宿州市重點中學2024屆高三第一次摸底測試數學試題試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中心在原點，對稱軸為坐標軸的雙曲線的兩條漸近線與圓都相切，則雙曲線的離心率是（）A．2或 B．2或 C．或 D．或2．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．C． D．3．已知F為拋物線y2＝4x的焦點，過點F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，則||FA|﹣|FB||的值等于（）A． B．8 C． D．44．設全集為R，集合，，則A． B． C． D．5．一個正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側面積是（）A．16 B．12 C．8 D．66．設是定義在實數集上的函數，滿足條件是偶函數，且當時，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．7．函數在的圖像大致為A． B． C． D．8．設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則的一個充分條件是（）A．且 B．且 C．且 D．且9．已知集合，，則A． B．C． D．10．已知變量，滿足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．11．若實數x，y滿足條件，目標函數，則z的最大值為()A． B．1 C．2 D．012．一個盒子里有4個分別標有號碼為1，2，3，4的小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標號最大值是4的取法有（）A．17種 B．27種 C．37種 D．47種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在三棱錐中，三條側棱兩兩垂直，，則三棱錐外接球的表面積的最小值為________.14．已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線上任一點，且的最小值為，則該雙曲線的離心率是__________.15．如圖，在三棱錐中，平面，，已知，，則當最大時，三棱錐的體積為__________．16．若雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若點在曲線上，點在曲線上，求的最小值及此時點的坐標.18．（12分）如圖，點為圓：上一動點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長至點，使得，點的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點，且，試問在曲線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.19．（12分）某地在每周六的晚上8點到10點半舉行燈光展，燈光展涉及到10000盞燈，每盞燈在某一時刻亮燈的概率均為，并且是否亮燈彼此相互獨立.現統計了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時長（單位：），得到下面的頻數表：亮燈時長/頻數1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時長作為一盞燈的亮燈時長.（1）試估計的值；（2）設表示這10000盞燈在某一時刻亮燈的數目.①求的數學期望和方差；②若隨機變量滿足，則認為.假設當時，燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計，在一場燈光展中，處于最佳燈光亮度的時長（結果保留為整數）.附：①某盞燈在某一時刻亮燈的概率等于亮燈時長與燈光展總時長的商；②若，則，，.20．（12分）為貫徹十九大報告中“要提供更多優質生態產品以滿足人民日益增長的優美生態環境需要”的要求，某生物小組通過抽樣檢測植物高度的方法來監測培育的某種植物的生長情況．現分別從、、三塊試驗田中各隨機抽取株植物測量高度，數據如下表（單位：厘米）：組組組假設所有植株的生長情況相互獨立．從、、三組各隨機選株，組選出的植株記為甲，組選出的植株記為乙，組選出的植株記為丙．（1）求丙的高度小于厘米的概率；（2）求甲的高度大于乙的高度的概率；（3）表格中所有數據的平均數記為．從、、三塊試驗田中分別再隨機抽取株該種植物，它們的高度依次是、、（單位：厘米）．這個新數據與表格中的所有數據構成的新樣本的平均數記為，試比較和的大小．（結論不要求證明）21．（12分）在綜合素質評價的某個維度的測評中，依據評分細則，學生之間相互打分，最終將所有的數據合成一個分數，滿分100分，按照大于或等于80分的為優秀，小于80分的為合格，為了解學生的在該維度的測評結果，在畢業班中隨機抽出一個班的數據.該班共有60名學生，得到如下的列聯表：優秀合格總計男生6女生18合計60已知在該班隨機抽取1人測評結果為優秀的概率為.（1）完成上面的列聯表；（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為性別與測評結果有關系？（3）現在如果想了解全校學生在該維度的表現情況，采取簡單隨機抽樣方式在全校學生中抽取少數一部分來分析，請你選擇一個合適的抽樣方法，并解釋理由.附：0.250.100.0251.3232.7065.02422．（10分）已知函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據題意，由圓的切線求得雙曲線的漸近線的方程，再分焦點在x、y軸上兩種情況討論，進而求得雙曲線的離心率．【題目詳解】設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，是圓的切線得：，得雙曲線的一條漸近線的方程為∴焦點在x、y軸上兩種情況討論：

