PAGE1專題11尺規作圖與幾何證明（解析版）1.（2024·河南·統考中考真題）如圖，在中，是斜邊上的中線，交的延長線于點E．

（1）請用無刻度的直尺和圓規作，使，且射線交于點F（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）證明（1）中得到的四邊形是菱形【答案】（1）見解析（2）見解析【小問1詳解】解：如圖，

；【小問2詳解】證明：∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵在中，是斜邊上的中線，∴，∴平行四邊形是菱形．2．（2023·河南·統考中考真題）如圖，中，點D在邊上，且．（1）請用無刻度的直尺和圓規作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）若（1）中所作的角平分線與邊交于點E，連接．求證：．【答案】（1）見解析（2）見解析【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求，【小問2詳解】證明：∵平分，∴，∵，，∴，∴．3.（2022·河南·統考中考真題）如圖，反比例函數的圖像經過點和點，點在點的下方，平分，交軸于點．（1）求反比例函數的表達式．（2）請用無刻度的直尺和圓規作出線段的垂直平分線．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）（3）線段與（2）中所作的垂直平分線相交于點，連接．求證：．【答案】（1）（2）圖見解析部分（3）證明見解析【小問1詳解】解：∵反比例函數的圖像經過點，∴當時，，∴，∴反比例函數的表達式為：；【小問2詳解】如圖，直線即為所作；【小問3詳解】證明：如圖，∵直線是線段的垂直平分線，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴．4.（2021·河南·統考中考真題）下面是某數學興趣小組探究用不同方法作一個角的平分線的討論片段，請仔細閱讀，并完成相應的任務．小明：如圖1，(1)分別在射線OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(點C，E不重合)；(2)分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點為P，垂足分別為點G，H；(3)作射線OP，射線即為∠AOB的平分線．

簡述理由如下：

由作圖知，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，則∠POG=∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線．

小軍：我認為小明的作圖方法很有創意，但是太麻煩了，可以改進如下，如圖2，(1)分別在射線OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(點C，E不重合)；(2)連接DE，CF，交點為P；(3)作射線OP.射線OP即為∠AOB的平分線．任務：

(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依據是______(填序號)．

①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL

(2)小軍作圖得到的射線0P是∠AOB的平分線嗎？請判斷并說明理由．

(3)如圖3，已知∠AOB=60°，點E，F分別在射線OA，OB上，且OE=OF=3+1.點C，D分別為射線OA，OB上的動點，且OC=OD，連接DE，CF，交點為P，當∠CPE=30°時，直接寫出線段OC的長．【答案】（1）⑤，（2）見詳解；（3）2或2+3【解析】解：(1)如圖1，由作圖得，OC=OD，OE=OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，

∴∠PGO=∠PHO=90°，

∵OE?OC=OF?OD，

∴CE=DF，

∵CG=12CE，DH=12DF，

∴CG=DH，

∴OC+DG=OD+DH，

∴OG=OH，

∵OP=OP，

∴Rt△PGO≌Rt△PHO(HL)，

故答案為：⑤．

(2)射線OP是∠AOB的平分線，理由如下：

如圖2，∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，

∴△DOE≌△COF(SAS)，

∴∠PEC=∠PFD，

∵∠CPE=∠CPF，CE=DF，

∴△CPE≌△DPF(AAS)，

∴PE=PF，

∵OE=OF，∠PEO=∠PFO，PE=PF，

∴△OPE≌△OPF(SAS)，

∴∠POE=∠POF，即∠POA=∠POB，

∴OP是∠AOB的平分線．

(3)如圖3，OC<OE，連接OP，作PM⊥OA，則∠PMO=∠PME=90°，

由(2)得，OP平分∠AOB，∠PEC=∠PFD，

∴∠PEC+30°=∠PFD+30°，

∵∠AOB=60°，

∴∠POE=∠POF=12∠AOB=30°，

∵∠CPE=30°，

∴∠OCP=∠PEC+∠CPE=∠PEC+30°，∠OPC=∠PFD+∠POF=∠PFD+30°，

∴∠OCP=∠OPC=12(180°?∠POE)=12×(180°?30°)=75°，

∴OC=OP，∠OPE=75°+30°=105°，

∴∠OPM=90°?30°=60°，

∴∠MPE=105°?60°=45°，

∴∠MEP=90°?45°=45°，

∴MP=ME，

設MP=ME=m，則OM=MP?tan60°=3m，

由OE=3+1，得m+3m=3+1，解得m=1，

∴MP=ME=1，

∴OP=2MP=2，

∴OC=OP=2；

如圖4，OC>OE，連接OP，作PM⊥OA，則∠PMO=∠PMC=90°，

同理可得，∠POE=∠POF=12∠AOB=30°，∠OEP=∠OPE=75°，∠OPM=60°一、單選題1．（2024·河南新鄉·二模）如圖，在中，，按如下步驟作圖，①以點為圓心，小于的長為半徑作弧交，于點，；②分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線，交于點，過點作交于點，已知，，則的長為（

