PAGEPAGE1黑龍江省齊齊哈爾市五校聯考2024屆高三上學期期中考試數學試題一、單項選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以或，所以，因，即：，，解得：，因為，所以，所以．故選：B2.已知i為虛數單位，則復數的模為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵∴.故選：C.3.已知是定義在上的奇函數，當時，，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因為是定義在上的奇函數，且,所以.故選:B.4.在中，，，，則邊上的高的長度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，，，得，由余弦定理得：，邊上的高的長度為．故選：A.5.已知函數，則“”是“在上單調遞增”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】因為在上單調遞增，所以，所以是的必要不充分條件，即是“在上單調遞增”的必要不充分條件，故選：C.6.已知函數在上單調遞增，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當時，，在上單調遞增，，解得：，即，，，則由得：，解得：.故選：C.7.已知函數存在減區間，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知,因為函數存在減區間,則有解,即有解,令,,令,解得;令,解得,所以在單調遞減,單調遞增,所以,因有解,所以,解得.故選:D.8.已知，，，則（）A B.C. D.【答案】B【解析】易知，，設，則，所以單調遞增，所以，故，所以設，則，所以單調遞減，所以，即，所以，綜上，.故選：B.二、多項選擇題9.已知，則函數的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由于當時，，排除B，C，當時，，此時函數圖象對應的圖形可能為A，當時，，此時函數圖象對應的的圖形可能為D.故選：AD.10.已知函數，下列說法正確的是（）A.當時，；當時，B.函數的減區間為，增區間為C.函數的值域D.恒成立【答案】ACD【解析】對于選項A，當時，；當時，，故選項A正確；對于選項B，，令可得，有，可知函數的減區間為，增區間為，故選項B錯誤；對于選項C，由上可知，時，，故選項C正確；對于選項D，，令，有，令可得，故函數的增區間為，減區間為，可得，故選項D正確．故選：ACD．11.已知為銳角，且，則（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】由得：，；對于A，由得：，A錯誤；對于B，，，，，則，解得：，又，，B正確；對于C，，，，，，；，又，，，，，C正確；對于D，，，，，，解得：，，則，，D錯誤.故選：BC.12.已知函數是定義在上的奇函數，且當時，.對于數列及數列，若，下列說法正確的是（）A.存在數列，使得與都為等比數列B.存在數列，使得與都為等差數列C.存在數列，使得為等比數列，且為等差數列D.存在數列，使得為等差數列，且為等比數列【答案】BCD【解析】因為為定義在上的奇函數，令，則，，又為奇函數，所以，所以，若為等比數列，由，可知公比，設，則，所以不為定值，且為定值，設，則，所以也不為定值，即A錯誤，C正確；若為等差數列，由，可知公差，所以可取，即，此時令，則，解得，此時，，，滿足為等差數列，即B正確；令，則，解得，此時，，，，滿足為等比數列，即D正確.故選：BCD.三、填空題13.已知，，則向量，的夾角的余弦值為_______.【答案】【解析】.故答案為：14.設等差數列的前項和為，若，則______.【答案】【解析】當時，，則；當時，，兩式相減，整理得，設公差為，則，即，所以，所以.故答案為：.15.已知函數的定義域為，滿足，當時，的定義域為，則___________.【答案】【解析】，故為上的奇函數，，則，，，為周期為4的周期函數，.故答案為：16.已知函數是定義在上的奇函數，且對于任意非零實數，均有．當時，．若的值域為，則的取值范圍為______．（可參考的不等式結論：恒成立）【答案】【解析】，，，易知當時，，若當時，，則當時，，此時顯然的值域不為，不符題意，又，所以不等式在內有解，且恒成立，即在內有解，且恒成立，設，則，綜上，當時，，單調遞增，，設，則，易知，即，綜上．故答案為：．四、解答題17.已知為銳角，且滿足.（1）求的值；（2）求的值.（1）解：因為為銳角，所以，所以，所以，所以；（2）解：由（1）知，，所以.18.在中，內角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若的面積為，，求的值.解：（1）因為，所以，即，所以，又，所以.（2）由正弦定理知，，所以，所以，解得，所以.19.已知函數且.（1）當時，求的值域；（2）若在上的最大值大于，求的取值范圍.解：（1）由得：，則的定義域為；當時，，當時，（當且僅當時取等號），，則的值域為.（2）；令，則在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，的值域為；當時，，，解得：（舍）；當時，，，解得：；綜上所述：實數的取值范圍為.20.在數列，中，已知，，且，.（1）證明：數列是等比數列；（2）求數列的前項的和.（1）證明：由題意可知，，則，且，所以數列是以8為首項，2為公比的等比數列；（2）解：由（1）可知，，所以，所以，又，所以，又，即是等比數列，首項為4，公比為2，所以，即，所以，即.21.已知函數，其中是自然對數的底數．（1）若，證明：函數的極小值為0；（2）若存在兩條直線與曲線和曲線均相切，求的取值范圍．解：（1）依題意，，求導得：，令，，由得，由得，因此函數在上遞減，在上遞增，而，則，又，即存在，使得，當或時，，當時，，即函數在上單調遞增，在上單調遞減，因此當時，取得極小值，所以函數的極小值為0.（2）令與曲線和曲線均相切的直線同曲線相切于點，而，有，因此該切線方程為，顯然直線與相切，由消去y并整理得：，因此，整理得，令，依題意，函數有兩個不同的零點，，當時，，，當時，，即函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，而函數在上單調遞減，函數值集合為，因此函數在上的取值集合為，當時，令，，令，則，即函數在上單調遞增，，因此函數在上單調遞增，，即，則當時，，顯然拋物線開口向上，在上無最大值，因此函數在上的取值集合為，從而當，即，存在，使得，于是得當時，函數有兩個不同的零點，所以的取值范圍是.22.已知函數，其中.（1）討論函數單調性；（2）若函數有且僅有兩個零點，求實數的取值范圍.解：（1）函數的定義域為R，，①當時，，可得，此時函數為增函數，增區間為R，沒有減區間；②當時，令，可得或，此時函數的增區間為，減區間為；（2）①當時，由，當時，有，，可得，令，有，令，可得函數的增區間為，減區間為，有，可得，得，有，可知當時，.由上知當時，函數沒有零點，不合題意；②當時，方程可化為，兩邊取對數可得，整理為，令，有，令，有，可