內蒙古工業大學本科畢業論文引言可再生自然資源（如生物資源等）是自然資源的重要組成部分,是發展經濟,改善和提高人們生活質量的重要物質基礎.近年來,可再生資源的利用強度不斷增大,出現了資源枯竭、再生能力下降等現象.這類資源雖然可以再生,但也不是“取之不盡,用之不竭”的.所以,可再生資源的持續利用問題已成為當前學術界普遍關注的重要研究課題[1,2].但現有研究多偏重于定性分析,對有關最大可持續利用和最大商業利潤下的利用策略的研究較少,所以尋求可再生資源的最大可持續利用量問題也就成為資源科學研究中的一個要點.目前,雖然已有這方面線性利用策略的研究,但利用線性理論還不能更深入的研究這方面內容.所以,我們將利用非線性理論來研究可再生資源的管理與開發.非線性科學作為一門嶄新的科學,已經被應用到地學、環境科學、大氣科學和管理科學等領域中.它的最大特點是能夠量化研究事物之間的的關系和機理.只有深刻了解管理對象（要素）之間的內在動力學關系和演化機制,才能實施科學而有效的管理,從而達到最大限度的合理利用可再生資源的目的.由于資源的分布不合理,利用的方式也不同,實際的利用策略往往并不是線性的.所以本文嘗試運用非線性理論來研究在人類對可再生自然資源非線性利用條件下的策略問題.第一章微分方程穩定性理論§1.1線性系統與非線性系統[3]1.1.1系統的基本概念動力學研究的是系統如何隨時間而變化的.所謂系統,就是指由一些相互聯系(或相互作用)的客體組成的集合.這些客體,既可以是自然科學中的一些物質,如氣體、液體、固體、化合物、生物的各部分或其整體,也可以是各種社會事物和組織,如各種群體或財政經濟結構以及生產力和知識等較抽象的事物.系統的性質或特征是用一些所謂狀態變量(statevariables)所表征的,如粒子的坐標和動量,熱力學中的溫度、壓強和體積,化學反應中各化合物的濃度,以及社會現象中的人口和人口密度、生產力和生產資料,股票行情,等等.當這類狀態變量隨時間變化,也就是系統處于非平衡態時,此時的系統稱為動力(或動態)系統(dynamicalsystem).動力學就是研究動力系統中狀態變量如何隨時間變化(即系統的運動)的一個學科.狀態變化的規律既可能表示為連續形式的微分方程或微分積分方程,也可能用關于狀態變量的離散方程表示.對于一個由微分方程表示的動力系統,如果方程中不顯含時間,又稱其為自治的(autonomous)系統;否則,稱其為非自治的(nonautonomous)系統.1.1.2線性系統與非線性系統的概述非線性科學[4]的理論研究重要的一步是建立數學模型,通過建模來較逼真地描寫客觀動力系統.要做到這一點,最為關鍵的就是關于相互作用的描述,包括系統內部的相互作用、系統與外部的相互作用,以及系統對這些作用的響應和反饋.關于相互作用的描述通常可分為線性和非線性兩類.線性描述的就是所謂的線性模式系統,非線性描述的就是所謂的非線性模式系統.線性模式系統對客觀動力系統的描寫是近似的,往往只適用于描寫系統局部和短時的行為,其特點就是數學上的簡單和物理上的一目了然.非線性模式系統對客觀動力系統的描寫是較客觀的和全局性的,不僅可以描述全空域還可以描寫全時域的行為.其代價就是模式上的復雜帶來了數學求解的困難,大部分的非線性模式是無法求出數學上的解析解的.為了解決這個矛盾,穩定性理論及尋找其近似解的各種方法應運而生.在非線性科學誕生之前,人們多用線性模式來近似研究、處理非線性的客觀動力系統.