1.1電路的組成1.2電流、電壓的參考方向1.3理想電路元件、1.4

實際電源兩種模型的等效變換1.5基爾霍夫定律1.6支路電流法1.7疊加定理1.8戴維寧定理1.9電位

1.1電路的組成二、計劃特點大學生創新創業訓練計劃在組織管理和推動實踐上具有興趣驅動、自主實踐、重在過程等特點。(1)興趣驅動。不限學科專業，在導師指導下根據學生興趣選題，促進學生個性化發展。(2)自主實踐。鼓勵學生結合學科專業，從自身所長與興趣出發，積極參與實踐創新活動，在探索、研究、創新的實踐訓練過程中，提出自己的觀點與見解；鼓勵項目團隊積極參加中國“互聯網+”大學生創新創業大賽等創新創業賽事。(3)重在過程。學生在導師的指導下進行自主選題、自主設計實驗實訓、組建實驗實訓設備、實施實驗實訓、進行數據分析處理和撰寫總結報告等工作，不斷提高學生的自我學習能力、團結協作能力和組織實施能力。電路是電流流通的路徑。它是由一些電氣設備和元器件按一定方式連接而成的。復雜的電路呈網狀，亦稱網絡。電路和網絡是兩個通用的術語。電路的組成方式不同，其功能也不同，它的一種作用是實現能量的輸送和轉換。常見的各種照明電路和動力電路就是用來輸送和轉換能量的。例如在圖１.１.１所示的簡單照明電路中，電池把化學能轉換成電能供給照明燈，照明燈再把電能轉換成光能作照明之用。對于這一類電路來說，一般要求它具有較小的能量損耗和較高的效率。

電路的另一種作用是傳遞和處理信號。由于收到的信號很弱，需要放大電路對信號進行放大。調諧電路和放大電路的作用就是完成對信號的處理。組成電路的元器件以及連接方式雖然多種多樣，但都包含有電源、負載和連接導線這三個基本組成部分。電源是將非電形態的能量轉換為電能的供電設備。其中蓄電池將化學能轉換成電能，發電機將機械能轉換成電能，而信號源則一般將非電量轉換成電信號。負載是將電能轉換成非電形態能量的用電設備。其中電動機將電能轉換成機械能，照明燈將電能轉換成光能，而電爐則將電能轉換成熱能。導線起著溝通電路和輸送電能的作用。實際的電路除以上三個基本部分以外，還常常根據實際工作的需要增添一些輔助設備。從電源來看，電源本身的電流通路稱為內電路，電源以外的電流通路稱為外電路。當電路中的電流是不隨時間變化的直流電流時，這種電路稱為直流電路，簡稱ＤＣ。當電路中的電流是隨時間按正弦規律變化的交流電流時，這種電路稱為交流電路，簡稱ＡＣ。國家標準規定不隨時間變化的物理量用大寫字母表示，隨時間變化的物理量用小寫字母表示，因此在本書中用Ｉ、Ｕ、Ｅ表示直流電路物理量（電流、電壓、電動勢），用ｉ、ｕ、ｅ表示交流電路的相應物理量。1.2電流、電壓的參考方向在進行電路的分析和計算時，需要知道電壓和電流的方向。在簡單的直流電路中，可以根據電源的極性判別出電壓和電流的實際方向，但在復雜的直流電路中，電壓和電流的實際方向往往是無法預知的，而且可能是待求的；在交流電路中，電壓和電流的實際方向是隨時間不斷變化的。因此，在這些情況下，只能給它們假定一個方向作為電路分析和計算時的參考。這些假定的方向稱為參考方向或正方向。如果根據假定的參考方向解得的電壓或電流為正值，則說明假定的參考方向與其實際方向一致；如果解得的電壓或電流為負值，則說明所假定的參考方向與實際方向相反。因而在選定的參考方向下，電壓和電流都是代數量。今后在電路圖中所畫的電壓和電流的方向都是參考方向。原則上參考方向是可以任意選擇的，但是在分析某一個電路元件的電壓與電流的關系時，需要將它們聯系起來選擇，這樣設定的參考方向稱為關聯參考方向。今后在單獨分析電源或負載的電壓與電流的關系時選用如圖１．２．１所示的關聯參考方向。其中電源電流的參考方向是由電壓參考方向所假定的低電位經電源流向高電位。負載電流的參考方向是由電壓參考方向所假定的高電位經負載流向低電位。符合這種規定的參考方向稱為參考方向一致。電路分析中的許多公式都是在規定的參考方向下得到的，例如大家熟悉的歐姆定律，在Ｕ與Ｉ的參考方向關聯時，有當Ｕ與Ｉ的參考方向非關聯時，為了使所得結果與實際符合，式（1.2.1）應改寫為1.3理想電路元件由實際電路元件組成的電路稱為電路實體。由于電路實體的形式和種類多種多樣，為了找出電路實體分析和計算的共同規律，研究具體電路建立分析和計算的方法，把電路實體中各個實際的電路元件都用表征其物理性質的理想電路元件來代替。這種用理想電路元件組成的電路稱為電路實體的電路模型。電路理論是以電路模型而不是以電路實體為研究對象的。實際電路元件的物理性質，從能量轉換的角度來看，有電能的產生、電能的消耗以及電場能量和磁場能量的儲存。理想電路元件就是用來表征上述這些單一物理性質的元件，它包括理想無源元件和理想有源元件兩類。1.3.1理想無源元件理想無源元件包括電阻元件、電容元件和電感元件三種。表征上述三種元件電壓與電流關系的物理量為電阻、電容和電感，它們又稱為元件的參數。一提起這三個名詞，人們往往會立即聯想起實際電路元件：電阻器、電容器和電感器，它們都是人們為得到一定數值的電阻、電容或電感而特意制成的元件。嚴格地說，這些實際電路元件都不是理想的，但在大多數情況下，可將它們近似看成理想電路元件。正是這個緣故，人們習慣上也以這三種參數的名字來稱呼它們。這樣，電阻、電容和電感這三個名詞既代表了三種理想電路圖1.3.1電阻元件，又是表征它們量值大小的參數。１．電阻電阻是表征電路中消耗電能的理想元件。歐姆定律是用來說明電阻中電壓與電流關系的基本定律。電流流過電阻時要消耗電能，所以電阻是一種耗能元件。若電路的某一部分只存在電能的消耗而沒有電場能和磁場能儲存，這一部分電路便可用圖1.3.1所示的電阻元件來代替。圖1.3.1中的電壓和電流都用小寫字母表示，以示它們可以是任意波形的電壓和電流。電壓ｕ與電流ｉ的比值Ｒ為式中，Ｒ稱為電阻，單位是Ω（歐姆）。在圖1.3.1所示的關聯參考方向下，若Ｒ為一個大于零的常數，則這種電阻稱為線性電阻（如果Ｒ大于零，但不是常數，則這種電阻稱為非線性電阻）。本章主要討論由線性電阻和理想有源元件組成的線性電路。在直流電路中，電阻的電壓與電流的關系可用式（1.3.1）表示，它們的乘積即為電阻上消耗的功率，即２．電感電感是用來表征電路中磁場能存儲這一物理性質的理想元件，是一種儲能元件。圖1.3.2（ａ）所示是用導線繞制的實際電感線圈，通入電流ｉ會產生磁通Φ，若磁通Φ與線圈Ｎ匝相交鏈，則磁通鏈Ψ＝ＮΦ。根據法拉第電磁感應定律，電感元件兩端的電壓和通過電感元件的電流方向為關聯參考方向時，有當電壓ｕ的單位為Ｖ，電流ｉ的單位為Ａ，磁通鏈Ψ的單位為Ｗｂ，時間ｔ的單位為ｓ（秒）時，電感的單位為Ｈ（亨利）。式（1.3.5）表明：對Ｌ值一定的線性電感線圈而言，任意時刻元件兩端產生的自感電壓與通過該元件的電流變化率成正比。電感線圈上的這種微分（或積分）的伏安關系說明，當通入電感元件中的電流是穩定恒值電流時，由于電流變化率為零，電感元件兩端的自感電壓ｕＬ也為零，即直流下電感元件相當于短路；當電感電壓ｕＬ為有限值時，通入元件的電流的變化率也為有限值，此時電感中的電流不能躍變，只能連續變化。即電流變化時伴隨著自感電壓的存在，因此又把電感線圈稱為動態元件。線性電感元件的理想化模型符號如圖1.3.2（ｂ）所示，當電感元件不消耗能量時，可認為它是電路中存儲磁場能器件的理想化電路元件，儲存的磁場能為式中，當電感Ｌ的單位為Ｈ（亨利），電流Ｉ的單位為Ａ（安培）時，磁場能的單位為Ｊ（焦耳）。式（1.3.6）說明：電感中所存儲的能量與電感中的電流平方成正比。３．電容電容是用來表征電路中電場能儲存這一物理性質的理想元件，也是一種儲能元件。圖1.3.3所示是電容元件的圖形符號，電容元件的參數用電容量Ｃ表示。當電容元件兩端的電圖1.3.3電容元件的圖形符號壓與電容充、放電電流為關聯參考方向時，電容器極板上的電荷與電容器兩端的電壓關系為