）A． B．3 C． D．【答案】B【詳解】解：∵，，，∴，由作圖知平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：．2．（2024·信陽·三模）如圖，在的兩邊上分別截取、，使；再分別以點為圓心、長為半徑作弧，兩弧交于點，連接．若，四邊形的面積為，則的長為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：根據作圖方法，可得，∵，∴，∴四邊形是菱形．∵，四邊形的面積為，∴，解得（cm）．故選：．3．（2024·河南安陽·一模）如圖，在矩形中，以點為圓心，的長為半徑畫弧，交于點E，再分別以點C，E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點．若，，則的長為（

）A．5 B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，連接，根據作圖過程可知：是的平分線，，在和中，，，，在中，，，，，在中，，，，，解得：．故選：B．4．（2024·周口·二模）如圖，直線，直線分別交，于點，，以點為圓心，長為半徑畫弧，若在弧上存在點使，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖所示，，由作法得：，，，，，，，故選：A．5．（2024·河南·三模）尺規作圖，要求：Ⅰ、過直線外一點作這條直線的垂線；、作線段的垂直平分線；、過直線上一點作這條直線的垂線；、作角平分線．如圖是按上述要求排亂順序的尺規作圖，則正確的配對是（

）A．圖--，圖--，圖--Ⅰ，圖-- B．圖--，圖--，圖--，圖--ⅠC．圖--，圖--，圖--，圖--Ⅰ D．圖--，圖--Ⅰ，圖--，圖--【答案】D【詳解】解：圖是作角平分線，對應Ⅳ圖2是過直線外一點作這條直線的垂線，對應Ⅰ，圖3是作線段的垂直平分線，對應Ⅱ，圖4是過直線上一點作這條直線的垂線，對應Ⅲ，故選：D．6．（2024·河南周口·三模）如圖，在平面直角坐標系中，已知點以原點O為圓心，以長為半徑畫弧，交x軸負半軸于點B，連接；分別以點A，B為圓心，以長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點C，連接；現將線段繞原點逆時針旋轉，每次旋轉，則第91次旋轉結束時，點C的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖：過點A作軸∵點∴在，∴∵已知點以原點O為圓心，以長為半徑畫弧，交x軸負半軸于點B，連接；分別以點A，B為圓心，以長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點C，∴是的垂直平分線，是等邊三角形∴即∴即∵現將線段繞原點逆時針旋轉，每次旋轉，∴則第91次旋轉結束時，到位置，過點作軸∴∵∴∵∴∴∵點在第一象限∴則第91次旋轉結束時，點C的坐標為故選：B．7．（2024·平頂山·三模）如圖，在中，，，點，分別是圖中所作直線和射線與，的交點．根據圖中尺規作圖痕跡推斷，以下結論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：根據圖中尺規作圖可知，AC的垂直平分線交AB于D，BP平分∠ABC，∴，；選項A、B正確；∵，∴∠ACD=∠A=40°，∵，，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴，選項D錯誤；∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=115°，選項C正確；故選：D8．（2024·新鄭·一模）如圖，等腰三角形中，，按以下要求作圖：①以點A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交于D,E兩點；②分別以點D、E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點F；③作射線，交于點M；④分別以A、B為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧分別交于G,H兩點；⑤作直線，交于點N，連接．則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【詳解】解：根據作圖過程可知：AM平分∠BAC，GH是邊AB的垂直平分線，∵AB＝AC＝6，AM平分∠BAC，∴AM是邊BC上的中線，∴BM＝CM，∵GH是邊AB的垂直平分線，∴AN＝BN，∴MN是△ABC的中位線，∴MNAC＝3．故選：B．9．（2024·南陽·二模）如圖，線段是半圓O的直徑。分別以點A和點O為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點，作直線，交半圓O于點C，交于點E，連接，，若，則的長是（

