2022年北京市西城區高三一模數學考試逐題解析

局二數學2022.4

本試卷分為第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，滿分15。分，考試

時長120分鐘。考生務必將答案寫在答題紙上，在試卷上作答無效。考試結束后，將

本試卷和答題紙一并交回。

第I卷（選擇題共40分）

一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出

符合題目要求的一項。

1.已知集合4={-2,0,2},3=5,20},則AC|8=

A.{0,2}B.{2}C.{-2,2}D.{-2,0,2}

【答案】A

【解析】vA={-2,0,2},B={x|x>0},

.?.An3={0,2},

故選A

2

2.復數z=——的共輾復數彳=

l+i

A.l-iB.l+iC.---iD.-+-i

2222

【答案】B

2x(l-i)2-212-21].

【解析】vz=—-2-

l+i(l+i)(l-i)1-i2f'

z=1+i,

故選B

3

3.=\og^A,h=log30.3,c=0.3,則

A.a<c<bB.b<c<aC.a<b<cT).b<a<c

【答案】D

【解析】>=log3%在(0,+oo)上為增函數，

/.log30.3<log30.4<log31=0,:.h<a<0,

y=0.3v在R上為減函數，.?.0<0.33<0.3°=1,

.\0<c<l,則b<a<c,

故選D

4.在(L-2%T的展開式中，常數項為

1%)

A.-120B.120C.-160D.160

【答案】C

【解析】J=C；K(一2%)'=(_2)'%，=C：(—2)'%2-6,

令2廠一6=0,:.r=3,

則常數項為Cl(-2)3=20x(-8)=-160,

故選C

22

5.若雙曲線=1的焦點尸(3,0)到其漸近線的距離為石，則雙曲線的方程為

ab

22222222

AA.—尤—y=i1B.三-匕=1C.三-21=1D.￡-匕=1

45543663

【答案】A

h

【解析】設漸近線方程為_y=2%,即云-oy=0,

a

設尸到漸近線的距離為d,且。2=/+從=9,

4b^3

/=C?-。2=4,

???雙曲線方程為￡-￡=1,

45

故選A

6.已知向量a,b滿足時=5,b-(3,4),ab=O.則—4=

A.5B.5>/2

c.ioD.10V2

【答案】B

［解析］|a-Z>|=Ja-bY=yla2-2ab+b2=荷一2而+時，將同=5,例=732+42=5,

a4=0代入，\a-b\=^52-0+52=5^.

故選B

7.已知點4為圓根y+(y-m一1y=2上一點，點8(3,0),當機變化時，線段AB

長度的最小值為

A.lB.2C.V2D.2V2

【答案】C

【解析】由題可知圓。是圓心為C(m,7"+1),半徑r=0的動圓，欲求一定點到圓上一

點距離的最小值，需要先判斷該定點與圓的位置關系.因此將3(3,0)代入圓方程的左側,

22

可得到忸C「=(3一根)2+jn-1)=2m-4m+10=2(m-+8>2=/，所以8(3,0)在圓

。外，貝！.=\BC\.-r,即當加=1時,\AB\.="-應=0.

