考點(diǎn)02命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件1．理解命題的概念.2．了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系.3．理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.一、命題及其關(guān)系1．命題的概念在數(shù)學(xué)中用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語(yǔ)句叫真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫假命題．2．四種命題及其關(guān)系(1)四種命題命題表述形式原命題若p，則q逆命題若q，則p否命題若，則逆否命題若，則(2)四種命題間的關(guān)系(3)常見的否定詞語(yǔ)正面詞語(yǔ)=>(<)是都是任意(所有)的任兩個(gè)至多有1(n)個(gè)至少有1個(gè)否定詞()不是不都是某個(gè)某兩個(gè)至少有2(n+1)個(gè)1個(gè)也沒(méi)有3．四種命題的真假關(guān)系(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；(2)兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系．當(dāng)一個(gè)命題有大前提而要寫出其他三種命題時(shí)，必須保留大前提，也就是大前提不動(dòng)．二、充分條件與必要條件1．充分條件與必要條件的概念(1)若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)若p?q且qp，則p是q的充分不必要條件；(3)若pq且q?p，則p是q的必要不充分條件；(4)若p?q，則p是q的充要條件；(5)若pq且qp，則p是q的既不充分也不必要條件.2．必記結(jié)論(1)等價(jià)轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件①p是q的充分不必要條件是的充分不必要條件；②p是q的必要不充分條件是的必要不充分條件；③p是q的充要條件是的充要條件；④p是q的既不充分也不必要條件是的既不充分也不必要條件.(2)集合判斷法判斷充分條件、必要條件若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即p：A={x|p(x)}，q：B={x|q(x)}，則①若，則p是q的充分條件；②若，則p是q的必要條件；③若，則p是q的充分不必要條件；④若，則p是q的必要不充分條件；⑤若，則p是q的充要條件；⑥若且，則p是q的既不充分也不必要條件.考向一四種命題的關(guān)系及其真假的判斷四種命題的關(guān)系及其真假的判斷是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)，多以選擇題的形式出現(xiàn)，難度一般不大，往往會(huì)結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)(如函數(shù)、不等式、三角、向量、立體幾何等)進(jìn)行綜合考查.常見的解法如下：1．判斷四種命題間關(guān)系的方法①由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，將條件與結(jié)論互換即得逆命題，將條件與結(jié)論同時(shí)否定即得否命題，將條件與結(jié)論互換的同時(shí)進(jìn)行否定即得逆否命題．②原命題和逆否命題、逆命題和否命題有相同的真假性，解題時(shí)注意靈活應(yīng)用.2．命題真假的判斷方法①給出一個(gè)命題，要判斷它是真命題，需經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理證明；而要說(shuō)明它是假命題，則只需舉一反例即可．②由于原命題與其逆否命題為等價(jià)命題，有時(shí)可以利用這種等價(jià)性間接地證明命題的真假.典例1（2017年高考北京卷）能夠說(shuō)明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù)．若a＞b＞c，則a+b＞c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為___________.【答案】?1，?2，?3（答案不唯一）【解析】，矛盾，所以?1，?2，?3可驗(yàn)證該命題是假命題.【名師點(diǎn)睛】解答本題時(shí)利用賦值的方式舉反例進(jìn)行驗(yàn)證，答案不唯一．1．已知命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．典例2命題“”的逆否命題是A． B．C． D．【答案】A【解析】原命題的逆否命題為“若，則”，故選A.【方法點(diǎn)睛】將原命題的條件與結(jié)論互換的同時(shí)進(jìn)行否定即得逆否命題．寫出一個(gè)命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來(lái)寫；在判斷原命題、逆命題、否命題以及逆否命題的真假時(shí)，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來(lái)判定．2．下列說(shuō)法正確的是A．命題：“存在四邊相等的四邊形不是正方形”，該命題是假命題.B．命題“已知、為一個(gè)三角形的兩內(nèi)角，若，則”的逆命題為真命題C．“若，則”的否命題為“若，則”D．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件考向二充分、必要條件的判斷充分條件與必要條件的判斷是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題形式出現(xiàn)，作為載體，考查知識(shí)面廣，常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、平面向量、立體幾何、解析幾何等知識(shí)綜合考查.常見的解法如下：1．命題判斷法設(shè)“若p，則q”為原命題，那么：(1)原命題為真，逆命題為假時(shí)，則p是q的充分不必要條件；(2)原命題為假，逆命題為真時(shí)，則p是q的必要不充分條件；(3)當(dāng)原命題與逆命題都為真時(shí)，則p是q的充要條件；(4)當(dāng)原命題與逆命題都為假時(shí)，則p是q的既不充分也不必要條件．2．集合判斷法（同必記結(jié)論）3．等價(jià)轉(zhuǎn)化法（同必記結(jié)論）典例3（2017年高考天津卷）設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，可得，由，可得，即，因?yàn)椋浴啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故選B．