式中，電容Ｃ的大小反映了電容元件儲存電場能的能力，同電感元件Ｌ相似。當電壓ｕ的單位為Ｖ（伏），電量ｑ的單位為Ｃ（庫侖）時，電容Ｃ的單位為Ｆ（法拉）。當電容元件兩端電壓和其支路電流參考方向關聯時，有

式（1.3.8）表明：對一定容量Ｃ的電容元件而言，任意時刻，元件中通過的電流與該時刻電壓變化率成正比。電容也是動態元件。由式（1.3.8）可知，只要電容元件的電流不為零，它一定是在充電或放電狀態下，充電時極間電壓隨充電過程逐漸增加；放電時極間電壓隨放電過程不斷減小。當電容元件的極間電壓不變化時（即電壓變化率為零時），電容支路電流也為零，因此直流穩態情況下，電容元件相當于開路。只要通過電容元件的電流為有限值，電容元件兩端電壓的變化率也必定為有限值，這說明電容元件的極間電壓不能發生躍變，只能連續變化。電容元件是電路中存儲電場能器件的理想化模型，元件上存儲的電場能量為式中，電容Ｃ的單位為Ｆ（法拉），電壓Ｕ的單位為Ｖ（伏特），電場能量ＷＣ的單位為Ｊ（焦耳）。式（1.3.9）說明：電容中所存儲的能量與電容兩端的電壓平方成正比。1.3.2理想有源元件

理想有源元件是從實際電源元件中抽象出來的。若實際電源本身的功率損耗可以忽略不計，而只起產生電能的作用，則這種電源便可以用一個理想有源元件來表示。理想有源元件分為電壓源和電流源兩種。１．電壓源

電壓源又稱恒壓源，符號如圖1.3.4（ａ）所示。它的輸出電壓與輸出電流之間的關系稱為伏安特性，如圖1.3.4（ｂ）所示。電壓源的特點是：輸出電壓Ｕ是由它本身所確定的定值，與輸出電流和外電路的情況無關，而輸出電流Ｉ不是定值，與輸出電壓和外電路的情況有關。例如空載時，輸出電流Ｉ＝０；短路時，Ｉ→∞；輸出端接有電阻Ｒ時，Ｉ＝Ｕ／Ｒ，而電壓Ｕ卻始終不變。因此，凡是與電壓源并聯的元件（包括下面即將敘述的電流源在內），其兩端的電壓都等于電壓源的電壓。實際的電源，例如大家熟悉的干電池和蓄電池，在其內部功率損耗可以忽略不計時，即電池的內電阻可以忽略不計時，便可以用電壓源來代替。其輸出電壓Ｕ就等于電池的電動勢Ｅ。２．電流源電流源又稱恒流源，符號如圖1.3.5（ａ）所示，圖1.3.5（ｂ）是它的伏安特性。電流源的特點是：輸出電流Ｉ是由它本身所確定的定值，與輸出電壓和外電路的情況無關，而輸出電壓Ｕ不是定值，而與外電路的情況有關。例如短路時，輸出電壓Ｕ＝０；空載時，Ｕ→∞；輸出端接有電阻Ｒ時，Ｕ＝ＩＲ，而電流Ｉ卻始終保持不變。因此，凡是與電流源串聯的元件（包括電壓源在內），其電流都等于電流源的電流。實際的電源，例如光電池在一定的光線照射下，能產生一定的電流，在其內部的功率損耗可以忽略不計時，便可以用電流源來代替，其輸出電流就等于光電池產生的電流。實際電源元件，例如蓄電池，它既可以用作電源，將化學能轉換成電能供給負載，而充電時，它又可看做負載，將電能轉換為化學能。1.3.3電源與負載的判別理想有源元件也有兩種工作狀態，電源狀態和負載狀態。可根據Ｕ、Ｉ的實際方向判別電源的工作狀態，當它們的電壓和電流的實際方向與圖1.2.1（ａ）中規定的電源關聯參考方向相同，即電流從“＋”端流出，則電源發出功率；當它們的電壓和電流的實際方向與圖1.2.1（ｂ）中規定的負載關聯參考方向相同時，即電流從“－”端流出，電源吸收功率。1.4實際電源兩種模型的等效變換實際電源模型可以由電壓源ＵＳ和內阻ＲＳ串聯組成，如圖1.4.1所示，其端口的伏安特性可表示為若ＲＳ＝０，即為理想電壓源，ＵＯＣ稱為開路電壓，ＩＳＣ稱為短路電流。這里實際電流源模型也可以由電流源ＩＳ和內阻ＲＳ并聯組成，如圖1.4.2所示，其端口伏安特性可表示為若ＲＳ＝∞，則為理想電流源，其開路電壓和短路電流分別為圖１．４．３實際電壓源模型與電流源模型的等效變換在進行電源等效變換時，要注意以下幾點：（１）實際電壓源模型和實際電流源模型的等效關系只對外電路而言，對電源內部則是不等效的。例如當ＲＬ＝∞時，電壓源模型的內阻ＲＳ中不損耗功率，而電流源模型的內阻Ｒ０中則損耗功率。（２）等效變換時，兩電源的參考方向要一一對應。（３）理想電壓源與理想電流源之間不能等效互換。1.5基爾霍夫定律基爾霍夫定律是分析與計算電路的基本定律，又分為電流定律和電壓定律。1.5.1基爾霍夫電流定律（ＫＣＬ）電路中３個或３個以上電路元件的連接點稱為節點。例如在如圖1.5.1