在客觀世界里,非線性作用和非線性現象是普遍的,而線性作用和線性現象則是非線性作用和非線性現象在極端條件下的特例,是極不普遍的.1.1.3線性和非線性的數學描述如果空間是均勻的（1.1）（1.2）只要是線性（關于或的一次冪）函數,那么系統（1.2）式就是一線性系統.如果是一非線性函數,那么系統（1.2）式就是一非線性系統.如果空間不均勻,即,則（1.3）即個別變化=局地變化+平流項.如果廣義速度是不均勻的,那么是一非線性項,所以不管是否為線性函數,系統（1.2）都是一非線性系統.如果廣義速度是均勻的,那么是一線性項.當是線性函數時,系統（1.2）式是一線性系統,如果是一非線性函數,系統（1.2）式則是一非線性系統.1.1.4線性系統和非線性系統的特點線性系統具有以下顯著特點：均勻性（空間分布均勻、相互作用等權重）;獨立性（代數疊加律）;可逆性.所謂的可逆性指的是當,物理規律或結果僅變號而形式、分布不變,即非線性系統具有以下顯著特點：非均勻（空間分布、相互作用的方式、效應、結果隨時間、地點條件而變）;相干性（各要素喪失其獨立性,遵守矢量疊加原理）;不可逆性（空間不均勻所致,各要素的作用和重要性不同）,如生物進化、天氣演變、地球自轉等演化行為的不可逆性;存在支配與從屬、控制與反饋、策動與響應等對立矛盾的兩個方面.§1.2穩定性分析理論1.2.1線性擾動方程所謂的定態指的是在一定參數下不隨時間變化的態,也就是在相空間里靜止不動的點,即滿足以下條件的點:定態的物理意義是指相空間里廣義相速度為零的點(一個或多個),因為廣義速度為零,系統是靜止的(所以叫做“定”).上式是一代數方程組,可以容易求出其解:.定態的另一個物理含義則是指,當時系統將達到的態.狀態（定態）的穩定性是指系統不隨參數或物理量的微小漲落而遠離該態.在非線性科學里,由于非線性微分方程的求解的困難,一般是很難求得系統任意時刻的狀態.假設系統的初態為某一定態,現給系統一個擾動,,考察系統是否會遠離該定態.擾動后的狀態為：（1.4）所謂的穩定性分析就是研究時刻后該擾動是否放大或衰減.如果經過充分長的時間后,擾動,系統將回到原來的初態,則稱該定態是穩定的.如果擾動不隨時間的增大而衰減并并趨于零反而增大,那么經擾動后的狀態將隨時間的增加而遠離初態.此時,我們稱該定態是不穩定的.一般我們利用多項式展開法和Taylor展開法求非線性動力系統的某一定態的擾動方程,下面介紹確定非線性動力系統的某一定態的擾動方程的步驟：（1）求系統的定態解,：單變量系統：令 （1.5）或雙變量系統：令（1.6）由（1.5）或（1.6）式可求得系統的（由方程的冪次和維數所決定）個定態：或.（2）分別對每一個定態或計算Jacobi矩陣元,并寫出對應的Jacobi矩陣和擾動方程.個定態就有個擾動方程.1.2.2平衡態（系統）的穩定性[5]我們知道,在一維、二維（元）情況下,系統的擾動方程都是線性的,即（1.7）（1.8）對于線性微分方程其解為;,（1.9）二維情況：（1.10）所以,線性擾動方程的解的形式是指數形式的.由于,擾動隨時間增大;,擾動隨時間減少.所以,的正負決定了系統（定態）的穩定與不穩定.而得實、虛數則決定系統定態的物理性質和空間的拓撲結構.現在,我們來討論如何確定的取值.