專題23：三角函數的定義及誘導公式（3知識點+3題型+3考法）三角函數的定義及誘導公式常考題型三角函數的定義及誘導公式常考題型誘導公式三角函數值在各象限的符號三角函數的定義題型一：利用三角函數的定義求三角函數值題型二：三角函數值的符號判定題型三：誘導公式的應用考法一：給角求值、化簡求值考法二：給值(或式)求值考法三：利用誘導公式證明恒等式知識點一：三角函數的定義（1）任意角的三角函數定義：設α是一個任意角，角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么①點P的縱坐標叫角α的正弦函數，記作sinα＝y；②點P的橫坐標叫角α的余弦函數，記作cosα＝x；③點P的縱坐標與橫坐標之比叫角α的正切函數，記作tanα＝eq\f(y,x).它們都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數．將正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數，通常將它們記為：正弦函數y＝sinx，x∈R；余弦函數y＝cosx，x∈R；正切函數y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ（k∈Z）．設α是一個任意角，角α的終邊任意一點P(x，y)，那么設r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x)；若已知角α終邊上的點的坐標含參數，則需進行分類討論．知識點二：三角函數值在各象限的符號（1）設α是一個任意角，角α的終邊任意一點P(x，y)，那么設r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x).通過正弦、余弦和正切的計算公式可以確定符號口訣概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如圖).知識點三：誘導公式公式終邊關系圖示公式公式一終邊相同的角的同一三角函數的值相等.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin（α＋k·2π）＝sinα，,cos（α＋k·2π）＝cosα，其中k∈Z.,tan（α＋k·2π）＝tanα，))公式二角π＋α與角α的終邊關于原點對稱sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三角－α與角α的終邊關于x軸對稱sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα公式四角π－α與角α的終邊關于eq\a\vs4\al(y)軸對稱sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα公式五公式六記憶口訣：可概括為“奇變偶不變，符號看象限”：①“偶”當k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中k取偶數時（－π±α，π±α，±α），三角函數名不變，符號由原三角函數角所在象限決定；②“奇”當k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中k取奇數時（，±eq\f(π,2)±α），三角函數名改變，符號由原三角函數角所在象限決定；題型一：利用三角函數的定義求三角函數值解題思路：設α是一個任意角，角α的終邊任意一點P(x，y)，那么設r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x)；若已知角α終邊上的點的坐標含參數，則需進行分類討論．例1．已知是角的終邊上一點，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角函數的定義求出的值，再根據三角函數的定義進行求值即可.【詳解】由三角函數的定義知:，所以.故選：A.例2．如果角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先算點P坐標，然后由三角函數定義可得.【詳解】由題可得，因為所以.故選：D例3．已知角的頂點為原點，起始邊為軸非負半軸，若點是角終邊上一點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數的定義可得出關于的等式，即可解出的值.【詳解】因為點是角終邊上一點，且，由三角函數的定義可得，則，解得.故選：B.變式訓練4．若角的終邊經過點，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角函數定義可得.【詳解】因為角的終邊經過點，則，所以，所以.故選：A5．已知角的終邊落在直線上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據三角函數得定義求解即可得出結論.【詳解】設直線上任意一點P的坐標為（），則（O為坐標原點），根據正弦函數的定義得：，時，；時，，所以選項D正確，選項A，B，C錯誤，故選：D.6．已知角的終邊經過點，且，則．【答案】【分析】由題意結合三角函數的定義求出點坐標，再求出即可求解【詳解】因為角的終邊經過點，且，所以，解得或，因為點的縱坐標為，且，所以角的終邊落在第三象限，所以，即，所以，所以.故答案為：7．已知角的終邊經過點，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據三角函數的概念求解，即可得的值.【詳解】已知角的終邊經過點所以，則當時，，此時；當時，，此時；所以的值可能為或.故選：CD.題型二：三角函數值的符號判定解題思路：設α是一個任意角，角α的終邊任意一點P(x，y)，那么設r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x).通過正弦、余弦和正切的計算公式可以確定符號口訣概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如圖).要考查兩類題：第一類通過角所在象限確定三角函數的符號；第二類：通過三角函數的符號來確定角所在象限。例1．已知，，則角的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據三角函數的符號與角的象限間的關系，即可求解.【詳解】由，，根據三角函數的符號與角的象限間的關系，可得角的終邊位于第四象限.故選：D.例2．“”是“為第一或第三象限角”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據同角三角函數關系化簡，根據三角函數在各象限的符號，結合充分條件、必要條件即可得解.