第十三節(jié)罰函數(shù)法與障礙函數(shù)法主要內(nèi)容：

罰函數(shù)法（外點(diǎn)法）

障礙函數(shù)法（內(nèi)點(diǎn)法）

混合罰函數(shù)法123在原目標(biāo)函數(shù)中加上一個罰（障礙）函數(shù)，而得到一個增廣目標(biāo)函數(shù)，罰（障礙）函數(shù)。罰（障礙）函數(shù)的功能是對非可行點(diǎn)或企圖穿越邊界而逃離可行域的點(diǎn)賦予一個極大的函數(shù)值。罰函數(shù)的功能一.罰函數(shù)法（外點(diǎn)法）1.罰函數(shù)法的基本原理例3.23求解：基本原理

利用無約束極小化的算法來求解這個不等式，假設(shè)存在這樣一個函數(shù)F(x),當(dāng)x是原約束的可行域中點(diǎn)時，F(xiàn)(x)與f(x)的值相同；當(dāng)x不屬于可行域時，則F(x)→∞,所以問題轉(zhuǎn)化為：minF(x)(3-98)基本原理F(x)的等價表達(dá)式：

F(x,μ)=x+μ[max(0,-0+2)]2(3-98)其中，μ是一個充分大的正數(shù)。記

α(x)=[max(0,-x+2)]2

(3-99)

通常將μα(x)稱之為罰函數(shù)，記為

P(x,μ)=μα(x)而把新目標(biāo)函數(shù)F(x,μ)=f(x)+P(x,μ)稱之為增廣目標(biāo)函數(shù)基本原理

增廣目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)與參數(shù)μ有密切的聯(lián)系：μ越大，F(xiàn)(x,μ)的無約束極小點(diǎn)就越接近于f(x)的約束極小點(diǎn)xμ，可得而利用圖解法不難看出，原問題的約束極小點(diǎn)正是X=2基本原理

一般情況下：設(shè)原問題為minf(x)

(3-100)s.t.

gi(x)≤0,i=1,2,…,m(3-101)hj(x)=0,j=1,2,…,l(3-102)則可以構(gòu)造無約束極小化問題：minF(x,μ)=f(x)+μα(x)(3-103)其中解題步驟

定理3.37設(shè)對給定的參數(shù)μ,F(x,μ)的無約束極小值為xμ。那么，xμ成為f(x)的約束極小點(diǎn)的充要條件是：xμ是原問題的可行點(diǎn)。定理3.37取初始點(diǎn)X0為非可行點(diǎn),μ0＞0(通常取μ0=1),ε＞0,c＞1(通常取c=10),k=0以Xk為出發(fā)點(diǎn)，求解無約束極小化問題：

minF(X,μk

)=f（X）+μkα(X)設(shè)無約束極小點(diǎn)為Xμk(3)μkα(Xμk)≤ε，輸出Xμk，計算停止；否則，轉(zhuǎn)(4)(4)μk+1=cμk，k=k+1，轉(zhuǎn)(2)

2.罰函數(shù)算法罰函數(shù)法算法例3.24用罰函數(shù)法(外點(diǎn)法)求解：

要求以X(0)=(1,1)為初始點(diǎn)，C=10,迭代3次例題

任選一種無約束極小化算法，可解得F(X,μ0)的無約束極小點(diǎn)為例題以X(1)為出發(fā)點(diǎn)，可求得F(X,μ1)的極小點(diǎn)為例題以X(2)為出發(fā)點(diǎn)，可求得F(X,μ2)的極小點(diǎn)為例題以X(3)為出發(fā)點(diǎn)，可求得F(X,μ3)的極小點(diǎn)為例題而原問題的精確極小點(diǎn)與極小值為X(4)