專題04數列1（等差、等比、通項公式、遞推關系）（新高考）目錄目錄【備考指南】 2 【真題在線】 3【基礎考點】 5【基礎考點一】等差數列基本量的運算 5【基礎考點二】等比數列基本量的運算 6【基礎考點三】等差數列的性質及應用 6【基礎考點四】等比數列的性質及應用 7【基礎考點五】遞推關系與數列周期性 8【綜合考點】 9【綜合考點一】累加、累乘求通項公式 9【綜合考點二】構造法、定義法求通項公式 10【綜合考點三】Sn與an的關系求通項公式【綜合考點四】等差、等比數列的函數特性 12【培優考點】 13【培優考點一】數列的結構不良最值問題 13【培優考點二】數列的不等式恒成立問題 15【總結提升】 16【專項檢測】 18備考指南備考指南考點考情分析考頻等差數列模型2023年新高考Ⅰ卷T72023年新高考Ⅰ卷T202023年新高考Ⅱ卷T182023年全國甲卷T102022年新高考Ⅱ卷T32021年新高考Ⅱ卷T172021年全國乙卷T193年7考等比數列模型2023年新高考Ⅱ卷T82023年全國甲卷T152023年全國乙卷T152022年全國乙卷T102年4考等差與等比綜合2022年新高考Ⅱ卷T17數列分段遞推公式2021年新高考Ⅰ卷T17數列并項遞推公式2023年全國甲卷T17數列結構不良型模型2021年全國甲卷T18數列前n項和與通項關系2022年全國甲卷T17數列與不等式綜合2022年新高考Ⅰ卷T17數列單調性2022年全國乙卷T14預測：等差、等比數列的基本運算和性質的考查是高考熱點，經常以小題形式出現.數列的通項也是高考熱點，難度中檔以下.求數列的通項公式是高考的重點內容，等差、等比數列可直接利用其通項公式求解，但有些數列是以遞推關系給出的，需要構造新數列轉為等差或等比數列，再利用公式求解.利用數列的遞推關系求數列的通項，常見的方法有：(1)累加法，(2)累乘法，(3)構造法(包括輔助數列法，取倒數法，取對數法等).近三年全國卷的考察難點整體是中檔以下，也出現結構不良及數列與不等式綜合性的問題.建議二輪復習時在做好查缺補漏的基礎上要適當拓寬學生的思維，有一定量的思維難度.近幾年一些省市的高考試卷也出現了數列與不等式放縮，數列與導數的綜合問題.值得關注一下.真題在線真題在線一、單選題1．（2023·全國·統考高考真題）記為等差數列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．152．（2023·全國·統考高考真題）設等比數列的各項均為正數，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．403．（2023·全國·統考高考真題）已知等差數列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．4．（2023·全國·統考高考真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件5．（2023·全國·統考高考真題）記為等比數列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．6．（2022·全國·統考高考真題）已知等比數列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．37．（2022·全國·統考高考真題）嫦娥二號衛星在完成探月任務后，繼續進行深空探測，成為我國第一顆環繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．8．（2021·全國·高考真題）記為等比數列的前n項和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．109．（2021·全國·統考高考真題）等比數列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件二、多選題10．（2021·全國·統考高考真題）設正整數，其中，記．則（

）A． B．C． D．三、填空題11．（2023·全國·統考高考真題）記為等比數列的前項和．若，則的公比為．12．（2023·全國·統考高考真題）已知為等比數列，，，則.13．（2022·全國·統考高考真題）記為等差數列的前n項和．若，則公差．基礎基礎考點【考點一】等差數列基本量的運算【典例精講】（多選）（2024·浙江臺州·統考一模）已知等差數列中，，公差為，，記為數列的前n項和，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若，則D．若，則【變式訓練】一、單選題1．（2023·四川成都·統考二模）已知數列的前項和為.若，，則（

）A．95 B．100 C．135 D．1752．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考階段練習）已知等比數列的前項和為，公比為2，且成等差數列，則（

