第一章章末檢測時間：120分鐘，滿分150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．下列表述中正確的是()A．{0}＝? B．{(1，2)}＝{1，2}C．{?}＝? D．0∈N【答案】D【解析】由集合的性質可知，?表示沒有任何元素的集合，而{0}表示有一個元素0，故A錯誤；{(1，2)}表示有一個元素，是點的集合，而{1，2}表示有2個元素的集合，是數集，故B錯誤；?表示沒有任何元素的集合，而{?}表示有一個元素?，故C錯誤．故選D．2．已知集合A＝{1，2}，B＝{1}，則下列關系正確的是()A．BA B．B∈AC．B?A D．A?B【答案】C【解析】因兩個集合之間不能用“∈或”，首先排除選項A，B．因為集合A＝{1，2}，B＝{1}，所以集合B中的元素都是集合A中的元素，由子集的定義知B?A．故選C．3．（2023年屯昌二模）命題“x∈R，x2＝1”的否定形式是()A．x∈R，x≠1或x≠－1 B．x∈R，x≠1且x≠－1C．x∈R，x≠1或x≠－1 D．x∈R，x≠1且x≠－1【答案】D【解析】命題“x∈R，x2＝1”的否定形式是“x∈R，x≠1且x≠－1”．故選D．4．命題p：“x2－3x－4＝0”，命題q：“x＝4”，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】根據題意，p：“x2－3x－4＝0”，即x＝4或x＝－1，則有若q：“x＝4”成立，則p：“x2－3x－4＝0”成立，反之若p：“x2－3x－4＝0”成立，則q：“x＝4”不一定成立，即p是q的必要不充分條件．故選B．5．“eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0))”是“eq\f(1,xy)＞0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0))eq\f(1,xy)＞0，eq\f(1,xy)＞0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜0，,y＜0，))所以“eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0))”是“eq\f(1,xy)＞0”的充分不必要條件．故選A．6．（2023年北京模擬）已知集合M＝{x|x－1＞0}，集合N＝{x|x－2≥0}，則()A．M?N B．N?MC．M∩N＝? D．M∪N＝R【答案】B【解析】由M＝{x|x－1＞0}＝{x|x＞1}，N＝{x|x－2≥0}＝{x|x≥2}，可得N?M．故選B．7．（2023年安陽模擬）已集合A＝{x|ax＋3＝0}，B＝{x|x2＝9}，若A?B，則實數a的取值集合是()A．{1} B．{－1，1}C．{－1，0，1} D．{0，1}【答案】C【解析】∵B＝{－3，3}，∴當a＝0時，A＝?，滿足A?B；當a≠0時，若A?B，則A＝{3}時，a＝－1，A＝{－3}時，a＝1．∴a的取值集合是{－1，0，1}．故選C．8．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B?A，則實數m的取值范圍是()A．（－∞，2] B．（2，4]C．[2，4] D．（－∞，4]【答案】D【解析】因為B?A，當B＝?時，即m＋1≥2m－1，解得m≤2；當B≠?時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))解得2＜m≤4．綜上所述，可得m≤4．故選D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝1))的解集可表示為()A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x，y)\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝1)))))) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x，y)\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))))))C．(1，2) D．{(2，1)}【答案】ABD【解析】方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝1))只有一個解，解為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))所以方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝1))的解集中只有一個元素，且此元素是有序數對，所以A，B，D都符合題意．10．（2023年當涂開學考試）下列命題為真命題的是()A．x＜0，使得|x|＞0B．x≥0，都有|x|＝xC．已知集合A＝{x|x＝2k}，B＝{y|y＝3k}，則對于k∈N*，都有A∩B＝?D．x∈R，使得方程x2＋2x＋5＝0成立【答案】AB【解析】對于A，當x＜0時，|x|＝－x＞0，A正確；對于B，當x≥0時，|x|＝x，B正確；對于C，當k∈N*時，A∩B＝{x|x＝6k}，C錯誤；對于D，∵Δ＝4－20＝－16＜0，∴x∈R，方程x2＋2x＋5＝0都不成立，D錯誤．故選AB．11．下列命題正確的有()A．A∪?＝? B．?U(A∪B)＝(?UA)∪(?UB)C．A∩B＝B∩A D．?U(?UA)＝A【答案】CD【解析】A∪?＝A，故A錯誤；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)，故B錯誤；A∩B＝B∩A，故C正確；?U(?UA)＝A，故D正確．故選CD．12．下列條件能成為“x＞y”的充分條件的是()A．xt2＞yt2 B．xt＞ytC．x2＞y2 D．0＜eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)【答案】AD【解析】由xt2＞yt2可知，t2＞0，故x＞y，故A為充分條件；由xt＞yt可知，t≠0，當t＜0時，有x＜y，當t＞0時，有x＞y，故B不是；由x2＞y2，則|x|＞|y|，推不出x＞y，故C不是；由0＜eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)，因為函數y＝eq\f(1,x)在區間(0，＋∞)上單調遞減，可得x＞y＞0，故D是充分條件．