所示的電路中圖1.5.1

基爾霍夫定律有ａ和ｂ兩個節點。具有節點的電路稱為分支電路，不具有節點的電路稱為無分支電路。兩節點之間的每一條分支電路稱為支路。支路中通過的電流是同一電流。在如圖1.5.1

所示電路中有ａｃｂ、ａｄｂ、ａｅｂ三條支路。

基爾霍夫電流定律是說明電路中任何一個節點上各部分電流之間相互關系的基本定律。由于電流的連續性，流入任何節點的電流之和必定等于流出該節點的電流之和。例如對如圖1.5.1

所示電路的節點ａ來說，有或寫成這就是說，如果流入節點的電流取正，流出節點的電流取負，那么節點ａ上電流的代數和就等于零。這一結論不僅適用于節點ａ，顯然也適用于任何電路的任何節點，而且不僅適用于直流電流，對任意波形的電流來說，上述結論在任一瞬間也是適用的。因此基爾霍夫電流定律可表述為：在電路的任何一個節點上，同一瞬間電流的代數和等于零。用公式表示，即在直流電路中為基爾霍夫電流定律不僅適用于電路中任何節點，而且還可以推廣應用于電路中任何一個假定的閉合面。例如對于如圖1.5.2所示的閉合面來說，電流的代數和應等于零，即由于閉合面具有與節點相同的性質，因此稱為廣義節點。1.5.2基爾霍夫電壓定律（ＫＶＬ）由電路元件組成的閉合路徑稱為回路，在如圖1.5.1所示的電路中有ａｄｂｃａ、ａｄｂｅａ、ａｅ?ｂｃａ三個回路。未被其他支路分割的單孔回路稱為網孔，例如圖1.5.1中有ａｄｂｃａ、ａｄｂｅａ兩個網孔。基爾霍夫電壓定律是說明電路中任何一個回路中各部分電壓之間相互關系的基本定律。例如對如圖1.5.1所示電路中的回路ａｄｂｃａ來說，由于電位的單值性，若從ａ點出發，沿回路環行一周又回到ａ點，電位的變化應等于零，因而在該回路中，與回路環行方向一致的電壓（電位降）之和必定等于與回路環行方向相反的電壓（電位升）之和，即或改寫成這就是說，如果與回路環行方向一致的電壓取正，與回路環行方向相反的電壓取負，那么該回路中電壓的代數和應等于零。這一結論不僅適用于回路ａｄｂｃａ，顯然也適用于任何電路的任一回路。而且不僅適用于直流電壓，對任意波形的電壓來說，上述結論在任一瞬間也是適用的。因此基爾霍夫電壓定律可表述為：在電路的任何一個回路中，沿同一方向循行，同一瞬間電壓的代數和等于零。用公式表示，即在直流電路中為基爾霍夫電壓定律不僅適用于電路中任一閉合的回路，而且還可以推廣到任何一個假想閉合的一段電路，例如在如圖1.5.3所示的電路中，只要將ａ、ｂ兩點間的電壓作為電阻電壓降一樣考慮，按照圖中選取的回路方向，由式（1.5.7）可列出：則1.6支路電流法支路電流法是求解復雜電路最基本的方法，它是以支路電流為求解對象，直接應用基爾霍夫定律，分別對節點和回路列出所需的方程組，然后解出各支路電流。現以如圖1.6.1所示電路為例，解題的一般步驟如下：（１）確定支路數，選擇各支路電流的參考方向。圖1.6.1所示電路有３條支路，即有３個待求支路電流。解題時，需列出３個獨立的方程式。選擇各支路電流的參考方向，如圖1.6.1所示。（２）確定節點數，列出獨立的節點電流方程式。在如圖1.6.1

所示電路中，有ａ、ｂ兩個節點。利用ＫＣＬ列出的節點方程式如下：對節點ａ：對節點ｂ：這是兩個相同的方程，所以對于兩個節點只能有１個方程是獨立的。一般來說，如果電路有ｎ個節點，那么它只能列出ｎ－１個獨立的節點方程式，解題時可在ｎ個節點中任選其中ｎ－１個結點列出方程式。（３）確定余下所需的方程式數目，列出獨立的回路電壓方程式。如前所述，本題共有３條支路，只能列出１個獨立的節點方程式，剩下的２個方程式可利用ＫＶＬ列出。對如圖1.6.1所示的電路，選擇網孔的回路方向如圖中虛線所示，列出的回路方程式如下：回路Ⅰ：回路Ⅱ：回路Ⅲ：然而式（1.6.1）、式（1.6.2）、式（1.6.3）不獨立，即式（1.6.2）加式（1.6.3）等于式（1.6.1）。為了得到獨立的ＫＶＬ方程，應該使每次所選的回路至少包含１條前面未曾用過的新支路，通常選用網孔列出的回路方程式一定是獨立的。一般來說，電路所列出的獨立回路方程式數加上獨立的節點方程式數正好等于支路數。（４）解聯立方程式，求出各支路電流的數值。例1.6.1在如圖1.6.2所示的電路中，已知求各支路電流。