【詳解】因為時，則，所以為第一或第三象限角，反之，當為第一或第三象限角時，，所以，綜上，“”是“為第一或第三象限角”的充分必要條件，故選：C例3．若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據，得到的終邊在第一象限或第三象限討論求解.【詳解】解：由知的終邊在第一象限或第三象限，當的終邊在第一象限時，，，，，符號不確定；當的終邊在第三象限時，，，，，符號不確定；故選：C變式訓練4．已知，，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據所給條件得到、，，即可判斷.【詳解】因為，即，又，所以，即，所以，所以角的終邊在第三象限.故選：C5．已知為第二象限角，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據第二象限角的三角函數值的正負分別判斷各選項.【詳解】因為為第二象限角，所以，，，則，，，而的取值不確定.故選：C.6．若，則可能在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】BCD【分析】對角的終邊的位置進行分類討論，求出的值，即可得出結論.【詳解】當是第一象限角時，，故一定不是第一象限角；當是第二象限角時，，即可以是第二象限角；當是第三象限角時，，即可以是第三象限角；當是第四象限角時，，即可以是第四象限角．故選：BCD.題型三：誘導公式的應用考法一：給角求值、化簡求值解題思路：利用誘導公式公式求任意角三角函數值的步驟(1)“負化正”：用公式一或三來轉化.(2)“大化小”：用公式一將角化為0°到360°間的角.(3)“小化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉化為銳角.(4)“銳求值”：得到銳角的三角函數后求值.例1．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用誘導公式計算得到答案.【詳解】.故選：B例2．化簡（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】直接利用誘導公式化簡得解.【詳解】.故選：D.例3．化簡下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)1(2)【分析】利用誘導公式，化簡求值.【詳解】（1）原式．（2）原式．變式訓練4．已知．(1)化簡；(2)若為第三象限角，且，求的值．【答案】(1)(2).【分析】（1）利用誘導公式代入計算即可得；（2）根據角的范圍將代入計算即可得.【詳解】（1）即（2）由，可得．因為為第三象限角，因此，故.5．平面直角坐標系中，角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據角的終邊經過點，求出角的余弦值，即可求出結果.【詳解】因為角的終邊經過點，所以，所以.故選：A6．已知角的終邊經過點，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角函數定義得到，再利用誘導公式求出答案.【詳解】因為角的終邊經過點，所以，.故選：A7．已知.(1)化簡；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用誘導公式和化弦為切化簡函數；（2）利用同角三角函數的平方關系列式計算即可.【詳解】（1）；（2）因為，所以，則，所以，解得，所以.考法二：給值(或式)求值解題思路：（1）設α是一個任意角，角α的終邊任意一點P(x，y)，那么設r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x)；若已知角α終邊上的點的坐標含參數，則需進行分類討論．利用誘導公式公式求任意角三角函數值的步驟(1)“負化正”：用公式一或三來轉化.(2)“大化小”：用公式一將角化為0°到360°間的角.(3)“小化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉化為銳角.(4)“銳求值”：得到銳角的三角函數后求值.例1．已知，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據題意利用誘導公式結合同角三角關系運算求解.【詳解】因為，且，，所以.故選：B.例2．已知為第二象限角，若則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據誘導公式以及同角三角函數的關系式，可得答案.【詳解】由，則，由為第二象限角，則，所以.故選：A.例3．已知，且，化簡并求的值.【答案】【分析】利用同角三角函數的基本關系求出，然后利用誘導公式化簡可得出所求代數式的值.【詳解】解：因為，且，則，所以，，故.變式訓練4．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，若角的終邊與角的終邊相同，則(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函數定義求得，再利用誘導公式化簡即可.【詳解】由題意得，，故選：C.5．（多選題）在△ABC中，下列關系式恒成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】結合三角形的內角和定理和誘導公式，準確運算，即可求解.【詳解】對于A中，由，所以A正確；對于B中由，所以B正確；對于C中，由，所以C正確；對于D中，，所以D錯誤．故選：ABC.6．已知，則下列式子恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據三角函數的誘導公式，逐項判定，即可求解.【詳解】由，所以A正確；由，所以B不正確；由，所以C正確；由，所以D不正確.故選：AC.7．若、是關于的方程的兩個根，則.【答案】/【分析】先根據韋達定理得到，進而求得，，再結合誘導公式化簡求值即可.【詳解】由題意得，，則或，又，即，解得或（舍去），則，所以.故答案為：.8．已知是第三象限角，，則.【答案】【分析】結合同角三角函數的基本關系和誘導公式求解即可.【詳解】因為是第三象限角，，所以，所以，故答案為：.考法三：利用誘導公式證明恒等式解題思路：利用誘導公式化簡和證明恒等式例1．求證：當或3時，.【答案】證明見解析【分析】根據題設，應用誘導公式化簡等式左側即可.【詳解】當時，左邊=；當時，左邊=；綜上，或有原等式恒成立.例2．（1）求證：；（2）設，求證.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）（2）應用誘導公式化簡等式中結構復雜的一側，即可證結論.【詳解】（1）左邊=