）A． B．4 C．6 D．【答案】A【詳解】解：根據作圖知CE垂直平分AC，∴，，∴，∴，即，∵線段AB是半圓O的直徑，∴，在中，根據勾股定理得，，故選A．二、解答題10．（2024·河南商丘·二模）如圖，已知反比例函數的圖象經過點，在軸負半軸上有一點，連接．(1)求反比例函數解析式；(2)請用無刻度直尺和圓規，在軸負半軸上找一點，使得；(不寫作法，保留痕跡)；(3)在(2)的條件下，求證：．【答案】(1)(2)見解析(3)證明見解析【詳解】（1）解：∵反比例函數的圖象經過點∴∴，∴反比例函數解析式為，（2）解：如圖所示，點即為所求；；（3）證明：由（2）知，，，，．11．（2024·河南信陽·一模）如圖，正比例函數的圖像與反比例函數的圖像相交于點．(1)求點的坐標和反比例函數的表達式．(2)請用無刻度的直尺和圓規，作出線段的垂直平分線．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）(3)線段的垂直平分線交軸于點，求線段的長．【答案】(1)，(2)作圖見解析(3)【詳解】（1）解：∵點在正比例函數的圖像上，∴，∴，∵點在反比例函數的圖像上，∴，解得：，∴反比例函數的表達式為，∴點的坐標為，反比例函數的表達式為；（2）解：如解圖所示，直線即為所求；

（3）解：如圖，過點作軸于點，連接，設點，由題意知：是的垂直平分線，∴，∵，∴，，∵，∴，解得：，∴，∴．12．（2024·河南駐馬店·二模）如圖，在中，，．(1)請用無刻度的直尺和圓規作的垂直平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若（1）中所作的垂直平分線與邊交于點D，連接，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）如圖，即為所作；（2）證明：∵，，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴．13．（2024·河南周口·三模）如圖，為銳角三角形．(1)用無刻度的直尺和圓規在所在直線的右上方找一點D，使，且．（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，過點D作，交于點E．求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）解：如圖，點D為所求．（2）證明：如圖所示：∵，∴．又∵，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴．14．（2024·河南新鄉·二模）閱讀材料：尺規作圖是起源于古希臘的數學課題，是指用沒有刻度的直尺和圓規作圖．無刻度直尺在作圖時只可用來畫直線、射線或線段．請根據以上材料按要求進行作圖．(1)如圖1，在中，，請用無刻度直尺與圓規在邊上作出一點，使得過點且與相切．（保留作圖痕跡，不需說明作圖步驟）(2)如圖2，在正方形網格中，每個小正方形的頂點叫做格點，B，C，D是網格中的四個格點，且．作圖：請在圖2中僅用無刻度直尺作出一點O，使得過點且與相切于點D（保留作圖痕跡，不需說明作圖步驟）【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）解：圖形如圖1所示：（2）解：圖形如圖2所示．15．（2024·河南·三模）如圖，在中，，O為線段上一點，以O為圓心、為半徑的圓與相切于點B．(1)求的度數；(2)請用圓規和無刻度的直尺作的角平分線，交于點D；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用鉛筆作圖）(3)連接，判斷是否是等邊三角形？如果是，請證明：如果不是，請說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)是等邊三角形，理由見解析【詳解】（1）解：如圖，連接，∵線段與相切于點B，∴，且，∴，∴，∴；∴；（2）如圖，（3）是等邊三角形，∵，∴，又∵平分，且，，∴，∴是等邊三角形．16．（2024·新密·二模）如圖，中，．(1)請完成尺規作圖：過點作，垂足為．（要求：不寫做法，保留作圖痕跡．）(2)在（1）的基礎上，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）如圖所示，即為所求；（2）解：如圖所示，依題意，，∴又．∴∵∴∴∴∴17．（2024·商丘·一模）如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線與相交于點M，與相交于點O，與相交于點N，連接(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形；（2）解：四邊形是菱形，，設長為，則，在中，即，解得：，．18．（2024·河南駐馬店·三模）（1）如圖，在所給正方形網格圖中完成下列各題：

①畫出格點（頂點均在格點上）關于直線對稱的；②的面積=；（2）在上畫出點，使最小；（3）如圖，兩個班的學生分別在、兩處參加植樹勞動，現要在道路、的交叉區域內設一個茶水供應點，使到兩條道路的距離相等，且使，請你通過尺規作圖找出這一點，（不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】（1）①見解析；；②（2）（3）【詳解】（1）①如圖所示；②（2）連接，交直線于點，則點即為所求點．