解（１）設各電流的參考方向和回路方向如圖1.6.2所示。對節點ａ列電流方程：（２）選網孔回路為順時針方向，得回路電壓方程：網孔Ⅰ：網孔Ⅱ：網孔Ⅲ：（３）將已知數據代入方程式，整理后得最后解得1.7疊加定理在有多個電源作用的線性電路中，任意支路中的電流都可認為是由各個電源單獨作用時分別在該支路中產生的電流的代數和。對于各個元件上的電壓也是一樣，可認為是各個電源單獨作用時分別在該支路中產生的電壓的代數和。這就是疊加定理，如圖1.7.1所示。例如在如圖1.7.1（ａ）所示的電路中，Ｒ１、Ｒ２、ＵＳ１、ＵＳ２已知，求該電路中電流Ｉ。式中，由上式可以看出，電流Ｉ可分為Ｉ′和Ｉ″兩部分。其中Ｉ′為ＵＳ１單獨作用時產生，Ｉ″為ＵＳ２單獨作用時產生，與之相對應的電路如圖1.7.1（ｂ）、（ｃ）所示，所以圖1.7.1（ａ）可看做是這兩個圖的疊加。應用疊加定理時，要注意以下幾點：（１）在考慮某一電源單獨作用時，應令其他電源中的ＵＳ＝０和ＩＳ＝０，即應將其他電壓源短路，將其他電流源開路。（２）最后疊加時，一定要注意各個電源單獨作用時的電流和電壓分量的參考方向是否與總電流和電壓的參考方向一致，一致時取正，不一致時取負。（３）疊加定理只適用于線性電路，不能用于非線性電路。（４）疊加定理只能用來分析和計算電流和電壓，不能用來計算功率。因為電功率與電流、電壓的關系不是線性關系，而是平方關系。例如圖

1.7.1中電阻Ｒ１消耗的功率為1.8戴維寧定理戴維寧定理又稱等效電源定理。該定理指出，對外部電路而言，任何一個線性有源二端網絡都可以用一個理想電壓源ＵＳＯ和內阻Ｒ０相串聯來代替，如圖1.8.1所示。戴維寧等效電源中的電壓源ＵＳＯ等于該網絡的開路電壓ＵＯＣ，內阻Ｒ０等于有源二端網絡中除去所有電源（電壓源短路，電流源開路）后所得到的無源二端網絡的等效電阻Ｒ０，也等于原有源二端網絡的開路電壓ＵＯＣ與短路電流ＩＳＣ。所謂二端網絡，就是有兩個出線端的部分電路。二端網絡中沒有電源時稱為無源二端網絡，二端網絡中含有電源時稱為有源二端網絡。例1.8.1電路如圖1.8.2（ａ）所示，已知

，

試用戴維寧定理求電流Ｉ３。解（１）斷開待求支路，如圖1.8.2（ｂ）所示。求等效電源電壓的ＵＯＣ。（２）求等效電源的內阻Ｒ０。除去所有電源（理想電壓源短路，理想電流源開路），如圖1.8.2（ｃ）所示，可求得（３）畫出等效電路，如圖1.8.2（ｄ）所示。（４）利用簡化后的電路求出待求電流Ｉ３，即1.9電位電路中只要講到電位，就會涉及電路參考點，工程中常選大地為參考點，在電子線路中則常以多數支路的連接點作為參考點。參考點在電路圖中以“接地”符號標出。所謂“接地”，并非真與大地相接。實際上，電路中某點電位就是該點到參考點之間的電壓。電壓在電路中用ｕ來表示，通常采用雙腳標；電位用Ｖ（或ｕ）表示，一般只用單腳標。在電工技術中大多數場合都用到電壓的概念，而在電子技術中電位的概念則得到普遍應用。因為，絕大多數電子電路中許多元器件都匯集到一點上，通常把這個匯集點選為電位參考點，其他各點都相對這一參考點表明各自電位的高低。這樣做不僅簡化了電路的分析與計算，還給測量與實際應用帶來很大的方便。例1.9.1求如圖1.9.1

所示的電路中各點的電位Ｖａ、Ｖｂ、Ｖｃ、Ｖｄ及各點間的電位差（即電壓）。解如圖1.9.1（ａ）所示，設ａ為參考點，即Ｖａ＝０Ｖ，則有如圖1.9.1（ｂ）所示，設ｂ為參考點，即Ｖｂ＝０（Ｖ），則有從上面的結果可以看出：（１）電位值是相對的，參考點選取得不同，電路中各點的電位也將隨之改變。（２）電路中兩點間的電位差即電壓值是固定的，不會因參考點的不同而變，即與零電位參考點的選取無關。為簡化電路，常常不畫出電源元件，只標明電源正極或負極的電位值。尤其在電子線路中，連接的元件較多，電路較為復雜，采用這種畫法常常可以使電路更加清晰明了，分析問題更加方便。例圖1.9.1（ｂ）可簡化為如圖1.9.2所示的電路。2.1正弦交流電的基本概念2.2正弦交流電的相量表示法2.3單一參數的正弦交流電路2.4串聯交流電路2.5交流電路的功率2.6電路的功率因數2.7電路中的諧振2.8三相交流電路2.1正弦交流電的基本概念交流電路，所謂交流，是指電壓和電流的大小、方向均隨時間作周期性的變化，圖２．１（ｂ）、圖２．１（ｃ）、圖２．１（ｄ）所示為幾種常見的交流信號。交流在人們的生產和生活中有著廣泛的應用。常用的交流電是正弦交流電，即電壓和電流的大小、方向按正弦規律變化，如圖２．１（ｂ）所示。正弦交流電是目前供電和用電的主要形式。

正弦交流電包括正弦電壓和正弦電流，以電流為例，其波形如圖２．１．１所示，其數學表達式為式中：ｉ為電流的瞬時值，Ｉｍ為電流的最大值或幅值，ω為角頻率，Ψｉ為初相位或初相角。只要最大值、角頻率和初相位一定，則正弦交流電與時間的函數關系也就確定了，所以將這三個量稱為正弦交流電的三要素。分析正弦交流電時也應從以下三個方面進行。1.2.1交流電的周期、頻率和角頻率

