實變函數讀書報告之測度及可測函數學號：20231003103專業：信息與計算科學班級：123092姓名：程福波【背景】2023年春,我們開始接觸實變函數與泛函分析這門課,其中除了集合論以外,最重要的就是測度和可測函數.測度是把數字和符號分配給現實世界實體的屬性，運用測度，人們能較好地理解建立質量模型的屬性，并評價所建立的工程化產品或系統質量。雖然軟件技術度量不是絕對的，但測度的建立提供了基于一套清晰定義規那么的系統方法來評價軟件質量。軟件質量模型和評價技術就是基于運用測度的建立原那么開展起來的。【關鍵字】測度可測集Lebesgue外測度可測函數簡單函數【主要內容】一Lebesgue外測度1．定義：設，稱非負廣義實數為開區間}為的Lebesgue外測度。下確界：〔1〕是數集的下界，即，〔2〕是數集的最大下界，即使得為開區間}開區間列使得且即：用一開區間列“近似〞替換集合例1設是中的全體有理數，試證明的外測度為0.證明：由于為可數集，故不妨令作開區間那么且，從而，再由的任意性知3.對Lebesgue外測度，我們用可數個開區間覆蓋中的有理數全體，是否這可數個開區間也覆蓋〔除可數個點外〕.2．Lebesgue外測度的性質〔1〕非負性：，當為空集時，〔2〕單調性：假設那么例2對任意區間，有.例3Cantor集的外測度為0.證明：令第次等分后留下的閉區間為從而注：稱外測度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，可數并仍為零集.二可測函數1可測函數定義定義：設是可測集上的實函數(可取)，假設可測，那么稱是上的可測函數.2可測函數的性質性質1零集上的任何函數都是可測函數。注：稱外測度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，可數并仍為零集性質2簡單函數是可測函數假設(可測且兩兩不交〕，在每個上取常值，那么稱是上的簡單函數；其中性質3可測集上的連續函數必為可測函數設為上有限實函數，稱在處連續比照：設為上有限實函數，在處連續(對閉區間端點那么用左或右連續)證明：任取,那么,由連續性假設知，對使得即.令那么G為開集，當然為可測集，且另外所以，故為可測集性質4中的可測子集上的單調函數必為可測函數。證明：不妨設單調增，對任意令.由單調增知下面的集合為可測集⒊可測函數的等價描述⒈定義：設是可測集上的實函數，那么在上可測〔即〔1〕可測〕可測可測可測可測〔充分性要求〕⒋可測函數的性質⑴可測函數關于子集、并集的性質假設是上的可測函數,可測，那么限制在上也是可測函數；反之，假設,限制在上是可測函數，那么在上也是可測函數。注：在一零測度集上改變函數的取值不影響函數的可測性即：設〔almosteverywhere〕于，在上可測，那么在上也可測假設,那么稱在上幾乎處處成立,記作于.證明：令，那么，從而在上可測，另外在上可測，從而在上也可測，進一步在上也可測.注：用到了可測函數關于子集、并集的性質⑵可測函數類關于四那么運算封閉假設是上的可測函數,那么仍為上的可測函數.證明：只要證可測，任取，那么從而使即從而，反之也成立，從而可測類似可證：設是上可測函數，那么為可測集.假設是上的可測函數,那么仍為上的可測函數.證明：首先在上可測，因為對任意再利用即可作業：假設是上的可測函數,那么,為上的可測函數⑶可測函數類關于確界運算和極限運算封閉.假設是上的可測函數,那么以下函數仍為上的可測函數.推論：可測函數列的極限函數仍為可測函數〔連續函數列的極限函數不一定為連續函數〕。對上式的說明：，比擬：⒌可測函數與簡單函數的關系可測函數總可表示成一列簡單函數的極限假設是上的可測函數,那么總可表示成一列簡單函數的極限，而且還可辦到注：當是有界函數時，上述收斂可做到一致收斂——————————————————————————————【參考文獻】〔1〕實變函數與泛函分析郭大鈞等編山東大學出版社2005〔2〕陳建功實函數論北京科學出版社1958〔3〕周明強實函數論北