IIminIlininIlimn

故選c

8.將函數y=sin(2%+°)的圖象向右平移。個單位所得函數圖象關于原點對稱，向左平

移〃個單位所得函數圖象關于y軸對稱，其中()工/工5，。>°，則夕=

A.-B.-

63

C.-D.-

84

【答案】D

【解析】將函數y=sin(2x+⑼的圖象向右平移a個單位可得函數/(x)=sin[2(x-a)+勿,

將函數y=sin(2x+夕)的圖象向左平移a個單位可得函數g(x)=sin[2(x+1)+/].由題，

/(%)圖象關于原點對稱，g(幻圖象關于y軸對稱，所以/(%)應為奇函數，g。)應為偶

函數,即存在K&wZ,使得/(%)=sin(2x+匕兀),g(%)=sin(2x+—+3)，所以

(P-2a=k\K,同時(p+2a=—+k,2n,將兩式相力口，2(p=3+kit,ZeZ,又因為。工04萬，

所以夕

4

故選D

9.在無窮等差數列｛““｝中，公差為d,則“存在"2cN”,使得q+g+%=。"是

“4=kd(左cN*)”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條

【答案】B

【解析】充分性：在等差數列｛%｝中，由％+4+/=冊可得，3q+3d=q+（6-1）1,

§PA]=md,當機=1,2,3,4或大于4的所有奇數時，均無法推出G=以（AwN*）,充分

性不成立；

必要性：由①=依（左cN*）可得，3q+3d=q+（2左+3）d,令機—1=2左+3,貝lJm=2A+4,

因為攵wN*,所以2%+4GN*,所以存在"ZGN”,使得4+%+/=%，必要性成立.

故選B

10.如圖，曲線C為函數y=sinx（0WxW學）的圖象，甲粒子沿曲線。從A點向目的地8

點運動，乙粒子沿曲線。從3點向目的地4點運動.兩個粒子同時出發，且乙的水平

速率為甲的2倍，當其中一個粒子先到達目的地時，另一個粒子隨之停止運動。在

運動過程中，設甲粒子的坐標為（九〃），乙粒子的坐標為（〃〃）,若記丫=/（加），

則下列說法正確的是

A./（㈤在區間g,兀）上是增函數

BJ（附恰有2個零點

CJ（㈤的最小值為-2

D./（m）的圖象關于點（二,0）中心對稱

6

【答案】B

【解析】

由題可得：u---2m,me[0,—J,

24

5兀o

f(m)=n-v=sinm-sin(--2m)=sinm-cos2m=sinm-(\-2sin2m)

=2sin2m+sinm-l,mGL0,—],

4

令f=sin/%,tG

對于A,當me（四,兀）時，fe（0,l）,

2

r=sin/n單調遞減，y=2〃+—l單調遞增，y隨/的增大而增大,

所以/(㈤在區間4,兀)上為減函數，故A不正確；

對于B,令/(/n)=0,nJW(2sinm-l)(sinm+1)=0,所以sinm=；或sin/7i=-l(舍),

此時機=巴或2

66

所以恰有2個零點，故B正確；

1Q

對于C,當sinw=-］時，/O)取得最小值為-W，故C不正確；

對于D,因/(㈤的定義域［0,2］不關于m=2對稱，

46

所以/(⑷的圖象不關于點(3,0)中心對稱，故D不正確

第II卷(非選擇題共110分)

二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分。

11.若拋物線產=2〃%上任意一點到點(1,0)的距離與到直線％=-1的距離相等，則〃=

【答案】2

【解析】?.?拋物線定義可知"=1,.??〃=2.

2

12.已知數列也｝滿足2=九.2,〃GN*),S”為其前〃項和.若%=4,則豈=

an-\2

【答案】124

【解析】?.?等比數列定義可知公比

?*.=a、q'=4=4,

..q—64,

2

13.如圖，在棱長為2的正方體中，點石為棱C。的中點，點F為底面

ABCD內一點，給出下列三個論斷：

?A,F1BE；

②4/=3;

③S4ADF=2sAABF，

以其中的一個論斷作為條件，另一個論斷作為結論，寫出

一個正確的命題：.

【答案】“若A/，8E,則S△包=2SAABF.”或“若S^ADF=2s△A.則4E_LBE.

【解析】連接。尸和B尸，連接Ab并延長至，交于G點.

由題可知建立以。為原點，。4,。。,。。為瑞y衣軸的空間直角坐標系.

設尸A(2,0,2),E(O,1,O),3(2,2,0),

則平=。一2,--2),BE=(-2,-1,0),

:.A^Fl.BE^-2x(x-2)-y=0,即>=一2%+4,

由此可得G為3c中點，則“軌跡為線段AG.

又；S△皿=^\AD\-y=y,5△業=；網.(2一%)=2-x，

-SXADF~2s4ABF

由此得證“若4/_LBE,則％的.=2s”

同法可證“若S&ADF=2s△w則A.FA.BE.