【名師點(diǎn)睛】本題考查充要條件的判斷，從定義來(lái)看，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，若，則是的充要條件；從集合的角度看，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，若，則是的充要條件，若是的真子集，則是的充分而不必要條件，若是的真子集，則是的必要而不充分條件．3．設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件典例4若條件，且是的充分不必要條件，則可以是A． B．C． D．【答案】B【技巧點(diǎn)睛】有關(guān)探求充要條件的選擇題，破題關(guān)鍵是：首先，判斷是選項(xiàng)“推”題干，還是題干“推”選項(xiàng)；其次，利用以小推大的技巧，即可得結(jié)論．4．命題為真命題的一個(gè)充分不必要條件是A． B．C． D．考向三充分、必要條件的應(yīng)用充分、必要條件的應(yīng)用主要涉及根據(jù)充要條件求解參數(shù)的取值范圍，具體解法如下：1．解決此類問(wèn)題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式（組）求解.2．求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.典例5已知命題：“關(guān)于的方程有實(shí)根”，若為真命題的充分不必要條件為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B5．已知條件p:|x+1|>2，條件q:x>a，且?p是?q的充分不必要條件，則a的取值范圍是A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)≥1C．a(chǎn)≥-1 D．a(chǎn)≤-31．已知命題“若p，則q”為真命題，則下列命題中一定為真命題的是A．若q，則p B．若?p，則?qC．若?q，則?p D．若p，則?q2．設(shè)，命題：若，則有實(shí)根的否命題是A．若，則沒(méi)有實(shí)根B．若，則沒(méi)有實(shí)根C．若，則有實(shí)根D．若，則沒(méi)有實(shí)根3．命題甲：；命題乙：且，則甲是乙的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分條件也不必要條件4．“若a≥12，則?x≥0，都有A．?x<0有f(x)<0成立，則a<12 B．?x<0有f(x)≥0C．?x≥0有f(x)<0成立，則a<12 D．?x≥0有f(x)<05．“”的一個(gè)充分不必要條件是A． B．C． D．6．下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是A．“”是“”的充分不必要條件B．“x=2時(shí),x2－3x+2=0”的否命題為真命題C．直線：，：，的充要條件是D．命題“若，則”的逆否命題為真命題7．已知，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知是兩條互相垂直的直線，是平面，則是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．設(shè)都是非零向量，下列四個(gè)條件，使成立的充要條件是A． B．C．且 D．且方向相同10．已知函數(shù)，且給定條件“”，條件“”，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．1．（2017年高考浙江卷）已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則“d>0”是“S4+S6>2S5”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2017年高考北京卷）設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2016年高考天津卷）設(shè)，，則“”是“”的A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．（2016年高考上海卷）設(shè)，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2016年高考四川卷）設(shè)p:實(shí)數(shù)x，y滿足且，q:實(shí)數(shù)x，y滿足，則p是q的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式拓展變式拓展1．【答案】C【解析】當(dāng)命題為真時(shí)，由且可得，故命題為假時(shí)，，故選C．2．【答案】B3．【答案】A【解析】，但時(shí)，不滿足，所以“”是“”的充分而不必要條件，故選A．4．【答案】B【解析】由題意得,因?yàn)橐虼嗣}p的一個(gè)充分不必要條件是,選B.5．【答案】B【解析】由條件p:|x+1|>2,解得x<-3或x>1;因?yàn)?p是?q的充分不必要條件，所以q是p的充分不必要條件，有a≥1，故選B.考點(diǎn)沖關(guān)考點(diǎn)沖關(guān)1．【答案】C【解析】依據(jù)原命題與逆否命題的等價(jià)性可知：命題“若p，則q”的逆否命題“若?q，則?p”是真命題，故應(yīng)選C.2．【答案】D【解析】命題：若，則有實(shí)根的否命題為“若，則沒(méi)有實(shí)根”.故選D．3．【答案】A【解析】因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以命題甲：是命題乙：且的充分不必要條件，選A.4．【答案】D【解析】由原命題與逆否命題的關(guān)系可得：“若a≥12，則?x≥0，都有f(x)≥0成立”的逆否命題是“?x≥0有f(x)<0成立，則5．【答案】B【解析】因?yàn)椋浞植槐匾獥l件是其真子集，所以只有滿足條件，故選B.6．【答案】D7．【答案】C【解析】考查充分性：因?yàn)椋液瘮?shù)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則：，，即，充分性成立；以上過(guò)程可以逆向推倒，即必要性滿足.綜上，“”是“”的充分必要條件.本題選C.8．【答案】D【解析】若，則可能垂直、平行、相交或m在面內(nèi)，即不是的充分條件，若，則可能平行或n在面內(nèi)，即不是的必要條件，所以是的既不充分也不必要條件.故選D.9．【答案】D【解析】表示與方向相同的單位向量，因此成立的充要條件是與同向即可，故選D．10．【答案】A【解析】，當(dāng)時(shí)，，則，所以，又當(dāng)時(shí)，，若是的充分不必要條件，則，所以，故選A.直通高考直通高考1．【答案】C【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，通過(guò)套入公式與簡(jiǎn)單運(yùn)算，可知，結(jié)合充分必要性的判斷，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，該題“”“”，故互為充要條件．2．【答案】A【解析】若，使，則兩向量反向，夾角是，那么；若，那么兩向量的夾角為，并不一