正弦量交變一次所需要的時間稱為周期Ｔ，單位為ｓ（秒）。每秒內完成的周期數稱為頻率ｆ，單位是Ｈｚ（赫茲）。所以Ｔ與ｆ是互為倒數的關系，即每秒內完成的弧度數稱為角頻率ω，單位為ｒａｄ／ｓ（弧度每秒）。一個周期內經歷的弧度是２π，所以角頻率與周期、頻率的關系為

在我國和大多數國家都采用５０Ｈｚ作為電力標準頻率，有些國家（如美國、日本等）采用６０Ｈｚ。這種頻率在工業上應用廣泛，習慣上也稱為工頻。除工頻外，某些領域還需要采用其他的頻率，如無線電通信的頻率為３０ｋＨｚ～３×１０４ＭＨｚ，有線通信的頻率為３００～５０００Ｈｚ等。２．１．２交流電的瞬時值、最大值和有效值正弦量在任一瞬間的值稱為瞬時值，用小寫字母表示，如ｉ、ｕ和ｅ分別表示瞬時電流、瞬時電壓和瞬時電動勢。最大的瞬時值稱為最大值或幅值，用帶下標ｍ的大寫字母來表示，如Ｉｍ、Ｕｍ和Ｅｍ分別表示電流、電壓和電動勢的幅值。正弦電流、電壓和電動勢的大小往往不是用它們的幅值來計量，而是用有效值來計量。有效值是根據電流的熱效應規定的，定義為：如果一個交流電流ｉ和一個直流電流Ｉ在相等的時間內通過同一個電阻而產生的熱量相等，那么這個交流電流ｉ的有效值在數值上就等于這個直流電流Ｉ。設有一電阻Ｒ，通以交變電流ｉ，在一周期Ｔ內產生的熱量為同是該電阻Ｒ，通以直流電流Ｉ，在時間Ｔ內產生的熱量為根據上述定義，熱效應相等的條件為Ｑａｃ＝Ｑｄｃ，即由此可得出交流電流的有效值為即交流電流的有效值等于瞬時值的平方在一個周期內的平均值的開方，故有效值又稱為均方根值。有效值的定義適用于任何周期性變化的量，但不能用于非周期量。假設這個交流電流為正弦量則因為所以式（２．１．７）給出的就是交流電流的有效值與最大值的關系。同理，正弦交流電壓和電動勢的有效值與它們的最大值的關系為有效值都用大寫字母表示（和表示直流的字母一樣）。式（２．１．７）和式（２．１．８）中的Ｉ、Ｕ和Ｅ分別表示交流電流、交流電壓和交流電動勢的有效值。一般所講的正弦電壓或正弦電流的大小，如交流電壓３８０Ｖ或２２０Ｖ、電器設備的額定值等，都是指它的有效值。一般交流電表的刻度數值也是指它們的有效值。２．１．３交流電的相位、初相位和相位差交流電在不同的時刻ｔ具有不同的（ωｔ＋Ψ）值，交流電也就變化到不同的位置。所以（ωｔ＋Ψ）代表了交流電的變化進程，因此稱（ωｔ＋Ψ）為在不同的時刻ｔ的相位或相位角。ｔ＝０時的相位稱為初相位或初相位角Ψ。顯然，初相位與所選時間的起點有關，正弦量所選的計時起點不同，正弦量的初相位就不同，其初始值也就不同。原則上，計時起點是可以任意選擇的，不過，在進行交流電路的分析和計算時，同一個電路中所有的電流、電壓和電動勢只能有一個共同的計時起點。因而只能任選其中某一個的初相位為零的瞬間作為計時起點。這個初相位被選為零的正弦量稱為參考量，這時其他各量的初相位就不一定等于零了。任何兩個同頻率正弦量的相位角之差稱為相位差，用φ表示。例如：它們的相位差為可見，相位差也等于初相位之差。相位差與時間無關。因為ｕ和ｉ的初相位不同，所以它們的變化步調不一致，即不是同時到達正的幅值或零值。那么它們在相位上的關系有常見的四種，如圖２．１．２所示。２．２正弦交流電的相量表示法相量表示法的基礎是復數，也就是用復數來表示正弦量，這樣可以把復雜的三角運算簡化成簡單的復數形式的代數運算。２．２．１矢量的復數形式及復數的運算法則１．復數的四種形式及相互轉換復平面中的任一矢量都可以用復數來表示，如圖２．２．１所示，該直角坐標的橫軸為±１，稱為實軸，縱軸為±ｊ，稱為虛軸，ｊ＝－１，稱為虛數單位，在數學中用ｉ表示虛數，而在電工學里，為了與電流瞬時值的符號相區別，改用ｊ來表示。設一矢量Ａ，在實軸上的投影長度為ａ，稱為復數的實部，在縱軸上的投影長度為ｂ，稱為復數的虛部，長度ｃ稱為復數的模，它與正實軸之間的夾角Ψ稱為復數的輻角。它們之間的關系為所以式（２．２．２）稱為復數的代數形式。將式（２．２．１）代入式（２．２．２），得式（２．２．３）稱為復數的三角形式。由數學中的歐拉公式：得出則ｊ既是一個虛數單位，同時又是一個９０°旋轉因子。任何相量與ｊ相乘意味著該相量按逆時針方向旋轉了９０°，與（－ｊ）相乘意味著該相量按順時針方向旋轉了９０°。根據式（２．２．５），可將式（２．２．３）寫成或簡寫成式（２．２．６）為復數的指數形式。式（２．２．７）為復數的極坐標形式。２．復數的運算法則設兩個復數分別為則或或小結：復數的這四種形式可以相互轉換。復數在進行加減運算時，應采用代數形式或三角形式，實部與實部相加減，虛部與虛部相加減；在進行乘除運算時，應采用指數形式或極坐標形式，模與模相乘除，輻角與輻角相加減。２．２．２旋轉矢量和正弦量之間的關系設有一正弦電流ｉ＝Ｉｍｓｉｎ（ωｔ＋Ψｉ），其復平面中的旋轉矢量如圖２．２．２（ａ）所示，其波形圖如圖２．２．２（ｂ）所示。圖２．２．２（ａ）中，右邊是一旋轉有向線段Ａ，在復平面中，有向線段ＯＡ的長度ｃ等于正弦量的幅值Ｉｍ，它的初始位置與實軸正方向的夾角等于正弦量的初相位Ψ，則矢量在虛軸上的投影為ｂ＝ｃｓｉｎΨ。當這個矢量以ｃ為半徑，以正弦量的角頻率ω作為角速度在復平面內作逆時針方向的勻速旋轉時，任意時刻這個旋轉矢量在虛軸上的投影為ｂ＝ｃｓｉｎ（ωｔ＋Ψ）。可見，這一旋轉有向線段具有正弦量的三個特征，與正弦量的表達式有著相同的形式，故可用來表示正弦量。正弦量在任意時刻的瞬時值就可以用這個旋轉有向線段任意瞬間在縱軸上的投影表示出來。例如：２．２．３相量及相量圖以上分析說明，正弦量可以用旋轉有向線段來表示，而有向線段可用復數來表示，所以正弦量也可用復數來表示。用以表示正弦量的矢量或復數稱為相量。復數的模即為正弦量的幅值或有效值，復數的輻角即為正弦量的初相位。模長等于最大值的相量稱為最大值相量，模長等于有效值的相量稱為有效值相量。那么，既然相量就是復數，因而相量也有四種形式。由于相量是用來表示正弦量的復數，為了與一般的復數相區別，在相量的字母頂部打上“·”。例如表示正弦電壓ｕ＝Ｕｍｓｉｎ（ωｔ＋Ψｕ）的相量為或其中：稱為電壓的最大值相量，稱為電壓的有效值相量。最大值相量與有效值相量之間的關系為同頻率的若干相量畫在同一個復平面上構成了相量圖。在相量圖上能清晰地看出各正弦量的大小和相位關系。最后還要注意以下幾點：（１）相量只是表示正弦量，而不是等于正弦量。例如相量是個復數，而正弦量是個時間函數。相量只是正弦量進行運算時的一種表示方法和主要工具。（２）只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。（３）只有同頻率的正弦量才能進行相量運算，才能畫在同一個相量圖上進行比較。例２．２．２寫出下列正弦量的有效值相量形式，要求用代數形式表示，并畫出相量圖。２．３單一參數的正弦交流電路２．３．１純電阻電路１．電壓和電流的關系圖２．３．１（ａ）所示為一個線性電阻元件的交流電路，電壓和電流的參考方向如圖中所示。兩者的關系由歐姆定律確定，即為了分析方便，選電流為參考量，也就是令電流的初相位為零，即則比較式（２．３．１）和式（２．３．２），不難看出ｉ和ｕ有如下關系：（１）ｕ和ｉ是同頻率的正弦量。（２）ｕ和ｉ相位相同。（３）ｕ和ｉ的最大值之間和有效值之間的關系為式中：Ｒ為電阻，單位為Ω。（４）ｕ和ｉ的最大值相量之間和有效值相量之間的關系分別為可見，在純電阻電路中，各種形式均符合歐姆定律。波形圖和相量圖分別如圖２．３．１（ｂ）、圖２．３．１（ｃ）所示。２．功率１）瞬時功率在任意瞬間，電壓瞬時值ｕ與電流瞬時值ｉ的乘積，稱為瞬時功率，用小寫字母ｐ表示。由上式可見，ｐ是由兩部分組成的，第一部分是常數ＵＩ，第二部分是幅值為ＵＩ，角頻率為２ω的正弦量，ｐ隨時間變化的波形如圖２．３．１（ｄ）所示。由圖２．３．１（ｄ）可以看出，ｐ≥０，這也正是因為交流電路中電阻元件的ｕ和ｉ同相位，即同正同負，所以ｐ總為正值。