）A．62 B．93 C．96 D．64二、多選題3．（2023·全國·模擬預測）已知公差為d的等差數列的前n項和為，且滿足，則（

）A． B．C．對任意的正整數n，有 D．使得的最小正整數n為4047三、填空題4．（2023·四川攀枝花·統考模擬預測）已知正項等差數列的前項和為，若成等比數列，則的最小值為．【考點二】等比數列基本量的運算【典例精講】（多選）（2023·福建福州·校考模擬預測）設是公比為正數等比數列的前項和，若，，則（

）A． B． C．為常數 D．為等比數列【變式訓練】一、單選題1．（2023·北京東城·統考二模）已知數列中，，，為其前項和，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·模擬預測）已知為等比數列且各項均不為0，向量，且，則（

）A．4 B．2 C．8 D．6二、多選題3．（2023·廣西·統考模擬預測）若數列滿足，則稱為“平方遞推數列”.已知數列是“平方遞推數列”，且，則（

）A．是等差數列 B．是等比數列C．是“平方遞推數列” D．是“平方遞推數列”三、填空題4．（2023·浙江紹興·統考模擬預測）已知等比數列滿足且，則的取值范圍是．【考點三】等差數列的性質及應用【典例精講】（多選）（2023·安徽蚌埠·統考三模）已知等差數列的前項和為，等比數列的前項積為，則下列結論正確的是(

)A．數列是等差數列 B．數列是等差數列C．數列是等比數列 D．數列是等差數列【變式訓練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預測）已知為等差數列的前項和，，則（

）A．240 B．60 C．180 D．1202．（2023·廣東深圳·統考二模）設等差數列的前n項和為，若，，則（

）A．0 B． C． D．二、多選題3．（2023·山東德州·德州市第一中學校聯考模擬預測）設等差數列的前項和為，公差為，，，，下列結論正確的是（

）A．B．當時，的最大值為C．數列為等差數列，且和數列的首項、公差均相同D．數列前項和為，最大三、填空題4．（2023·河南·模擬預測）已知等差數列的前n項和為，若，，則．【考點四】等比數列的性質及應用【典例精講】（多選）（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學校聯考三模）已知數列的前n項和是，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數列B．若，，則是等比數列C．若是等差數列，則，，成等差數列D．若是等比數列，則，，成等比數列【變式訓練】一、單選題1．（2023·四川成都·校聯考一模）在等比數列中，，是方程兩根，若，則m的值為（

）A．3 B．9 C． D．2．（2023·四川巴中·南江中學校考模擬預測）在等比數列中，，，則（

）A．3 B．6 C．9 D．18二、多選題3．（2023下·江西上饒·高二校考階段練習）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（）A． B．1C．的最大值為 D．的最大值為三、填空題4．（2021·四川成都·校聯考三模）已知等比數列的前項和滿足，數列滿足，其中，給出以下命題：①；②若對恒成立，則；③設，，則的最小值為；④設，若數列單調遞增，則實數的取值范圍為．其中所有正確的命題的序號為．【考點五】遞推關系與數列周期性【典例精講】（多選）（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學校聯考三模）已知數列的前n項和是，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數列B．若，，則是等比數列C．若是等差數列，則，，成等差數列D．若是等比數列，則，，成等比數列【變式訓練】一、單選題1．（2023·四川成都·校聯考一模）在等比數列中，，是方程兩根，若，則m的值為（

）A．3 B．9 C． D．2．（2023·四川巴中·南江中學校考模擬預測）在等比數列中，，，則（

）A．3 B．6 C．9 D．18二、多選題3．（2023下·江西上饒·高二校考階段練習）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（）A． B．1C．的最大值為 D．的最大值為三、填空題4．（2021·四川成都·校聯考三模）已知等比數列的前項和滿足，數列滿足，其中，給出以下命題：①；②若對恒成立，則；③設，，則的最小值為；④設，若數列單調遞增，則實數的取值范圍為．其中所有正確的命題的序號為．綜合考點綜合考點【考點一】累加、累乘求通項公式【典例精講】（多選）（2023·重慶·統考模擬預測）已知數列滿足，，，則下列結論正確的有（