14.調查顯示，垃圾分類投放可以帶來約0.34元/千克的經濟效益.為激勵居民垃圾分

類，某市準備給每個家庭發放一張積分卡，每分類投放1kg積分1分，若一個家庭一個

月內垃圾分類投放總量不低于100kg,則額外獎勵％分(%為正整數).月底積分會按

照0.1元/分進行自動兌換.

①當x=10時，若某家庭某月產生120kg生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換

元；

②為了保證每個家庭每月積分卡兌換的金額均不超過當月垃圾分類投放帶來的收益的

40%,則無的最大值為.

【答案】①13元；②36.

【解析】①120x1=120分，=分，.?.共計120分+10分=130分，

所以有130分x0.1=13元；

②設每個家庭每月投放mkg垃圾，且加2100kg,

則有(m+x)積分，兌換(m+x)x0.1元；

則有(根+%)x0.14x0.34x0.4

即A:<0.36m

又?.?〃22100,

15.已知函數/(%)=|2*-a|-辰-3,給出下列四個結論：

①若a=l,則函數至少有一個零點；

②存在實數3使得函數"%)無零點；

③若”>0,則不存在實數左，使得函數/(%)有三個零點；

④對任意實數。，總存在實數攵使得函數/(%)有兩個零點.

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①②④

【解析】

函數/(%)=|2'-4|-"-3的零點的個數可轉化為函數)，=|21-4|與直線丁=丘+3的交

點個數，從而作圖，結合圖像依次判斷即可。

①若”=1，y=|2*-1|與恒過(0,3)的直線丁=米+3至少有一個交點，故①正確；

②當。=-3,%=0時，y=|2、+3|與直線)=3沒有交點，故②正確；

③若”>0，例。=3時，存在實數k<0且足夠大時，使得y=|2'-3|與>=依+3一定有

三個交點，故③不正確；

④對任意實數a,由圖像可知，總存在實數上使得y=|2*-a|與丁=履+3有兩個交點，

故④正確.

三、解答題：共6小題，共85分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

16.(本小題滿分13分)

在5c中，QCOSBH———b=c.

2

(□)求A的大小；

(□)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得△ABC存在

且唯一確定，求邊上高線的長.

條件①：cosB-史H,h=\；

14

條件②：a=2,c=2A/3；

條件③：h=3,c=百.

注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答給分.

【解析】

G

(□)6/COSJBH-----b=c,

2

由正弦定理得sinAcosB+走sinB=sinC.

2

在△ABC中A+B+C=7r,A,B,CE(0,7r),

所以sinC=sin[不一(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.

所以'^sinB=cosAsinB.

2

因為sinBwO,

所以cosA=—.

2

所以A="

6

(□)

選條件①：

因為在△ABC中，cosB=主包，

14

所以sin8=A/1-COS2B=?

14

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=—x+x_2_=立

2142147

設3c邊上高線的長為〃，

所以//=hsinC=lx?

77

選條件②：

由正弦定理一J=—J得sinC=且，

sinAsinC2

所以C=工或C=生.

33

所以△ABC不唯一.

所以條件②不能選

選條件③：

由余弦定理得a2=b2+c2-2Z?ccosA=9+3-2x3xVScos—=3,

6

所以a=

所以a=c=

所以△ABC為等腰三角形，C=A=工.

6

設3c邊上高線的長為/?，

13

所以〃=bsinC=3x—=—.

22

17.(本小題滿分14分)

如圖，四邊形ABCQ是矩形，B4_L平面AfiCQ,O￡J_平面ABC。,

AB=DE=\,AD=PA=2,點尸在棱尸A上.

(I)求證：BF//平面CDE；

(II)求二面角。一夕￡一4的余弦值；

(III)若點尸到平面PCE的距離為L求線段人廠

3

的長.