ｐ為正，表示外電路消耗能量。在這里表示電阻元件將電能轉換為熱能，說明電阻是一個耗能元件。２）平均功率一個周期內電路消耗電能的平均值，即瞬時功率在一個周期內的平均值，稱為平均功率，也叫有功功率，用大寫字母Ｐ表示。平均功率的波形圖如圖２．３．１（ｄ）所示。２．３．２純電感電路１．電壓和電流的關系圖２．３．３（ａ）是一個線性電感元件的交流電路，電壓和電流的參考方向如圖中所示。為了分析方便，選電流為參考量，即則比較式（２．３．７）和式（２．３．８），不難看出ｉ和ｕ有如下關系：（１）ｕ和ｉ是同頻率的正弦量。（２）ｕ在相位上超前ｉ９０°。（３）ｕ和ｉ的最大值之間和有效值之間的關系分別為式中，ＸＬ為感抗，ＸＬ＝ωＬ＝２πｆＬ，單位為Ω。電壓一定時，ＸＬ越大，則電流越小，所以ＸＬ是表示電感對電流阻礙作用大小的物理量。ＸＬ的大小與Ｌ和ｆ成正比，Ｌ越大，ｆ越高，ＸＬ就越大。在直流電路中，由于ｆ＝０，ＸＬ＝０，所以電感可視為短路，故電感有短直的作用。（４）ｕ和ｉ的最大值相量之間和有效值相量之間的關系分別為波形圖和相量圖分別如圖２．３．３（ｂ）、圖２．３．３（ｃ）所示。２．功率１）瞬時功率電感的瞬時功率為波形圖如圖２．３．３（ｄ）所示。由圖可知，瞬時功率ｐ有正有負，ｐ＞０時，ｉ在增加，這時電感中儲存的磁場能在增加，電感將電能轉換成磁場能；ｐ＜０時，ｉ在減小，這時電感中儲存的磁場能轉換成電能送回電源。電感的瞬時功率的這一特點說明了以下兩點：（１）電感不消耗電能，它是一種儲能元件。（２）電感與電源之間有能量的互換。２）平均功率從平均功率（有功功率）為零這一特點也可以看出，電感是一儲能元件而不是耗能元件。３）無功功率剛才提到了電感和電源之間有能量的互換，這個互換功率的大小通常用瞬時功率的最大值來衡量。由于這部分功率并沒有被消耗掉，所以稱為無功功率，用Ｑ表示，為與有功功率區別，Ｑ的單位用ｖａｒ（乏）表示。根據定義，電感的無功功率為２．３．３純電容電路１．電壓和電流的關系圖２．３．５（ａ）是一個線性電容元件的交流電路，電壓和電流的參考方向如圖中所示。為了分析方便，選電壓為參考量，即則比較式（２．３．１４）和式（２．３．１５），不難看出ｉ和ｕ有如下關系：（１）ｕ和ｉ是同頻率的正弦量。（２）ｕ在相位上滯后ｉ９０°。（３）ｕ和ｉ的最大值之間和有效值之間的關系分別為式中：ＸＣ為容抗，單位為Ω。電壓一定時，ＸＣ越大，則電流越小，所以ＸＣ是表示電容對電流阻礙作用大小的物理量。ＸＣ的大小與Ｃ和ｆ成反比，Ｃ越大，ｆ越高，ＸＣ就越小。在直流電路中，由于ｆ＝０，ＸＣ→∞，所以電容可視為開路，所以電容有隔直的作用。（４）ｕ和ｉ的最大值相量之間和有效值相量之間的關系分別為波形圖和相量圖分別如圖２．３．５（ｂ）、圖２．３．５（ｃ）所示。２．功率１）瞬時功率電容的瞬時功率波形圖如圖２．３．５（ｄ）所示。由圖可知，瞬時功率ｐ有正有負，ｐ＞０時，ｕ在增加，這時電容在充電，電容將電能轉換成電場能；ｐ＜０時，ｕ在減小，這時電容在放電，電容中儲存的電場能又轉換成電能送回電源。電容的瞬時功率的這一特點說明了以下兩點：（１）電容不消耗電能，它是一種儲能元件。（２）電容與電源之間有能量的互換。２）平均功率從平均功率（有功功率）為零這一特點也可以得出電容是一儲能元件而非耗能元件的結論。３）無功功率根據無功功率的定義，電容的無功功率為例２．３．３如圖２．３．５（ａ）所示，已知流過電容的電流ｉ＝５ｓｉｎ（１０６ｔ＋１５°）（Ａ），Ｃ＝０．２μＦ，求電容兩端的電壓ｕ，并畫相量圖。小結：（１）ＸＣ、ＸＬ與Ｒ一樣，有阻礙電流的作用。（２）單一參數的正弦交流電路適用歐姆定律，ＸＣ、ＸＬ等于相應的電壓、電流有效值之比。（３）ＸＬ與ｆ成正比，ＸＣ與ｆ成反比，Ｒ與ｆ無關。（４）對直流電ｆ＝０，ＸＬ＝０，Ｌ可視為短路；ＸＣ＝０，Ｃ可視為開路。（５）對交流電，ｆ愈高，ＸＬ愈大，ＸＣ愈小。三種電路的對應關系如表２．３．１所示。2.4串聯交流電路２．４．１ＲＬＣ串聯電路圖２．４．１（ａ）為電阻、電感和電容元件串聯的交流電路。圖２．４．１（ｂ）為該電路的相量模型，即圖中各參數都用相量的形式標出。在分析交流電路的時候通常是在相量模型上進行分析及計算的。１．電壓和電流的關系電路中各元件通過同一電流，電流與各個電壓的參考方向如圖２．４．１所示。根據基爾霍夫電壓定律可用相量形式列出電壓方程，即因為所以其中：Ｘ為電抗，單位為Ω，Ｘ＝ＸＬ－ＸＣ。在第２．３節中分別討論了純電阻、純電感和純電容交流電路的電壓和電流的關系，那么可以在同一個相量圖上畫出各元件的電壓和總電壓之間的關系，因為是串聯電路，各元件上的電流一樣，因此選擇電流為參考相量比較方便，即假設電流的初相位為０，圖２．４．２所示為電壓相量圖，可見，構成了一個直角三角形，稱為“電壓三角形”，利用這個電壓三角形，可求得電壓的有效值，即由相量圖不難看出，總電壓是各部分電壓的相量和而不是代數和，因此交流電路中總電壓的有效值可能會小于電容或電感電壓的有效值，總電壓小于某部分電壓，這在直流電路中是不可能出現的。２．阻抗、阻抗模、阻抗角式（２．４．１）類似于歐姆定律的形式，因此令式中：Ｚ為阻抗，單位為Ω。可見阻抗的實部為“阻”，虛部為“抗”，阻抗也是一個復數。因此可用極坐標的形式寫成其中式（２．４．３）中，Ｚ稱為阻抗模，單位為Ω，它也具有對電流起阻礙作用的性質。式（２．４．４）中，φ稱為阻抗角。很顯然，Ｚ、Ｒ和Ｘ是一直角三角形的三條邊，Ｒ是Ｚ的實部，Ｘ是Ｚ的虛部，這個三角形稱為“阻抗三角形”，如圖２．４．３所示。又因為所以阻抗模和阻抗角又可以分別寫為式（２．４．５）和式（２．４．６）表明：阻抗既反映了電路中電壓和電流的大小關系，也反映了電壓和電流的相位關系。阻抗為電壓和電流的相量的比值，阻抗模為電壓和電流的有效值的比值，阻抗角為電壓和電流的相位差。３．電路的性質從式（２．４．６）可看出，φ角的大小是由電路（負載）的參數決定的。即φ角的大小由Ｒ、Ｌ和Ｃ決定。隨著電路參數的不同，電壓ｕ與電流ｉ之間的相位差φ也不同，即阻抗角也不同。根據電壓電流的相位關系，可將電路分為以下三種情況：（１）如果０＜φ＜９０°，即ＸＬ＞ＸＣ，則在相位上電壓超前電流φ角，電路的性質介于純電阻和純電感之間，這種電路稱為電感性電路。（２）如果－９０°＜φ＜０，即ＸＬ＜ＸＣ，則在相位上電壓滯后電流φ角，電路的性質介于純電阻與純電容之間，這種電路稱為電容性電路。（３）如果φ＝０°，即ＸＬ＝ＸＣ，則電壓與電流同相位，這種電路稱為電阻性電路。這種特殊現象稱為諧振。２．４．２阻抗串聯電路圖２．４．５是兩個阻抗串聯的電路，根據圖中圖２．４．５兩個阻抗串聯的參考方向，可列出電壓方程為等效阻抗為２．４．３阻抗并聯電路圖２．４．６為兩個阻抗并聯的電路，根據圖中的參考方向，可列出電流方程為等效阻抗為2.5交流電路的功率在單一參數交流電路里，分別討論了電阻電路、電感電路和電容電路的瞬時功率、有功功率和無功功率的情況。那么當電路中同時含有電阻元件和儲能元件時，電路的功率既包含電阻元件消耗的功率，又包含儲能元件與電源交換的功率。那么對于這種一般的交流電路來說，它的有功功率和無功功率與電壓電流之間有什么關系呢？對于一般的交流電路，在此寫出它的瞬時電壓和瞬時電流的一般通式，即設因為相位差為所以瞬時電流可寫為則瞬時功率為有功功率為式（２．５．２）就是一般的交流電路中有功功率的通式，它是根據定義從公式推出來的。還可以從相量圖上推出這個式子，如圖２．５．１所示。在單一參數交流電路的分析中，當電流與電壓同相時，電路為純電阻電路，只消耗有功功率，沒有無功功率，這時電路中的電流是用來傳遞有功功率的；當電流與電壓的相位差９０°時，電路為純電感電路或純電容電路，只有無功功率，沒有有功功率，這時電路中的電流是用來傳遞無功功率的。在一般的交流電路中，電流與電壓的相位差φ既不為０°，也不為９０°，這時可將，將

