PAGEPAGE1重慶市烏江新高考協作體2024屆高三上學期期中數學試題一、選擇題1.設集合，．則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.2.設全集，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，，所以，，A錯，，，，B錯，，，C對，，D錯，故選：C.3.已知等差數列中，，則（）A.7 B.11 C.9 D.18【答案】C【解析】設等差數列的性質可知：，所以.故選：C.4.如圖是一個棱長為2的正方體被過棱、的中點、，頂點和過點頂點、的兩個截面截去兩個角后所得的幾何體，則該幾何體的體積為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】如圖將正方體還原可得如下圖形：則，，，所以該幾何體的體積.故選：C5.已知平面直角坐標系中的3點，則中最大角的余弦值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，根據夾角公式，；，根據夾角公式，；，根據夾角公式，.由，，，于是是鈍角，是銳角，最大角是，余弦值為.故選：C6.已知，為銳角，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，又，為銳角，所以，，且．因為，為銳角，，所以，又，所以，故．故選：D.7.已知函數在定義域上的值不全為零，若函數的圖象關于對稱，函數的圖象關于直線對稱，則下列式子中錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵函數的圖象關于對稱，∴函數的圖象關于對稱，令，∴，即，∴…⑴令，∵其圖象關于直線對稱，∴，即，∴…⑵由⑴⑵得，，∴…⑶∴，由⑵得,∴；∴A對；由⑶，得，即，∴B對；由⑴得，，又，∴，∴C對；若，則，∴，由⑶得，又，∴，即，與題意矛盾，∴D錯.故選：D.8.如圖，在棱長為2的正方體中，是的中點，點是側面上的動點，且截面，則線段長度的取值范圍是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】取CD的中點為N,的中點為R,的中點為H,作圖如下:由圖可知,,所以四邊形為平行四邊形,所以,因為,所以,因為,故平面MNRH//平面,因截面,所以平面,線段MP掃過的圖形為,由知,,在中,,即,所以，所以,即為直角,故線段長度的取值范圍為,即,故選:B.二、多項選擇題9.已知復數在復平面內對應的點為P，則（）A.P在第二象限 B.P在第四象限C. D.z的虛部為【答案】AC【解析】由題意，復數，所以其對應的點位于第二象限，所以A正確，B錯誤；由復數的虛部為，所以D錯誤；又由共軛復數的概念，可得，所以C正確.故選：AC10.已知圓：，則下列說法正確的是（）A.點在圓內 B.圓的半徑為1C.圓關于對稱 D.直線與圓相切【答案】BCD【解析】已知圓：，則其標準方程為，∴，B選項正確；圓心，將點到圓心的距離，所以，點在圓外，A選項錯誤；將圓心代入直線，得成立，所以直線過圓心，則圓關于直線對稱，C選項正確；因為圓心到直線的距離，所以直線與圓相切，D選項正確.故選：BCD11.記等比數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，S3＝6，則S4＝（）A.－10 B.－8 C.8 D.10【答案】AC【解析】設等比數列的公比為，由于，，則，或，所以或，故選：AC.12.如圖，已知三個兩兩互相垂直的半平面，，交于點，矩形的邊在半平面內，頂點，分別在半平面，內，，，與平面所成角為，二面角的余弦值為，則同時與半平面，，和平面都相切的球的半徑為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】如圖所示，將矩形ABCD所在的平面，補形為一個長方體，然后以點O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O–xyz，由，與平面所成角為，得，作底面于點P，則平面APB，從而，所以即為二面角的平面角，即的余弦值為，則，故，，，，所以，，設平面ABCD的法向量，則，令，得，從而，設平面ABCD與軸的交點分別為：，則，所以，，所以，，所以原問題進一步等價于求三棱錐O-P1P2P3的內切球半徑，由于，故是等腰三角形，其面積為，三棱錐的表面積為，其體積為，設外接球半徑為R，利用等體積法有，即，同理，當球在三棱錐外面與四個面都相切時，球的半徑為，故選：AC．三、填空題13.函數的圖象在處的切線方程是________．【答案】（或）【解析】由題意可得，則，，故所求切線方程為，即（或）．故答案為：14.若等差數列的前10項和為30，前20項和為100，則前30項和為_________【答案】【解析】設等差數列的前項和為，則，，成等差數列，即成等差數列，所以，，故答案為：.15.若方程在上有兩個不同的實數根，則實數a的取值范圍為______．【答案】【解析】作出，與的大致圖象，如圖所示．由圖象，可知，即，故實數a的取值范圍為．故答案為：.16.已知數列滿足，.給出下列四個結論：①數列每一項都滿足；②數列的前項和；③數列每一項都滿足成立；④數列每一項都滿足.其中，所有正確結論的序號是_________________.【答案】①③④【解析】由，，得，，，，②錯誤；，又因為，所以，所以，①正確；由可得，即，又，兩邊同時除以，可得：，，…，，累加可得，又因，所以，即有，當時，，所以，③正確；由，得，則當時，，則，當時，，所以，故④正確.故答案為：①③④.四、解答題17.已知，則求：（1）集合A的子集的個數，并判斷與集合A的關系（2）請寫出集合A的所有非空真子集解：（1）的子集有，，，，，，，共8個，其中.（2）集合A的所有非空真子集有，，，，，.18.已知命題p:x2+2x-15≤0，命題q:︱x-1︱≤m(m>0)，若?p是?q的必要不充分條件，求實數m的取值范圍解：x2+2x﹣15≤0的解集為[﹣5，3]，故命題p成立有x∈[﹣5，3]，由︱x-1︱≤m(m>0)，，得x∈[1﹣m，m+1]，若?p是?q的必要不充分條件，即p是q的充分不必要條件，因此有[﹣5，3]為[1﹣m，m+1]真子集，即，（兩個等號不能同時取到），解得：.19.如圖，在平面四邊形中，點與點分別在的兩側，對角線與交于點，.（1）若中三個內角、、分別對應的邊長為、、，的面積，，求和；（2）若，且，設，求對角線的最大值和此時的值.（1）解：因為的面積，即，整理可得，所以，，又因為，則，設，則，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，因為，則，所以，，因為，則，所以，，因為，則，所以，，解得，即.（2）解：因為，則，其中，則，由余弦定理可得，則，在中，，，由余弦定理可得，所以，，故，故為等腰直角三角形，則，所以，，易知，則，故當時，即當時，取最大值，且最大值為.20.如圖，在三棱臺中，，平面,，，且D為中點.求證：平面；證明：由題意，以點坐標原點，，,分別為，，軸，建立空間直角坐標系，

則，則，故，，即，又平面，故平面.21.過點的直線分別與軸、軸的正半軸交于A，B兩點，求（O為坐標原點）面積取得最小值時的直線方程．解：由題意知直線的斜率存在且不為零，設直線的方程為，即，在直線的方程中，令，可得；令，可得.所以點，由已知條件可得，