【解析】(I)方法一：在矩形ABCD中，AB//CD,

?.?。。＜=平面。。JA3。平面CDE,

，AB〃平面COE,

；PA_L平面ABC。，。石_L平面ABC。，

二.PA//DE,

,：DEu平面CDE,PAcz平面CDE,

：.PA〃平面COE,

VPAp\AB=A,PA,ABu平面R4B,

二.平面尸AB〃平面COE,

,?Bbu平面

BF〃平面CDE.

方法二：在矩形ABC。中，ABIICD,

24_L平面ABC。，。石，平面ABC。,

二.PAIIDE,

又?.?CDu平面COE,￡>￡u平面CD石，CD^DE=D,

B4u平面B43,ABu平面PAB,尸AP|AB=A,

二.平面PAB〃平面COE,

Bbu平面PAB,

〃平面COE.

(H)在矩形ABC。中，ABA.AD,

'：Q4_L平面ABC。，

.二PA±AB,PALAD,

/.AB,AD,PA兩兩垂直，

如圖建立空間直角坐標系A-町z.

則40,0,0),5(1,0,0),C(l,2,0),尸(0,0,2),￡(0,2,1).

APC=(1,2,-2),EC=(l,0,-l).

設平面尸CE的一個法向量為〃=(%,y,z),

則R竺=%+2y-2z=o,

n-EC=x-z=0

令尤=2,得y=l,z=2,y

/?n=(2,1,2).

易知，血=(1,0,0)是平面PAE的一個法向量,

ABn2

cos<AB,n>=

\AB\-\n\3

由圖可知，二面角C-P￡-A為銳角,

7

???二面角c-PE-A的余弦值為4.

3

(III)設4尸的長度為a(0WaW2),

則方(0,0M),而=(0,0,2-4),

二點F到平面尸C石的距離為d=絲?

\n\

畛『

解得”5或,W(舍),

3

???”的長度%.

18.(本小題滿分13分)

2021年是北京城市軌道交通新線開通的“大年”，開通線路的條、段數為歷年最

多.12月31日首班車起，地鐵19號線一期開通試運營.地鐵19號線一期全長約22

公里，共設10座車站，此次開通牡丹園、積水潭、牛街、草橋、新發地、新宮共6

座車站.在試運營期間，地鐵公司隨機選取了乘坐19號線一期的200名乘客，記錄

了他們的乘車情況，得到下表(單位：人)：

上車市\牡丹園積水潭牛街草橋新發地新宮合計

牡丹園III5642724

積水潭12III20137860

牛街57III38124

草橋1399III1638

新發地410162III335

新宮25543III19

合計363656262125200

(I)在試運營期間，從在積水潭站上車的乘客中任選一人，估計該乘客在牛街站下

車的概率；

(II)在試運營期間，從在積水潭站上車的所有乘客中隨機選取三人，設其中在牛街

站下車的人數為X,求隨機變量X的分布列以及數學期望；

(III)為了研究各站客流量的相關情況，用。表示所有在積水潭站上下車的乘客的

上、下車情況，“4=1”表示上車，“。=0”表示下車.相應地，用&2，芻分別

表示在牛街，草橋站上、下車情況，直接寫出方差。”2,大小關系.

【解析】

(I)設“從在積水潭站上車的乘客中任選一人，該乘客在牛街站下車”為事件A,

則Y；

(II)由題意得X的取值范圍是{0,1,2,3}

4

尸(X=0)=嗎。(1)3哈尸(X=l)=

9

171

P(X=3)=^(-)3(-)°=—

分布列為:

X0123

8421

P

279927

vX~B(3,-),E(X)=3x1=l.

(III)>DJi>D或.

19.（本小題滿分15分）

22八

已知橢圓C：?+斗=1（。>〃>0）的離心率為火，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊

crb-2

形周長為4石.

（I）求橢圓C的方程；

（H）直線y=區+皿物?。0）與橢圓C交于兩點，與y軸交于點尸，線段A3的垂直

平分線與A3交于點“，與y軸交于點N,。為坐標原點.如果NMOP=2NMN尸成立,

求上的值.