分解成兩個分量，其中與同相的分量是用來傳遞有功功率的，稱為電流的有功分量；與相位相差９０°的分量是用來傳遞無功功率的，稱為電流的無功分量。它們與電流Ｉ之間的關系為因此可以得出有功功率和無功功率的一般通式為電壓與電流有效值的乘積定義為視在功率，用Ｓ表示，單位為Ｖ·Ａ（伏安），即在直流電路里，ＵＩ就等于負載消耗的功率。而在交流電路中，負載消耗的功率為ＵＩｃｏｓφ，所以ＵＩ一般不代表實際消耗的功率，除非ｃｏｓφ＝１。視在功率用來說明一個電氣設備的容量。由式（２．５．２）～式（２．５．４）可以得出三種功率間的關系為Ｐ、Ｑ、Ｓ三者之間符合直角三角形的關系，如圖２．５．２所示，這個三角形稱為功率三角形。不難看出，電壓三角形、阻抗三角形和功率三角形是三個相似三角形。在接有負載的電路中，不論電路的結構如何，電路總功率與局部功率的關系如下：（１）總的有功功率等于各部分有功功率的算術和。因為有功功率是實際消耗的功率，所以電路中的有功功率總為正值，并且總的有功功率就等于電阻元件的有功功率的算術和，即（２）在同一電路中，電感的無功功率為正，電容的無功功率為負。因此，電路總的無功功率等于各部分的無功功率的代數和，即（３）視在功率是功率三角形的斜邊，所以一般情況下總的視在功率不等于各部分視在功率的代數和，即Ｓ≠∑Ｓｉ，只能用公式進行計算。2.6電路的功率因數在交流電路中，有功功率與視在功率的比值稱為電路的功率因數，用λ表示，即因而電壓與電流的相位差φ也就是阻抗角也被稱為功率因數角。同樣它是由電路的參數決定的。在純電阻電路中，Ｐ＝Ｓ，Ｑ＝０，λ＝１，功率因數最高。在純電感和純電容電路中，Ｐ＝０，Ｑ＝Ｓ，λ＝０，功率因數最低。可見，只有在純電阻的情況下，電壓和電流才同相，功率因數為１，對其他負載來說，功率因數都是介于０和１之間，只要功率因數不等于１，就說明電路中發生了能量的互換，出現了無功功率Ｑ。因此功率因數是一項重要的經濟指標，它反映了用電質量，從充分利用電器設備的觀點來看，應盡量使λ提高。１．功率因數低帶來的影響１）發電設備的容量不能充分利用容量ＳＮ一定的供電設備能夠輸出的有功功率為若ｃｏｓφ太低了，Ｐ則太小，設備的利用率也就太低了。２）增加線路和供電設備的功率損耗負載從電源取用的電流為因為線路的功率損耗為