①當焦點在x軸上時有：②當焦點在y軸上時有：∴求得雙曲線的離心率2或．

故選：A．【題目點撥】本小題主要考查直線與圓的位置關系、雙曲線的簡單性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想．解題的關鍵是：由圓的切線求得直線的方程，再由雙曲線中漸近線的方程的關系建立等式，從而解出雙曲線的離心率的值．此題易忽視兩解得出錯誤答案．2、A【解題分析】

根據題意，可得幾何體，利用體積計算即可.【題目詳解】由題意，該幾何體如圖所示：該幾何體的體積.故選：A.【題目點撥】本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計算，屬于基礎題．3、C【解題分析】

將直線方程代入拋物線方程，根據根與系數的關系和拋物線的定義即可得出的值．【題目詳解】F（1，0），故直線AB的方程為y＝x﹣1，聯立方程組，可得x2﹣6x+1＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數的關系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由拋物線的定義可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．故選C．【題目點撥】本題考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．4、B【解題分析】分析：由題意首先求得，然后進行交集運算即可求得最終結果.詳解：由題意可得：，結合交集的定義可得：.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查交集的運算法則，補集的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.5、B【解題分析】

根據正三棱柱的主視圖，以及長度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長，然后根據矩形的面積公式，可得結果.【題目詳解】由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長為2所以該正三棱柱的三個側面均為邊長為2的正方形，所以該正三棱柱的側面積為故選：B【題目點撥】本題考查正三棱柱側面積的計算以及三視圖的認識，關鍵在于求得底面正三角形的邊長，掌握一些常見的幾何體的三視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎題.6、C【解題分析】∵y=f（x+1）是偶函數，∴f（-x+1）=f（x+1），即函數f（x）關于x=1對稱．

∵當x≥1時，為減函數，∵f（log32）=f（2-log32）=f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，

故選C7、B【解題分析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數為奇函數，由的近似值即可得出結果．【題目詳解】設，則，所以是奇函數，圖象關于原點成中心對稱，排除選項C．又排除選項D；，排除選項A，故選B．【題目點撥】本題通過判斷函數的奇偶性，縮小考察范圍，通過計算特殊函數值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．8、B【解題分析】由且可得，故選B.9、D【解題分析】

因為，，所以，，故選D．10、B【解題分析】

先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.【題目詳解】解：由變量，滿足不等式組，畫出相應圖形如下：可知點,，在處有最小值，最小值為.故選：B.【題目點撥】本題主要考查簡單的線性規劃，運用了數形結合的方法，屬于基礎題.11、C【解題分析】

畫出可行域和目標函數，根據平移得到最大值.【題目詳解】若實數x，y滿足條件，目標函數如圖：當時函數取最大值為故答案選C【題目點撥】求線性目標函數的最值:當時，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最大，在軸截距最小時，z值最小；當時，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最小，在軸上截距最小時，值最大.12、C【解題分析】

由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種；先找到最大值不是4的情況,即三次取出標號均不為4的球的情況,進而求解.【題目詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標號最大值是4的取法有種,故選:C【題目點撥】本題考查古典概型,考查補集思想的應用,屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設，可表示出，由三棱錐性質得這三條棱長的平方和等于外接球直徑的平方，從而半徑的最小值，得外接球表面積．【題目詳解】設則，由兩兩垂直知三棱錐的三條棱的棱長的平方和等于其外接球的直徑的平方．記外接球半徑為，∴當時，．故答案為：．【題目點撥】本題考查三棱錐外接球表面積，解題關鍵是掌握三棱錐的性質：三條側棱兩兩垂直的三棱錐的外接球的直徑的平方等于這三條側棱的平方和．14、【解題分析】