將擾動方程的解代入擾動方程（1.10）式,利用可得所以,要使擾動為零解的條件是（1.11）即（1.12）其中是單位對角矩陣由（1.11）得（1.13）其中（1.14）（1.12）式的解,即特征方程的特征值：（1.15）我們把（1.12）式叫做定態（系統）的特征方程,而則為特征方程的特征根.定態的穩定性分析的關鍵就是對取值的討論.將特征根寫為由（1.15）式可以得出以下的穩定性條件判據：如果,擾動得到放大,平衡態是不穩定的;如果,擾動將得到衰減,平衡態是穩定的;如果,而,平衡態是臨界穩定的.1.2.3奇點（平衡態）的分類第一類：此時方程（1.15）式的兩個根和為同號、不等的實根,這意味著系統將不會出現振蕩（即非周期的曲線或直線）地趨近或遠離定態,該定態（奇點）叫做結點.如果,兩個實根都是大于零的,擾動將隨時間增加而放大,解遠離平衡點,奇點為不穩定的結點.如果,兩個實根都是小于零的,擾動將隨時間增加而減小,最終趨于零,解趨于平衡點,奇點為穩定的結點.第二類：此時特征根是兩個異號（一正一負）的實根（奇點不穩定）,即（1.15）式的解有兩支,一是趨于平衡點,一是遠離平衡點.該奇點稱為鞍點,此時相空間已分為四個區,系統的演化軌線為馬鞍形.鞍點永遠是不穩定的.第三類：此時特征值是兩個不等的復根,,而且這兩個復數根的實部都不為零..此時解的行為時振蕩形的,即做不等振幅的周期運動.我們把該奇點稱為焦點.如果,實部大于零,擾動隨時間增加而放大,解振蕩遠離平衡點（振幅不斷增加）,奇點為不穩定的焦點.如果,實部小于零,擾動隨時間增加而減小,解振蕩趨近平衡點（振幅不斷衰減）,奇點為穩定的焦點.第四類：此時特征值為純虛數（）,解為周期振蕩,奇點為中心點,中心點是臨界穩定的.下面總結在已知數學模型的前提下,對非線性動力系統[6]進行數理分析的步驟：求定態,令：解代數方程組;計算Jacobi矩陣元（用定態值代入）;寫出特征根方程一元;求解特征根方程的所有解,…;根據特征值的虛實和正負來判斷定態的性質和穩定與否;①為純虛數時,平衡態是中心（系統作周期運動）;②為虛數時,平衡態是焦點（系統作變振幅的周期運動）;③為一正一負的實數時,平衡態是鞍點（系統作馬鞍形運動）;④兩值同為正或同為負的實數時,平衡態是結點（系統作非周期曲線或直線運動）;對于一維動力系統,為正或負時,平衡態是結點（系統作直線運動）;⑤如果或,平衡態是不穩定的,反之,或,平衡態是穩定的.§1.3分岔理論[7]1.3.1分岔的定義、條件分岔理論是耗散結構理論、突變理論和混沌理論的基礎.所有的耗散結構、突變和混沌現象都必須經過分岔.但分岔未必能夠出現耗散結構和混沌現象.所以分岔是耗散結構、突變和混沌的必要條件.分岔的定義：由于參數的變化,系統因原平衡態失穩而進入新的平衡態的過程.分岔點的條件分岔點的必要條件分岔點意味著原來的平衡態失穩而分出新的平衡態,所以,分岔點必定是奇點（平衡態）.因此分岔點的必要條件是：一維（元）（1.16）二維（元）（1.17）分岔點的充分條件分岔意味著從一個態分岔出至少兩個態或兩個狀態分支,所以分岔點必定是臨界的.換句話說,分岔點是若干個奇點的一個,故要滿足臨界定態條件,即：從穩定性分析理論可知,對于動力系統如果是奇點條件,那么則是奇點性質判別條件.當時,平衡態是穩定的;當時,平衡態是不穩定的;當時,平衡態將由穩定的變為不穩定的.所以（1.18）是一維動力系統出現分岔的充分條件（臨界定態條件）.對于二維情況,由特征根方程可知,如果這兩個根的實部在某參數值的一側為負,在另一側為正,而在中間則恰好為零,即,則在處有分支存在.