8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積

第八章立體幾何初步【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過(guò)對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的研究，掌握它們的表面積與體積的公式；2.能解決實(shí)際問(wèn)題中與多面體相關(guān)的簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積；3.通過(guò)學(xué)習(xí)感受一般化與特殊化、極限等數(shù)學(xué)思想方法，提高邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng)和空間想象等能力.問(wèn)題1：正方體和長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖面積與其表面積有什么關(guān)系？幾何體表面積

展開(kāi)圖面積平面圖形面積

空間問(wèn)題

平面問(wèn)題

轉(zhuǎn)化思想

導(dǎo)

棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是圍成它們的各個(gè)面的面積的和．棱柱棱錐棱臺(tái)學(xué)1、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積例1

如圖，四面體P-ABC各棱長(zhǎng)均為a，求它的表面積.解：∵?PBC是正三角形，其邊長(zhǎng)為a，∴四面體P-ABC的表面積.∴展BCAP變式練習(xí)：正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2cm和6cm，側(cè)棱長(zhǎng)是5cm，求它的表面積.

展解：如圖所示，作，垂足為點(diǎn)H，學(xué)

特殊的棱柱-------正方體、長(zhǎng)方體的體積公式：

Ｖ正方體＝a3（a是正方體的棱長(zhǎng)）

Ｖ長(zhǎng)方體＝abc（a，b，c分別是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高）V=Sh

(S,h分別表示底面積和高)由特殊到一般思想

V棱柱=Sh2、棱柱的體積公式V棱柱=Sh如果棱柱的底面積是S，高是h,那么這個(gè)棱柱的體積：特別的，直棱柱的側(cè)棱垂直于底面，故側(cè)棱長(zhǎng)即為直棱柱的高.學(xué)

棱柱的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂線，這點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離.問(wèn)題2：

取一摞書放在桌面上，并改變它的形狀，高度、書中每頁(yè)紙面積和順序不變，觀察改變前后的體積是否發(fā)生變化？學(xué)祖暅原理：（456年~536年）冪勢(shì)既同，則積不容異.

夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．學(xué)學(xué)學(xué)V=Sh轉(zhuǎn)化思想

等底等高底面積和高都相等的棱柱，體積相等V棱柱=Sh問(wèn)題3：棱錐與同底等高的棱柱體積之間有什么關(guān)系？學(xué)問(wèn)題4：三個(gè)小棱錐的體積相等嗎？

如果一個(gè)棱柱和一個(gè)棱錐的底面積相等，高也相等，那么，棱柱的體積是棱錐的體積的3倍．學(xué)3、棱錐的體積公式

棱錐的高是指從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的距離.學(xué)

如果棱錐的底面面積為S，高為h，那么這個(gè)棱錐的體積：

4、棱臺(tái)的體積公式

棱臺(tái)的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂線，這點(diǎn)與垂足之間的距離.學(xué)

P棱臺(tái)的體積公式：

，(S′,S,

h分別是棱臺(tái)的上下底面積和高).

RQ

問(wèn)題5:觀察棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式之間有什么關(guān)系？你能用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征來(lái)解釋這種關(guān)系嗎？學(xué)

A'B'C'D'ABCDP解：如右下圖，由題意知V棱錐P-ABCD=×1×1×0.5=(m3)，所以這個(gè)漏斗的容積V長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'=1×1×0.5=

(m3)，

(m3).練課堂小結(jié)評(píng)多面體圖形表面積體積思想方法棱柱

棱錐棱臺(tái)

圍成它們的各個(gè)面的面積的和①轉(zhuǎn)化思想②由特殊到一般思想③極限