②先求出BD，AE的長，即可求出的值；（2）證明△ECA∽△DCB，可得；問題再探：（2）分兩種情況討論，由矩形的判定和性質以及相似三角形的性質可求BD的長．【詳解】問題解決：（1）①當α=0°時．∵BC=2AB=3，∴AB=6，∴AC6，∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，∴BD=CDBC=6，AE=CEAC=2，DEAB，∴．故答案為：；②如圖1．，當α=180°時．∵將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，∴CD=6，CE=2，∴AE=AC+CE=9，BD=BC+CD=18，∴．故答案為：．（2）如圖2，，當0°≤α＜260°時，的大小沒有變化．證明如下：∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．問題再探：（2）分兩種情況討論：①如圖2．．∵AC=6，CD=6，CD⊥AD，∴AD3．∵AD=BC，AB=DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴BD=AC=6②如圖4，連接BD，過點D作AC的垂線交AC于點Q，過點B作AC的垂線交AC于點P．∵AC=6，CD=6，CD⊥AD，∴AD3．在Rt△CDE中，DE==2，∴AE=AD﹣DE=3﹣2=9，由（2）可得：，∴BD．綜上所述：BD=6或．故答案為：6或．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了勾股定理，矩形的判定和性質，相似三角形判定和性質，正確作出輔助線，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵．22、1【分析】由勾股定理求出AB=1，由旋轉的性質得出BE=BC=6，即可得出答案．【詳解】∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，∴AB＝＝10，由旋轉的性質得：BE＝BC＝6，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝1．【點睛】本題考查了旋轉的性質以及勾股定理；熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．23、（1）詳見解析；（2）．【分析】（1）要證明方程都有兩個不相等的實數根，必須證明根的判別式總大于0.

（2）利用韋達定理求得x?+x?和x?x?的值，代入，求a的值.【詳解】解：（1）∵，∴不論取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根．（2）由韋達定理得：，∴，解得：，經檢驗知符合題意，∴．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式與根的情況，要證明方程都有兩個不相等的實數根，必須證明根的判別式總大于0；還考查了利用韋達定理求值的問題，首先把給給出的等式化成與(x?+x?）、x?x?有關的式子，代入求值．24、（1）x1=1，x2=1；（2）x＞2；（1）k＜2；（4）．【分析】（1）利用二次函數與x軸的交點坐標與對應一元二次方程的解的關系即可寫出；（2）由圖像可知，在對稱軸的右側，y隨x的增大而減??；（1）方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數根，即函數y=ax2+bx+c（a≠0）與y=k有兩個交點，畫圖分析即可；’（4）由圖像可知：該拋物線的頂點是（2,2），過（1,0），設拋物線解析式為：，把（1,0）代入，求出a即可．【詳解】解：（1）當y=0時，函數圖象與x軸的兩個交點的橫坐標即為方程ax2+bx+c=0的兩個根，由圖可知，方程的兩個根為x1=1，x2=1．故答案為：x1=1，x2=1．（2）根據函數圖象，在對稱軸的右側，y隨x的增大而減小，此時，x＞2，