所以,其分岔的充分條件為或（1.19）所以,分岔點的充要條件是和（一維）（1.20）和（二維）（1.21）1.3.2一維離散動力系統的分岔離散動力系統也稱映射（迭代）動力系統,一維的映射（迭代）動力系統的數學表達式為（1.22）算子叫做操作,是迭代操作,反映了映射機制和迭代機制.算子相當于函數,是系統本身的性質.的形式不同,所描寫的離散動力系統就不同,動力系統的行為也就不一樣,整個動力系統的行為取決于操作,這一點與連續動力系統的函數相似.對于確定的系統,操作是確定的,只要知道初值,則可逐步迭代求出以后所有各步（次）的值.離散動力系統的不動點離散動力系統的不動點的物理意義類似于連續動力系統的平衡態,都是描寫最終（）的狀態,但數學上式有區別的.對于離散動力系統任意次迭代后仍然不變的點為不動點.所以,不動點的方程為（1.23）而連續動力系統的平衡態方程是（1.24）例1.1求的不動點.不動點方程為（）檢驗：將代入,得該不動點實際就是以下兩直線（方程）的交點：例1.2求蟲口（Logistic）模式的不動點（）.該模式說明下一代蟲口與父母數成正比,與環境容量成正比.其不動點方程為不動點為這兩個不動點實際就是以下兩方程的兩個交點：不動點的穩定性離散動力系統不動點的穩定性是由Floquet（夫洛開）乘子為判據的.這里的Floquet乘子類似于連續動力系統的Jacobi矩陣的特征值,作為判據,其性質類似于.（1.25）對于蟲口模式,,當時,系統只有一個解.而且（）是穩定的.當,系統有兩個解：;.對于：（）不動點不穩定.對于：,（）不動點是穩定的.所以,當參數從變到時,系統發生分岔,分岔點的參數值為,一個穩定的失穩后分岔出一個穩定的.上面我們介紹了蟲口模式一個不動點的情況,是否還有其他的不動點？我們知道離散系統的周期解就是不動點,一個不動點叫周期1,其表達式是.二個不動點叫周期2,其表達式是,即描寫了連續兩次操作：以此類推,個不動點叫周期,其表達式是,即描寫了次連續操作.例1.3對于系統,其連續兩次操作結果為系統只有一個不動點.但對于Logistic模式,連續二次操作結果為即系統有4個解（不動點）,（1.26）不動點和是原來的兩個不動點,而和才是周期2的新解.由于和是周期2的解（不動點）,則有（1.27）（1.27）式說明了,如果第一年蟲口是,第二年就是,第三年又是,第四年又是,…….這是典型的雙穩態如野生螃蟹今年是大年捕撈的多,明年是小年少捕撈（捕撈的人也少了）,后年又是大年,…….例如,取,則,,即不同年（代）的蟲口只在這兩個值上下往返跳動：這就是周期2的物理意義.周期的穩定性判據周期的穩定性也滿足（1.25）式,但此時（1.28）對于Logistic模式,由周期1的條件可知：除了是個分岔點,也是一個分岔點,即當參數時,原來穩定的將失穩,但分岔出新的兩個態和.當（1.29）即當時,和又將失穩,各將分岔出兩個（共是4個）新態,該過程是倍分岔.如時,將分岔出當,,不動點和都是穩定的.對于Logistic模式,其參數取值與分岔過程如下：一個態分岔出2個新的穩定態（）;1～2分岔;和各自分岔出2個新的穩定態,2～4分岔;上述的4個態將分岔出8個新的態,4～8分岔.……周期,,次操作：后,由可知共有個態,其中的個態是新的平衡態.例1.4蟲口模式：,其中.,有利于蟲口繁衍,,不利于蟲口繁衍.