故選AD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（2023年大通期末）已知命題p：x0∈R，xeq\o\al(2,0)－3x0＋3≤0，則?p為________．【答案】x∈R，x2－3x＋3＞0【解析】命題p：x0∈R，xeq\o\al(2,0)－3x0＋3≤0，則?p：x∈R，x2－3x＋3＞0．14．已知集合A＝{－2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，則實數a值集合為________．【答案】{0，－1，2}【解析】因為A∪B＝A，所以B?A，當B＝?時，a＝0；當B≠?時，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))，則eq\f(2,a)＝－2或eq\f(2,a)＝1，解得a＝－1或a＝2，所以實數a值集合為{0，－1，2}．15．（2023年深圳期末）已知“x≥2a－1”是“x≥3”的充分條件，則實數a的取值范圍是________．【答案】{a|a≥2}【解析】由題意得x≥2a－1x≥3，故2a－1≥3，解得a≥2，故實數a的取值范圍是{a|a≥2}．16．（2023年上海金山區期末）已知集合A＝{(x，y)|x－ay＋2＝0}，B＝{(x，y)|ax－4y＋4＝0}，若A∩B＝?，則實數a的值為________．【答案】－2【解析】集合A＝{(x，y)|x－ay＋2＝0}，B＝{(x，y)|ax－4y＋4＝0}，A∩B＝?，則1×(－4)＝－a·a，解得a＝±2，當a＝2時，直線x－ay＋2＝0與ax－4y＋4＝0重合，不符合題意，當a＝－2時，直線x－ay＋2＝0與ax－4y＋4＝0不重合，符合題意，故實數a的值為－2．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－3≤x≤1}．(1)求?RA；(2)求B∪(?RA)．解：(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，∴?RA＝{x|x＜－1或x＞2}．(2)B∪(?RA)＝{x|－3≤x≤1}∪{x|x＜－1或x＞2}＝{x|x≤1或x＞2}．18．（12分）命題p是“對任意實數x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a，b是常數．(1)寫出命題p的否定；(2)當a，b滿足什么條件時，命題p的否定為真？解：(1)命題p的否定：存在實數x，有x－a≤0且x－b＞0．(2)要使命題p的否定為真，則需要使不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－a≤0，,x－b＞0))的解集不為空集，通過畫數軸（畫數軸略）可看出，a，b應滿足的條件是b＜a．19．（12分）（2023年濰坊期末）設全集U＝R，已知集合A＝{x|－1＋a≤x≤1＋a}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－4,x－1)))＞0))．(1)若a＝3，求A∪B；(2)若A∩B＝?，求實數a的取值范圍．解：(1)當a＝3時，A＝{x|2≤x≤4}，由eq\f(x－4,x－1)＞0，得(x－4)(x－1)＞0，即B＝{x|x＜1或x＞4}，∴A∪B＝{x|x＜1或x≥2}．(2)已知A＝{x|－1＋a≤x≤1＋a}，由(1)知B＝{x|x＜1或x＞4}．∵A∩B＝?且B≠?，∴－1＋a≥1且1＋a≤4，解得2≤a≤3，∴實數a的取值范圍為{a|2≤a≤3}．20．（12分）已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分別求滿足下列條件的a的值．(1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B．解：(1)因為9∈(A∩B)，所以9∈B且9∈A，所以2a－1＝9或a2＝9，解得a＝5或a＝±3，檢驗知a＝5或a＝－3．(2)因為{9}＝A∩B，所以9∈(A∩B)，所以a＝5或a＝－3．當a＝5時，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，此時A∩B＝{－4，9}，與A∩B＝{9}矛盾，故舍去；當a＝－3時，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}，滿足題意．綜上可知，a＝－3．21．（12分）（2023年寧波期末）在①x∈A是x∈B的充分不必要條件；②A?B；③A∩B＝?這三個條件中任選一個，補充到本題第(2)問的橫線處，求解下列問題．問題：已知集合A＝{x|m－1≤x≤m＋1}，集合B＝{x||x|≤2}．(1)當m＝2時，求A∪B；(2)若________，求實數m的取值范圍．解：(1)因為|x|≤2，所以－2≤x≤2．所以B＝{x|－2≤x≤2}．當m＝2時，A＝{x|1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－2≤x≤3}．(2)由(1)得B＝{x|－2≤x≤2}，選①，x∈A是x∈B的充分不必要條件，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2，,m－1≥－2，))且等號不同時成立，解得－1≤m≤1．選②，A?B，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2，,m－1≥－2，))解得－1≤m≤1．選③，A∩B＝?，則m－1＞2或m＋1＜－2，解得m＞3或m＜－3，即實數m的取值范圍是{m|m＞3或m＜－3}．22．（12分）設a，b，c為△ABC的三邊，求證：方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°．證明：充分性．因為∠A＝90°，所以a2＝b2＋c2，于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化為x2＋2ax＋a2－c2＝0，所以x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0，所以[x＋(a＋c)][x＋(