（3）如圖所示：點即為所求．

19．（2024·河南開封·二模）如圖，中，．

(1)尺規作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：①作的平分線，交于點；②作的垂直平分線，垂足為點，交于點；(2)連接，求證：．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析【詳解】（1）解：①如圖所示，的平分線為所求；②如圖所示，的垂直平分線為所求；

（2）證明：連接，

直線垂直平分，，，是等腰三角形，是的平分線，，且，是的垂直平分線，，．20．（2024·濮陽·三模）如圖，在中，．(1)實踐與操作：按照下列要求完成尺規作圖，并標出相應的字母．（保留作圖痕跡，不寫作法）①作的垂直平分線交于點，交于點；②在線段的延長線上截取線段，使，連接，，．(2)猜想與證明：試猜想四邊形的形狀，并進行證明．【答案】(1)見解析(2)四邊形為菱形，證明見解析【詳解】（1）解：按照要求，如圖所示，即為所求作的圖形．．（2）猜想：四邊形為菱形．證明：為的垂直平分線，，，∴四邊形為平行四邊形，又，∴四邊形為菱形．21．（2024·南陽·三模）如圖，在中，．．(1)若以點為圓心的圓與邊相切于點，請在圖中作出點；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若該圓與邊相交于點，連接，點為該圓上任意一點（不與點、點重合），連接、．當時，求證：．【答案】(1)圖見解析(2)見解析【詳解】（1）解：如圖點即為所求，（2）如圖，∵是的切線，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴．22．（2024·安陽·二模）下面是小明同學設計的“過直線外一點作這條直線的垂線”的尺規作圖過程．已知：直線l及直線l外一點P．求作：直線PQ，使得PQ⊥l．作法：如圖，①在直線l上取一點A，以點P為圓心，PA長為半徑畫弧，與直線l交于另一點B；②分別以A，B為圓心，PA長為半徑在直線l下方畫弧，兩弧交于點Q；③作直線PQ．所以直線PQ為所求作的直線．根據小明設計的尺規作圖過程，（1）使用直尺和圓規，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接PA，PB，QA，QB．∵PA＝PB＝QA＝QB，∴四邊形APBQ是菱形（填推理的依據）．∴PQ⊥AB（填推理的依據）．即PQ⊥l．【答案】（1）見解析；（2）四邊相等的四邊形是菱形，菱形的對角線互相垂直【詳解】（1）如圖所示．（2）證明：連接PA，PB，QA，QB．∵PA＝PB＝QA＝QB，∴四邊形APBQ是菱形（四邊相等的四邊形是菱形）（填推理的依據）．∴PQ⊥AB（菱形的對角線互相垂直）（填推理的依據）．即PQ⊥l．故答案為：四邊相等的四邊形是菱形，菱形的對角線互相垂直．23．（2024·登封·三模）如圖，在中，平分交于點．

(1)實踐與操作：利用尺規作圖，過點作的垂線，分別交，于點，；（要求：尺規作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）(2)猜想與證明：試猜想線段與的數量關系，并加以證明．【答案】(1)見解析；(2)，理由見解析．【詳解】（1）如圖，為所作；

（2），理由：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵平分交于點，∴，∴，∴，∵，在與中，，∴，∴，∴．24．（2024·河南鶴壁·二模）如圖，，平分交于點E．(1)【實踐與操作】過點B作的垂線，垂足為點O（要求尺規作圖，保留痕跡，不寫作法）；(2)【猜想與證明】設（1）中的垂線交于點F，連接，試猜想四邊形的形狀，并證明．【答案】(1)圖見解析(2)四邊形是菱形，理由見解析【詳解】（1）如圖，是所求作的垂線．（2）四邊形是菱形，理由如下：平分，．又，而，，，∴四邊形是平行四邊形．，∴四邊形是菱形．25．（2024·開封·一模）如圖，是菱形的一條對角線，點B在射線上．

(1)請用尺規把這個菱形補充完整，（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)若，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）解：如圖所示，四邊形即為所求菱形，

（2）設與相交于點O，∵四邊形為菱形，∴，∵，∴，∴，∴菱形的面積為．26．（2024·河南鄭州·三模）矩形紙片中，，，點M在邊上，且，將矩形紙片折疊，使點B與點M重合，折痕與，分別交于點E，F．(1)請用無刻度的直尺和圓規作出折痕；（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求線段的長．【答案】(1)畫圖見解析(2)【詳解】（1）解：連接，作線段的垂直平分線，分別交，于點E，F，連接，即為所求，如圖：（2）