當,不動點方程為求得不動點對于,穩定對于,不穩定周期1分岔點的參數約束為所以,當,不動點失穩,分岔出新的不動點（周期2）,它們滿足：第二章再生資源管理與開發模型的建立§2.1模型建立的前提[8]在人類有限度的收獲（捕撈、收割、采集、砍伐等）下,資源一般具有自我恢復能力,即再生能力.漁業資源是一種典型的再生資源,在陸地資源日漸匱乏的21世紀,漁業這一再生資源尤為重要.所以本文將以漁業為例來說明再生資源的管理與開發,將介紹Scheafer資源開發模型和有關的最大經濟效益的收獲策略等基本理論和方法,這些理論和方法對任意的可再生資源的管理與開發都適用.對再生資源最重要的就是適度開發,不能為了一時的高產去“竭澤而漁”.人類應該在持續穩產的大前提下,才可以追求最高產量或最優的經濟效益.所以,資源開發與資源管理是一對矛盾.所謂的開發就是收獲或捕撈,對資源或對蟲口（如魚口）的增長來說,這相當于一個阻力或死亡因素.而所謂的管理,就是捕撈策略.其前提就是必須維持穩定的魚量或資源量,而后再研究如何控制捕撈或使持續產量最大或使捕撈（收獲）的經濟效益最大[9].產量和經濟效益是兩個不同的概念,產量高未必經濟效益就好,這與收獲的代價和市場的價值有關.§2.2Scheafer模型的建立假設在沒有捕撈的情況下,魚（或任意養殖種群）的數量（魚口）遵守Logistic的蟲口模式：（）（2.1）其中,是物種不受環境和資源的限制的固有增長率,是自然資源和環境條件所能容納的最大蟲口數量（密度）.設捕撈強度為,表示特定的捕撈策略,即要求捕魚者每天只能捕撈一定的數量,該數量決定了出海的漁船數和噸位數;捕撈系數為,表示單位強度下的捕撈率.則單位時間的捕撈率為：.如果假設單位時間的捕撈量與漁場魚量成正比,則（2.2）為方便起見,（2.2）式取.由Logistic模型（2.1）式和條件（2.2）式可以容易得到在捕撈情況下漁場魚量滿足的動力方程,即Scheafer模型：()（2.3）這是一個一階二次非線性方程.系統的分岔點的充要條件為即（2.4）（2.4）式的解為所以,系統的分岔條件是,而分岔點為.另一方面,由平衡點（態）條件或可知Scheafer系統（2.3）式有兩個平衡點（態）：平衡點的性質和穩定性討論如下：對于（2.5）即當,為不穩定結點（適度捕撈,系統將離開0而增長）,而當,為穩定結點（過度捕撈,系統始終為0,滅絕了）.對于平衡態,因為（2.6）（2.6）式說明,當（適度捕撈）時,為穩定結點（永遠捕撈不完）;而當（過度捕撈）,為不穩定結點（離開平衡態,向滅絕發展）.綜合（2.5）和（2.6）式有以下結論：（1）時,是一臨界條件,即分岔條件,而分岔點為;（2）時,適度捕撈,魚口將從不穩定的向穩定的平衡態發展,這時漁場里的魚,永遠捕撈不完.我們可以獲得持續的產量：（2.7）而我們如果進行過度捕撈,即時,魚口將從穩定的向滅絕態發展.事實上Scheafer系統的含時解可以用初等積分法求得（2.8）其中為初始魚量.當,時,解漸近地趨于解（穩定態）.說明:只要捕撈適度（）,漁場的魚群總能自行調節到持續生產水平上去,從而獲得持續產量.當,時,解漸近地趨于解(穩定態）.注意,此時的,為負數,是不穩定的,即不現實的態.說明:當捕撈過度時（）,漁場魚量將減至,當然談不上獲得持續產量了,或持續產量.所以過度捕撈只能以逐日減產的形式維持一段時間,直至魚量為0后而沒有任何的捕撈量,系統才達到真正的平衡.