=右邊，所以原等式成立.（2）方法1：左邊=

===右邊，所以原等式成立.方法2：由，得，所以，等式左邊====右邊，等式成立.變式訓練3．求證：．【答案】證明見解析.【分析】利用三角函數的誘導公式和同角三角函數基本關系式證明.【詳解】左邊==–tanα=右邊，∴等式成立．4．若，求證：.【答案】證明見解析【解析】分為偶數和為奇數討論，利用誘導公式化簡即可證明；【詳解】證明：若為偶數，則左邊；若為奇數，則左邊；左邊=右邊，所以原式成立.【點睛】本題考查利用誘導公式化簡證明，注意對的奇偶的討論，是中檔題.一、單選題1．已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的正半軸，若角終邊有一點，且，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根據正弦定義即可得到方程，解出即可.【詳解】由題意得，解得，故選：B.2．在中，給出下列四個式子：①；②；③；④.其中為常數的是（

）A．①③ B．②③C．①④ D．②④【答案】B【分析】由誘導公式結合對選項一一化簡即可得出答案.【詳解】①因為在中，，所以；②因為在中，，；③；④.故選：B.3．已知角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，利用三角函數定義、結合誘導公式計算即得.【詳解】由角的終邊經過點，得該點到原點距離，，所以.故選：C4．已知角的終邊過點，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函數定義，結合誘導公式計算得解.【詳解】由角的終邊過點，得，，所以.故選：A5．已知，則函數的值可能是（

）A．1 B． C．4 D．【答案】B【分析】分若為第一、二、三、四象限角，求出的值.【詳解】若為第一象限角，則，故，若為第二象限角，則，故，若為第三象限角，則，故，B正確；若為第四象限角，則，故.故選：B6．若角滿足，，則是（

）A．第二象限角 B．第三象限角C．第一或者第三象限角 D．第二或者第四象限角【答案】D【分析】首先根據三角函數值的正負，確定角所在的象限，即可求解所在的象限.【詳解】，，所以是第三象限角，則，，，，則角是第二或者第四象限角.故選：D7．已知角的終邊上一點的坐標為，則角的最小正值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由誘導公式以及三角函數定義即可得解.【詳解】由誘導公式可得，，且注意到，，所以；又為角的終邊上一點，結合三角函數定義知角的最小正值為.故選：B.二、多選題8．若，則角的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】BC【分析】利用三角函數的定義即可解答．【詳解】因為，則或，若，，此時的終邊位于第三象限，若，，此時的終邊位于第二象限，綜上可得的終邊位于第二象限或第三