集合與函數（13）1、已知集合，若集合，且對任意的，存在，使得（其中），則稱集合為集合的一個元基底.（Ⅰ）分別判斷下列集合是否為集合的一個二元基底，并說明理由；①，；②，.（Ⅱ）若集合是集合的一個元基底，證明：；（Ⅲ）若集合為集合的一個元基底，求出的最小可能值，并寫出當取最小值時的一個基底.2、若集合具有以下性質：①，；②若，則，且時，.則稱集合是“好集”.（Ⅰ）分別判斷集合，有理數集是否是“好集”，并說明理由；（Ⅱ）設集合是“好集”，求證：若，則；（Ⅲ）對任意的一個“好集”，分別判斷下面命題的真假，并說明理由.命題：若，則必有；命題：若，且，則必有；3、若為集合且的子集，且滿足兩個條件：①；②對任意的，至少存在一個，使或.…則稱集合組具有性質.如圖，作行列數表，定義數表中的第行第列的數為.（Ⅰ）當時，判斷下列兩個集合組是否具有性質，如果是請畫出所對應的表格，如果不是請說明理由；集合組1：；集合組2：.（Ⅱ）當時，若集合組具有性質，請先畫出所對應的行3列的一個數表，再依此表格分別寫出集合；（Ⅲ）當時，集合組是具有性質且所含集合個數最小的集合組，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的個數）4、已知函數在區間上為增函數，且。（1）當時，求的值；（2）當最小時，①求的值；

②若是圖象上的兩點，且存在實數

使得，證明：。5、（本小題滿分14分）對于函數和，若存在常數，對于任意，不等式都成立，則稱直線是函數的分界線.已知函數為自然對數的底，為常數）.(Ⅰ)討論函數的單調性；(Ⅱ)設，試探究函數與函數是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在，試說明理由.6、設a，b，c為實數，f（x）=（x+a）．記集合S=若，分別為集合元素S，T的元素個數，則下列結論不可能的是

A．=1且=0

B．C．=2且=2

D．=2且=37、設，已知函數的定義域是，值域是，若函數g(x)=2︱x-1︱+m+1有唯一的零點，則（

）A．2

B．

C．1

D．08、已知函數，在定義域[-2，2]上表示的曲線過原點，且在x＝±1處的切線斜率均為．有以下命題：①是奇函數；②若在內遞減，則的最大值為4；③的最大值為，最小值為，則；④若對，恒成立，則的最大值為2．其中正確命題的個數為A.1個

B.2個

C.3個

D.4個11、設函數的最大值為，最小值為，那么.

12、（本小題滿分14分）已知函數（Ⅰ）求函數的定義域，并證明在定義域上是奇函數；（Ⅱ）若恒成立，求實數的取值范圍；（Ⅲ）當時，試比較與的大小關系．13、對于實數，稱為取整函數或高斯函數，亦即是不超過的最大整數.例如：.直角坐標平面內，若滿足，則的取值范圍

1、解：（Ⅰ）①不是的一個二元基底.理由是；②是的一個二元基底.理由是，.

（Ⅱ）不妨設，則形如的正整數共有個；形如的正整數共有個；形如的正整數至多有個；形如的正整數至多有個.又集合含個不同的正整數，為集合的一個元基底.故，即.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.當時，，即用基底中元素表示出的數最多重復一個.*假設為的一個4元基底，不妨設，則.當時，有，這時或.如果，則由，與結論*矛盾.如果，則或.易知和都不是的4元基底，矛盾.當時，有，這時，，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，這時，，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當時，均不可能是的4元基底.當時，的一個基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要寫出一個即可.綜上，的最小可能值為5.

2、解：（Ⅰ）集合不是“好集”.理由是：假設集合是“好集”.因為，，所以.這與矛盾.

有理數集是“好集”.因為，,對任意的，有，且時，.所以有理數集是“好集”.（Ⅱ）因為集合是“好集”，所以.若，則，即.所以，即.

（Ⅲ）命題均為真命題.理由如下：

對任意一個“好集”，任取，若中有0或1時，顯然.下設均不為0，1.由定義可知：.所以，即.所以.由（Ⅱ）可得：，即.同理可得.若或，則顯然.若且，則.所以.所以由（Ⅱ）可得：.所以.綜上可知，，即命題為真命題.若，且，則.所以，即命題為真命題.

3、（Ⅰ）解：集合組1具有性質.

所對應的數表為：集合組2不具有性質.

因為存在，有，與對任意的，都至少存在一個，有或矛盾，所以集合組不具有性質.

（Ⅱ

注：表格中的7行可以交換得到不同的表格，它們所對應的集合組也不同）（Ⅲ）設所對應的數表為數表，因為集合組為具有性質的集合組，所以集合組滿足條件①和②，由條件①：，可得對任意，都存在有，所以，即第行不全為0，所以由條件①可知數表中任意一行不全為0.

由條件②知，對任意的，都至少存在一個，使或，所以一定是一個1一個0，即第行與第行的第列的兩個數一定不同.所以由條件②可得數表中任意兩行不完全相同.

因為由所構成的元有序數組共有個，去掉全是的元有序數組，共有個，又因數表中任意兩行都不完全相同，所以，所以.又時，由所構成的元有序數組共有個，去掉全是的數組，共個，選擇其中的個數組構造行列數表，則數表對應的集合組滿足條件①②，即具有性質.所以.

因為等于表格中數字1的個數，所以，要使取得最小值，只需使表中1的個數盡可能少，而時，在數表中，的個數為的行最多行；的個數為的行最多行；的個數為的行最多行；的個數為的行最多行；因為上述共有行，所以還有行各有個，所以此時表格中最少有個.所以的最小值為.

4、解：。（1）當時，由，得或，所以在上為增函數，在，上為減函數，由題意知，且。因為，所以，可知。

（2）①因為，當且僅當時等號成立。由，有，得；由，有，得；故取得最小值時，，。②此時，，，由知，，欲證，先比較與的大小。因為，所以，有，于是，即，另一方面，，因為，所以，從而，即。…14分同理可證，因此。

5、（本小題滿分14分）解：（1），

當時，，即，函數在區間上是增函數，在區間上是減函數；當時，，函數是區間上的增函數當時，即，函數在區間上是增函數，在區間上是減函數.（2）若存在，則恒成立，令，則，所以，

因此：恒成立，即恒成立，由得到：，現在只要判斷是否恒成立，設，因為：，當時，，，當時，，，所以，即恒成立，所以函數與函數存在“分界線”.

6、D7、C8、B11、

402112、解：（Ⅰ）由，解得或，∴函數的定義域為

當時，∴