第三章模型的分析與結果討論在第二章里,我們只考慮資源（魚量）的可否持續發展（捕撈）的問題,而沒有考慮捕撈的經濟效應[10].如果每次航海只捕撈幾斤的魚,是沒有實際意義的,盡管魚量不會滅絕.這里包含兩個問題：一是每日或每月最多可持續捕撈多少;二是每次捕撈既要保證可持續性,又要保證以最少的捕撈費用得到最大的可持續捕撈魚量.前一問題是關于最大可持續（收獲）捕撈量,而后一問題則是關于如何才能做到漁資源在持續捕撈的條件下為人們提供最大收益的經濟問題.§3.1最大持續收獲量策略下面先解決第一個問題,即最大持續捕魚（收獲）量的策略[11].從數學上來看,最大持續捕魚（收獲）量的策略就是取某一特定的捕撈策略,使可持續產量（穩定的平衡態）,或持續產量為極值（最大捕撈而不滅絕）.即（3.1）將代入,得（3.2）從而求得最大可持續捕撈量（3.3）而漁場的穩定魚量,即平衡態（3.4）從以上的討論可知,是得到最大持續捕魚（收獲）量的策略.如果每天捕的魚量,則為每天的凈增長率;如果每月捕的魚量,則為每月的凈增長率.§3.2最大經濟效益[12]的收獲（捕撈）策略現在我們來討論第二個問題,即如何才能在持續捕撈（收獲）的條件下為人類提供最大的經濟效益.眾所周知,當今對（魚類）資源的開發、利用的目的不是追求最大收（捕撈）量,而是最大經濟效益.最簡單的經濟效益模型就是用從捕撈所得到的收入中扣除開支后的利潤來衡量.因此,我們簡單的假設：單位捕撈強度（如每條出海漁船）的費用為（常數）,魚的銷售為（常數）,那么單位時間的收入和支出分別為（3.5）單位時間的利潤為 （3.6）所謂最大的經濟收益就是在使魚量穩定在（3.7）的約束條件下的（3.8）取極（最大）值.令：,有（3.9）比較（3.2）式最大捕撈下的強度可知,在最大經濟效益下,捕撈強度減小了.而最大利潤下的漁場穩定魚量為：（3.10）比最大捕撈量下的魚量（3.3）式增加了.最大利潤下漁場單位時間的持續產量為（3.11）較最大捕撈下的持續產量有所減小.在最大經濟效益下的最大可持續凈收益[13,14]（3.12）或最大可持續凈收益=最大利潤下漁場單位時間的持續產量價格即與前一模型相比較可以看出,在最大效益原則下捕撈強度和持續產量均有減少,而漁場的魚量則有所增加.而且所減少或所增加的比例隨著捕撈成本的增長（捕得較少）而變大,隨著銷售價格的增長（價格貴,則多捕一點）而變小,這顯然是符合實際情況的.所以,在固定的成本價格體系中以優化持續利潤[15]為目標將會起到保護生物種群的作用,而不會刺激人們對資源進行掠奪式開發.結論本文主要介紹了非線性系統穩定性理論和分岔理論,以及它們在再生資源管理與開發中的應用.本文運用非線性理論,建立了可再生資源（以漁業資源為例）二次非線性收獲的動力模式.本文通過理論知識的介紹,進一步熟悉了微分方程穩定性理論和分岔理論的知識,在這些知識的基礎上,建立了可再生資源管理與應用的模型,通過對模型的分析與討論,我得到以下結論：為了保證可再生資源的可持續利用,必須控制收獲量,采取合理的周期性收獲策略,才能避免可再生資源的過度利用,正確處理好經濟發展與可再生資源保護之間的關系.由于自己學習的還不夠全面,因此,本文只粗淺的討論了可再生資源的最大持續收獲策略和最大經濟效益的收獲策略.隨著現代社會經濟的發展和科學技術的進步,在以后的研究中人們肯定還會利用微分方程的穩定性理論,對再生資源的管理與開