從眼見為“實”到檢驗為“真”——《長方形和正方形的認識》基于數據分析圖形的教學思考與實踐一、背景介紹及學生情況《長方形和正方形的認識》是學生從眼見為實的定性描述走向理性實證的定量刻畫的一次跨越，是學生從定性感知圖形走向定量認識圖形的開始。在幾何與圖形的學習板塊中能理性認識圖形是非常重要的，特別是學生要對垂直、平行、相等、重合等線的位置關系進行理性實證的推理，而非眼睛看看即可；另外對于后續其他圖形的研究和認識也要埋下理性實證的種子，要明白眼見并非為實，需要通過度量驗證用數據證明或者幾何變換對圖形特征加以驗證和應用。培養學生基于數據分析圖形的空間思維能力以及長方形和正方形的共性的認知是我們要突破的生長點。那么，學生在學習這一內容時是否具備驗證意識以及認識的水平又如何呢？于是筆者對三年級的學生進行了一個小測試。設置了兩組題目，如下：題目描述：第一組是選長方形和描述長方形，其中②③④是長方形，⑤號是一個接近長方形的平行四邊形；第二組是選正方形和描述正方形，其中①③是正方形，⑤號是接近正方形的長方形。測查目的：這兩組題目可以檢測學生是否具備判斷長方形和正方形的驗證意識和學生的知識儲備量。檢測結果統計如下表：第一題①②③④⑤⑥正確率100%95.3%100%95.3%44.18%100%表1：長方形辨認情況統計表第一題①②③④⑤正確率100%90.7%95.3%100%9.3%表2：正方形辨認情況統計表結果分析：學生對于傾斜放置的長方形和正方形辨認有一定難度，而對于接近于長方形或者接近于正方形的圖形辨認正確率極低，這說明學生在辨認長方形或者正方形的時候完全依賴于定性判定的層面，也就是主觀地認為眼見為“實”，而缺乏理性實證的意識。長方形的表述中，學生能用上下左右一樣長，長長的，角尖尖的這種具體語言來描述。但是對于對邊，長和寬這樣的概念還是很陌生的。正方形的語言表述中，學生只關注到邊的特征，未關注角的特征，但是在選擇時，大部分同學不會去選擇有弧度的，顯然學生對正方形的特征都有一定的了解，說明學生能夠看得清但是表達不清。從測測可知，學生對于辨識長方形和正方形的驗證需求和意識不足，缺乏數學的嚴謹性，關聯概念知識儲備也不足，從而增加了本節課推進特征驗證的難度。二、教學實施基于以上背景和學生情況的分析，筆者設計了通過微型實驗的教學活動，讓學生動手操作去驗證自己的發現，逐步加深對長方形和正方形的特征的認識，并通過討論推理比較，得出長方形和正方形的聯系。然后結合數據推理鞏固及應用特征。1、創設情境，激發驗證需求筆者提供了墨水盒、數學書、電腦屏幕、魔方、停車場等圖片，通過生活中熟悉的物體，發現圖形，給圖形分類，發現長方形、正方形的特征，進行猜想長方形有對邊相等，四個角都是直角的特征，正方形有四邊相等，四個角都是直角的特征，進而揭示課題。猜想特征后，教師通過質疑，達成驗證特征的目的。接著組織學生自主探究驗證。給學生充足的時間動手操作。在驗證時，提供不同的長方形紙片、正方形紙片，方格圖，學習單。提供長方形、正方形紙片是為了讓學生可以通過量、折的方法來驗證對邊相等。提供方格圖是因為可以數清楚格子，避免量長度出現的誤差，通過第三方事物的對比，使驗證更嚴謹。為什么提供多種紙片，是因為驗證特征要從一類圖形來驗證不能從一個圖形來驗證，將特征從特殊性走向一般性，再得出結論。以此來達到在自主觀察中驗證特征的目的。通過幾次試課，我們得到了一下幾組數據：從前兩次的的數據來看。由于分工合作的要求是一人操作一人記錄，但是這種方式效率不高，于是在后續的要求中更改為一人選擇一種圖形進行驗證，這樣之后效率明顯有所提高。接下來得到了第三次和第四次的數據，如下：結合前幾次的數據可以發現，學生是能夠驗證邊的特征的，而且方法不單一，但是在角的驗證方面是有欠缺的，人數明顯低于驗證邊的人數。可見在前期的提示是不足的，所以在教師提示操作要求的時候增加一個問題提問學生角要怎么驗證？這樣調整之后，我們有了第五次的數據。驗證角的人數有了明顯的提高。2、理性辯證，利用數據說話筆者設計了以下兩個環節，鞏固圖形的特征。一是選取了小棒作為素材，在7根小棒中選取4根小棒來拼圖形，在落實正方形和長方形特征的同時，擴大了學生的選擇范圍，給足了想象空間。但是這個想象并不是毫無根據的，在提供的小棒素材中給出了小棒的長度，學生不但能想象出圖形，還能根據長度數據，得到圖形的邊長是多少，落實對邊相等的特征。二是拼圖形這個環節。選取了這樣四組素材，學生經歷先想象再用平移、旋轉等方法拼長方形，再一次培養想象力，同時鞏固長方形的特征。同時圖形上的長度的標注，讓學生的想象不僅僅浮于表面，更是讓學生的想象有了數據的支撐，從而讓學生腦海中的想象落了地。在A組圖形中追問：你能想象拼成的長方形長是多少寬是多少嗎？學生能根據數據回答出了長4寬2。隨后在B組問題中追問：拼成的圖形一定是長方形嗎？學生能通過對邊的長度相等來確定。在C組題中不把這個圖形拼起來，學生也能判斷此時的長方形長是7寬是2。可見學生是能夠通過數據來進行判斷，實證所拼的圖形是長方形。在D組圖形中，再次追問兩個問題，若給兩個這樣的長方形，你能拼出什么樣的圖形呢？學生能夠正確地說出拼成的兩種長方形，同樣利用了所給的數據支撐了自己的想象。接著追問幾個這樣的長方形能拼成正方形呢？學生也能回答出需要3個長6寬2的長方形可以拼成一個正方形，讓正方形的特征也得到了落實。三、后測反饋，數據分析在經過這樣的教學之后，學生對于知識的掌握程度又是如何呢？筆者對學生進行了后測，內容如下：其中，第一題檢測了學生對于長方形和正方形邊的特征的落實情況，第二題主要考察空間想象力以及正方形和長方形的聯系。以下是后測的數據：這是我們第一次試課得到的數據，其中①是長方形的長和寬，②是正方形的邊長，③是剪下正方形的邊長，④和⑤是剩下長方形的長和寬。從表格中我們能看出第一題的正確率接近于100%，說明學生對于長方形和正方形邊的特征的認識掌握得比較好了。第二題第一個小問的正確率較高說明大部分同學知道在長方形中剪一個最大的正方形跟原來長方形的寬有關。而剩下的長方形的長和寬錯誤率較高，也說明了學生還無法在腦海里呈現出長方形被剪掉一個正方形后剩下的圖形的樣子。為了解決這個問題，在教學時強調通過畫圖用數據標注的方法來嘗試解決這個問題。隨后我們得到了以下數據，這是我們第五次試課時的數據，明顯可見第二題的正確率有所提高。在不斷的調整之后，我們得到了下面最后一組數據，發現效果更好了，已經有70%的同學已經能正確的描述剩下的長方形的長和寬是多少了。可見學生掌握越來越好了。四、回顧歷程，總結反思通過上述教學實踐，這一內容的教學并不容易，因為學生在此之前有眼見為“實”的思維定勢。而我們要做的是讓孩子在