）．A．數列是遞增數列 B．C． D．【變式訓練】一、單選題1．（2023·河南鄭州·校考模擬預測）在數列中，，則的前項和的最大值為（

）A．64 B．53 C．42 D．252．（2023·河南·模擬預測）已知數列滿足，，則（

）A．2023 B．2024 C．4045 D．4047二、多選題3．（2023·遼寧朝陽·校聯考一模）已知數列滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．數列為遞減數列 B．C． D．三、填空題4．（2023·江西贛州·統考二模）設為數列的前項和，滿足，其中，數列的前項和為，滿足，則．【考點二】構造法、定義法求通項公式【典例精講】（多選）（2023下·黑龍江雞西·高二雞西市第四中學校考期中）已知數列滿足，，的前項和為，則（

）A． B．C． D．【變式訓練】一、單選題1．（2023·四川·校聯考模擬預測）在數列中，，，且，則下列結論成立的是（

）A． B．C． D．2．（2023·安徽·校聯考二模）已知數列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．2023二、多選題3．（2022·福建·校聯考模擬預測）已知下圖的一個數陣，該陣第行所有數的和記作，，，，，數列的前項和記作，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題4．（2020·四川成都·高三校聯考階段練習）已知數列{an}對任意m，n∈N*都滿足am+n=am+an，且a1=1，若命題“?n∈N*，λan≤+12”為真，則實數λ的最大值為.【考點三】Sn與a【典例精講】（多選）（2023·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）已知數列的前n項和為，且滿足，，則下列說法正確的是（

）A．數列的前n項和為B．數列的通項公式為C．數列不是遞增數列D．數列為遞增數列【變式訓練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預測）已知各項均為正數的數列的前項和為，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．122．（2023·湖南永州·統考一模）若數列的前項和為，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023·湖北黃岡·統考模擬預測）設數列前項和為，滿足，且，則下列選項正確的是（

）A．B．數列為等差數列C．當時有最大值D．設，則當或時數列的前項和取最大值三、填空題4．（2023·上海黃浦·格致中學校考三模）已知正項數列的前項和為，若，，數列的前項和為，則下列結論正確的是.①；②是等差數列；③；④滿足的的最小正整數為10.【考點四】等差、等比數列的函數特性【典例精講】（多選）（2020上·全國·高三校聯考階段練習）已知等比數列首項，公比為q，前n項和為，前n項積為，函數，若，則下列結論正確的是（

）A．為單調遞增的等差數列B．C．為單調遞增的等比數列D．使得成立的n的最大值為6【變式訓練】一、單選題1．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學校考模擬預測）若等差數列的前項和為，且滿足，對任意正整數，都有，則的值為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20232．（2023·上海閔行·上海市七寶中學校考二模）已知數列為等比數列，首項，公比，則下列敘述不正確的是（

）A．數列的最大項為 B．數列的最小項為C．數列為嚴格遞增數列 D．數列為嚴格遞增數列二、多選題3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統考二模）已知數列是各項均為正數的等比數列，是公差大于0的等差數列，且，，則（

）A． B． C． D．三、填空題4．（2022上·甘肅酒泉·高二敦煌中學校考期中）等比數列是遞減數列，前n項的積為，若，則．培優考點培優考點【考點一】數列的結構不良最值問題【典例精講】（多選）（2022·全國·清華附中朝陽學校校考模擬預測）數列滿足，，則下列說法正確的是（

）A．若且，數列單調遞減B．若存在無數個自然數，使得，則C．當或時，的最小值不存在D．當時，【變式訓練】一、單選題1．（2023·江西景德鎮·統考一模）數列前n項和為，且滿足：，，，，下列說法錯誤的是（

）A．B．數列有最大值，無最小值C．，使得D．，使得2．（2023·江西·校聯考模擬預測）已知數列滿足，，，則以下說法不正確的是（

）A．， B．，C．數列存在最大項 D．數列不存在最小項二、多選題3．（2023·全國·模擬預測）大衍數列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項都代表太極衍生過程．已知大衍數列滿足，，則（