根據雙曲線方程，設及，將代入雙曲線方程并化簡可得，由題意的最小值為，結合平面向量數量積的坐標運算化簡，即可求得的值，進而求得離心率即可.【題目詳解】設點，，則，即，∵，，，當時，等號成立，∴，∴，∴.故答案為：.【題目點撥】本題考查了雙曲線與向量的綜合應用，由平面向量數量積的最值求離心率，屬于中檔題.15、4【解題分析】設，則，，，，當且僅當，即時，等號成立.,故答案為416、【解題分析】

利用,得到的關系式,然后代入雙曲線的漸近線方程即可求解.【題目詳解】因為雙曲線的離心率為,所以,即,因為雙曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為:【題目點撥】本題考查雙曲線的幾何性質;考查運算求解能力;熟練掌握雙曲線的幾何性質是求解本題的關鍵;屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）最小值為，此時【解題分析】

（1）消去曲線參數方程的參數，求得曲線的普通方程.利用極坐標和直角坐標相互轉化公式，求得曲線的直角坐標方程.（2）設出的坐標，結合點到直線的距離公式以及三角函數最值的求法，求得的最小值及此時點的坐標.【題目詳解】（1）消去得，曲線的普通方程是：；把，代入得，曲線的直角坐標方程是（2）設，的最小值就是點到直線的最小距離.設在時，，是最小值，此時，所以，所求最小值為，此時【題目點撥】本小題主要考查參數方程化為普通方程，考查極坐標方程轉化為直角坐標方程，考查利用圓錐曲線的參數求最值，屬于中檔題.18、（1）（2）不存在；詳見解析【解題分析】

（1）設，，，通過，即為的中點，轉化求解，點的軌跡的方程．（2）設直線的方程為，先根據，可得，①，再根據韋達定理，點在橢圓上可得，②，將①代入②可得，該方程無解，問題得以解決【題目詳解】（1）設，，則，，由題意知，所以為中點，由中點坐標公式得，即，又點在圓：上，故滿足，得.曲線的方程.（2）由題意知直線的斜率存在且不為零，設直線的方程為，因為，故，即①，聯立，消去得：，設，，，，，因為四邊形為平行四邊形，故，點在橢圓上，故，整理得②，將①代入②，得，該方程無解，故這樣的直線不存在.【題目點撥】本題考查點的軌跡方程的求法、滿足條件的點是否存在的判斷與直線方程的求法，考查數學轉化思想方法，是中檔題．19、（1）（2）①，,②72【解題分析】

（1）將每組數據的組中值乘以對應的頻率，然后再將結果相加即可得到亮燈時長的平均數，將此平均數除以（個小時），即可得到的估計值；（2）①利用二項分布的均值與方差的計算公式進行求解；②先根據條件計算出的取值范圍，然后根據并結合正態分布概率的對稱性，求解出在滿足取值范圍下對應的概率.【題目詳解】（1）平均時間為（分鐘）∴（2）①∵，∴，②∵，，∴∵，，∴∴即最佳時間長度為72分鐘.【題目點撥】本題考查根據頻數分布表求解平均數、幾何概型（長度模型）、二項分布的均值與方差、正態分布的概率計算，屬于綜合性問題，難度一般.（1）如果，則；（2）計算正態分布中的概率，一定要活用正態分布圖象的對稱性對應概率的對稱性.20、（1）；（2）；（3）．【解題分析】

設事件為“甲是組的第株植物”，事件為“乙是組的第株植物”，事件為“丙是組的第株植物”，、、、，可得出.（1）設事件為“丙的高度小于厘米”，可得，且、互斥，利用互斥事件的概率公式可求得結果；（2）設事件為“甲的高度大于乙的高度”，列舉出符合題意的基本事件，利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；（3）根據題意直接判斷和的大小即可.【題目詳解】設事件為“甲是組的第株植物”，事件為“乙是組的第株植物”，事件為“丙是組的第株植物”，、、、．由題意可知，、、、．（1）設事件為“丙的高度小于厘米”，由題意知，又與互斥，所以事件的