7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義

運(yùn)算是“數(shù)”的最主要的功能，復(fù)數(shù)不同于實(shí)數(shù)，它是由實(shí)部、虛部兩部分復(fù)合構(gòu)造而成的整體，它如何進(jìn)行運(yùn)算呢？我們就來看一下最簡單的復(fù)數(shù)運(yùn)算——復(fù)數(shù)的加、減法．

隨著生產(chǎn)發(fā)展的需要，我們將數(shù)的范圍擴(kuò)展到了復(fù)數(shù)實(shí)部虛部1.復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算法則；2.復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算律；3.復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算的幾何意義.1.邏輯推理：根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系推導(dǎo)其幾何意義;2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算及其幾何意義求相關(guān)問題;3.數(shù)學(xué)建模：結(jié)合復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義和平面圖形，數(shù)形結(jié)合，綜合應(yīng)用.

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我們知道實(shí)數(shù)有加、減、乘等運(yùn)算，且有運(yùn)算律：

a+b=b+a

ab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a(b+c)=ab+ac

那么復(fù)數(shù)應(yīng)怎樣進(jìn)行加、減、乘運(yùn)算呢？你認(rèn)為應(yīng)怎樣定義復(fù)數(shù)的加、減、乘運(yùn)算呢？運(yùn)算律仍成立嗎？探究點(diǎn)1復(fù)數(shù)的加法【復(fù)數(shù)的加法】我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的加法法則如下：設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個復(fù)數(shù)，那么

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i.說明:（1）復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算法則是一種規(guī)定。當(dāng)b=0，d=0時與實(shí)數(shù)加法法則保持一致;（2）很明顯，兩個復(fù)數(shù)的和仍然是一個復(fù)數(shù),對于復(fù)數(shù)的加法可以推廣到多個復(fù)數(shù)相加的情形。設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.（1）因?yàn)閦1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,

所以z1+z2=z2+z1

探究點(diǎn)2復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律（2）因?yàn)?z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i)=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,

z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,所以

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)所以，對任意z1,z2,z3

C,有

z1+z2=z2+z1（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）探究點(diǎn)3復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量有一一對應(yīng)關(guān)系

我們討論過向量加法的幾何意義，你能由此出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎？Oz1(a,b)z2(c,d)zxy設(shè),，分別與復(fù)數(shù)a+bi,c+di對應(yīng)=（a,b）=(c,d)+=（a+c,b+d）與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對應(yīng)復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進(jìn)行xoyz1(a,b)z2(c,d)z(a+c,b+d)z1+z2=Oz1+Oz2=Oz符合向量加法的平行四邊形法則.【復(fù)數(shù)加法運(yùn)算的幾何意義】探究點(diǎn)4復(fù)數(shù)的減法

類比實(shí)數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)x+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi減去復(fù)數(shù)c+di的差，記作(a+bi)-(c+di).根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有c+x=a,d+y=b,因此

x=a-c,y=b-d所以

x+yi=(a-c)+(b-d)i即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i【復(fù)數(shù)的減法】

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i說明：兩個復(fù)數(shù)的差是一個確定的復(fù)數(shù).xoyz1(a,b)z2(c,d)復(fù)數(shù)z2－z1向量z1z2符合向量減法的三角形法則.探究點(diǎn)5.復(fù)數(shù)減法運(yùn)算的幾何意義|z1-z2|表示什么?表示復(fù)平面上兩點(diǎn)z1,z2的距離例1

計算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=（5-2-3）+（-6-1-4）i=-11i例2

計算(1－3i)+(2+5i)+(-4+9i)解：原式=（1+2-4）+（-3+5+9）i=-1+11i例3根據(jù)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義.求復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)之間的距離.分析：由于復(fù)平面的點(diǎn)Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1=x1+y1i,z2=x2+y2i，由復(fù)數(shù)減法的幾何意義知，復(fù)數(shù)z2－z1對應(yīng)的向量z1z2，從而點(diǎn)Z1，Z2之間的距離為|z1z2|=|z1-z2|.解：因?yàn)閺?fù)平面的點(diǎn)Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1=x1+y1i,z2=x2+y2i，所以Z1，Z2之間的距離為|Z1Z2|

=|z1z2|=|z1-z2|=|(x2+y2i)-(x1+y1i)|=|(x2-x1)+(y2-y1)

i|=.核心素養(yǎng)易錯提醒方法總結(jié)核心知識1.復(fù)數(shù)的加法法則2.加法的幾何意義3.復(fù)數(shù)的減法法則4.減法的幾何意義1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減法運(yùn)算：將實(shí)部與實(shí)部，虛部與虛部分別相加減之后分別作為結(jié)果的實(shí)部與虛部

2.復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算幾何意義：復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算可轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算．利用向量進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算時，同樣滿足平行四邊形法則和三角形法則.(1)

實(shí)數(shù)加法的交換律、結(jié)合律在復(fù)數(shù)集C中仍然成立(2)復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算結(jié)果仍是復(fù)數(shù)1.邏輯推理：根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系推導(dǎo)其幾何意義;2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算及其幾何意義求相關(guān)問題;3.數(shù)學(xué)建模：結(jié)合復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義和平面圖形，數(shù)形結(jié)合，綜合應(yīng)用.A.一條直線B.兩條直線C.圓D.其他CD3.|z1|=|z2|平行四邊形OABC是

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