）A．B．C．D．數列的前2n項和的最小值為2三、填空題4．（2023·北京海淀·中央民族大學附屬中學校考模擬預測）已知是各項均為正數的無窮數列，其前n項和為，．給出下列四個結論：①；②數列有最大值，無最小值；③；④存在，使得.其中所有正確結論的序號是．【考點二】數列的不等式恒成立問題【典例精講】（多選）（2023·江蘇揚州·統考模擬預測）在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答問題．設數列的前項和為，滿足________，．(1)求數列的通項公式；(2)若存在正整數，使得對恒成立，求的值．【變式訓練】一、單選題1．（2023·重慶·統考二模）若不等式對任意恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2020·全國·統考一模）已知定義在上的函數滿足，且當時，.設在上的最大值為（），且數列的前項的和為.若對于任意正整數不等式恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學校考模擬預測）已知等差數列中，，記數列的前項和為，若，對任意的恒成立，則整數的最小值是4．（2022上·山西·高三校聯考階段練習）已知等比數列的公比為，前項和為，且滿足.若對一切正整數，不等式恒成立，則實數的取值范圍為.總結提升總結提升1.已知Sn求an的步驟(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式.(3)對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，若符合，則數列的通項公式合寫；若不符合，則應該分n＝1與n≥2兩段來寫.2.Sn與an關系問題的求解思路根據所求結果的不同要求，將問題向不同的方向轉化.(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解.(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解.3.構造法求數列通項的常用方法(1)形如an＝pan－1＋q(p≠1，q≠0)的形式，通常可構造出等比數列an＋eq\f(q,p－1)＝peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(q,p－1)))，進而求出通項公式.(2)形如an＝pan－1＋qn，此類問題可先處理qn，兩邊同時除以qn，得eq\f(an,qn)＝peq\f(an－1,qn)＋1，進而構造成eq\f(an,qn)＝eq\f(p,q)·eq\f(an－1,qn－1)＋1，設bn＝eq\f(an,qn)，從而變成bn＝eq\f(p,q)bn－1＋1，從而將問題轉化為第(1)個問題.(3)形如qan－1－pan＝anan－1，可以考慮兩邊同時除以anan－1，轉化為eq\f(q,an)－eq\f(p,an－1)＝1的形式，進而可設bn＝eq\f(1,an)，遞推公式變為qbn－pbn－1＝1，從而轉變為上面第(1)個問題.(4)形如an＝eq\f(man－1,k（an－1＋b）)(其中n≥2，mkb≠0)取倒數，得到eq\f(1,an)＝eq\f(k,m)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,an－1)))?eq\f(1,an)＝eq\f(kb,m)·eq\f(1,an－1)＋eq\f(k,m)，轉化為(1)中的類型.(5)形如an＝paeq\o\al(r,n－1)(n≥2，an，p>0)兩邊取常用對數，得lgan＝rlgan－1＋lgp，轉化為(1)中的類型.4.等差數列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d；5.等比數列的通項公式：an＝a1·qn－1.6.等差數列的求和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d；7.等比數列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))8.通項性質：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對于等差數列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，對于等比數列，有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).9.前n項和的性質(m，n∈N*)：對于等差數列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數列；對于等比數列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數列(q＝－1且m為偶數情況除外).專項專項檢測一、單選題1．（2023·新疆喀什·校考模擬預測）若，則（

）A．55 B．56 C．45 D．462．（2023·河南洛陽·模擬預測）已知數列滿足，且，則數列的前18項和為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·模擬預測）已知等比數列的前n項和為，．若，則n的最大值為（

）A．7 B．6 C．5 D．44．（2023·河南駐馬店·統考二模）設數列的前項和為，，且，若恒成立，則的最大值是（

）A． B． C． D．85．（2023·全國·模擬預測）已知等差數列的前n項和為，，則（

）A．60 B．120 C．180 D．2406．（2023·全國·模擬預測）已知正項數列滿足，若存在，使得，則的最小值為（

）A．32 B．64 C．128 D．2567．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級中學統考模擬預測）設為數列的前項和，若，，則下列各選項在正確的是（

）A． B．C． D．8．（2022·全國·校聯考模擬預測）設為等差數列的前項和，且，都有.若，則（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是二、多選題9