【解析】

(I)由題意可知：

[c73

e—_—___

a2a2=4

<4，a2+/??=4亞,解得，,。2=1,

a2=b2+c2c2=3

r2

所以橢圓C的方程為匕+y2=i.

4-

方法1：(II)設點A(X1,y),B(x2,y2),M(x0,y0)

，2?,

聯立了+y=i

y=kx+m

整理得：(1+4K)X2+8A7WC+4//—4=0

由△=(8km)2-4(1+4公)(4m2-4)>0,得4公+1>m2

2

—8km4m-4x,+x9-4bn

%+"2=

因為線段AB的垂直平分線與AB交于點M

所以直線MN的斜率為kMN=,方程為y-%=-/)

令x=0,解得丁=4+%

k

因此點N坐標為N(0,&+%)

k

國為/MOP=2/MNP,且ZMOP=/MNP+/OMN

所以/MNP=NOMN,即|OM|=|QV|

因為|0M|=1%°2+%2，|ON|=2+%

K

即：化+升=2+%

K

代入％=kxQ+m

彳導：小+(kx。+——-+kx°+tn

k

平方整理得：％0=李^

公+1

又因為釬點

-2km-4km

即nn：F一=----T

k2+l1+4%2

解得：/6

所以的值為好

方法2：(II)設點A(』，x),B(x2,y2),

聯立1y=1

y=kx+m

整理得：(1+422)X2+8^^+4〃—4=。

由△=(8M2-4(1+422)(4M2—4)>0,得4/+1>帆2

-8km4m2-4

-4km,.-4kmm

所以升=與生--------,y=kx+m=k--------+m=--------

1+4攵2為°nn1+4攵21+4左2

因為線段AB的垂直平分線與AB交于點M

所以直線MN的斜率為%,=」

直線MN的方程為y=-9（x-表）+「黑

K1?^r/v1十^vK

令x=0,解得y=----

-1+48

因此點N坐標為姑叫一駕）

設MN中點為。，則。點坐標為。（奇葭匕源）

因為/MOP=2/MNP,且/MOP=/MNP+ZOMN

所以NMNP=NOMN,^\i\OM\=\ON\,則00，MN

-m

所以KM=K00,即（0=耳忍=」-=2

ABOQ0Q2km2k

1+4公

解得」=±今6所以的值為士?B

20.(本小題滿分15分)

已知函數/(x)=—竺一―1,QW0.

靖+Q

(□)當0=1時，

①求曲線)=/(%)在％=0處的切線方程；

②求證：/(%)在(0,+oo)上有唯一極大值點；

(□)若/(%)沒有零點，求a的取值范圍.

【解析】

(□)vyu)=-^-i

e+ci

.?.當a=l時，/(x)=---1,f(x)=---1,xeR

ex+aex+\

①r(o)=1,/(o)=-i

，曲線y=/(x)在點x=0處的切線的方程為y=

②令g(x)=e*+l-xw(O,+oo)

g'(%)=一x"<0恒成立

g(%)在(0,+8)上單調遞減

???g⑴=l>0,g(2)=-/+1<0

，g(%)一定存在x0e(1,2)使得g(x0)=0

即/”(x)在(1,2)上有唯一零點小,且f'(x)在(0,+s)上單調遞減

/./'(%),/(%)隨％變化的情況如下：

X(O,xo)九0(如+oo)

廣⑴+0—

于(X)/極大值

.?./(%)在(0,+00)上有唯一極大值點

ax-e'-a

(口)/(%)

ev+a

7z(x)=ex+a-ax,則〃'(%)="-a

①若a<0,則“(%)〉。，〃(%)在R上是增函數

11

因為以―)=e”-l+a<0,/z(l)=e>0

a

所以〃(%)恰有一個零點工。

令*+a=0,得/=ln(-a)

代入〃(*0)=0,^-a+a-In(-tz)-0

解得a=—l.

所以當a=-1時，〃(x)的唯一零點為0

此時/(%)無零點，符合題意

②若。>0,此時/(%)的定義域為R

當x<lna時，h\x)<0,〃