，與

成正比，所以在Ｐ和Ｕ一定的情況下，ｃｏｓφ越低，就越大，供電設備和輸電線路的功率損耗都會增多。２．功率因數低的原因目前的各種用電設備中，電感性負載居多。并且很多負載如日光燈、工頻爐等本身的功率因數也很低。電感性負載的功率因數之所以小于１，是因為負載本身需要一定的無功功率，從技術經濟觀點出發，要解決這個矛盾，實際上就是要解決如何減少電源與負載之間能量互換的問題。３．提高功率因數的方法提高功率因數，常用的方法就是在電感性負載兩端并聯電容。以日光燈為例來說明并聯電容前后整個電路的工作情況，電路圖和相量圖如圖２．６．１所示。１）并聯電容前（１）電路的總電流為（２）電路的功率因數就是負載的功率因數，即（３）有功功率為２）并聯電容后（１）電路的總電流為（２）電路中總的功率因數為ｃｏｓφ。（３）有功功率從相量圖上不難看出，φ＜φ１，所以ｃｏｓφ＞ｃｏｓφ１，功率因數得到了提高，只要Ｃ值選得恰當，便可將電路的功率因數提高到希望的數值。從公式中可以看出，并聯電容后，負載的電流沒有變，負載本身的功率因數ｃｏｓφ１沒有變，因為負載的參數都沒有變，提高功率因數不是提高負載的功率因數，而是提高了整個電路的功率因數，這樣對電網而言提高了利用率。因為有功功率就是負載消耗的功率，即電阻消耗的功率，因為電感和電容的有功功率都為０，電阻上的電流不變，所以并聯電容前后的有功功率沒有變。要想將功率因數提高到希望的數值，應該并聯多大的電容呢？如圖２．６．１（ｂ）所示，在相量圖上可以求出即又因為所以2.7電路中的諧振在含有電感、電容和電阻的電路中，如果等效電路中的感抗作用和容抗作用相互抵消，使整個電路呈電阻性，這種現象稱為諧振。根據電路的結構有串聯諧振和并聯諧振兩種情況。２．７．１串聯諧振１．串聯諧振的條件圖２．７．１為ＲＬＣ串聯電路及諧振時的相量圖。電路的阻抗要使電路呈電阻性，阻抗的虛部應為零，故得串聯諧振的條件為由此得諧振頻率為式中：稱為電路的固有頻率，它取決于電路參數Ｌ和Ｃ，是電路的一種固有屬性。當電源的頻率等于固有頻率時，ＲＬＣ串聯電路就產生諧振。若電源的頻率是固定的，那么調整Ｌ或Ｃ的數值，使電路固有頻率等于電源頻率，也會產生諧振。２．串聯諧振的特征（１）串聯諧振時電路的阻抗模最小，此時：所以，若電源電壓Ｕ為定值，諧振時電流最大。（２）電壓與電流同相，電路的ｃｏｓφ＝１。（３）

即電路電感和電容元件的電壓大于總電壓，可從圖２．７．１（ｂ）中看出。如果電壓過高，可能會擊穿線圈和電容器的絕緣。因此，在電力工程中一般應避免發生串聯諧振。但在無線電工程中則常利用串聯諧振以獲得較高電壓，電容或電感元件上的電壓常高于電源電壓幾十倍或幾百倍。串聯諧振時，電感電壓與電容電壓大小相等，相位相反，互相抵消，因此串聯諧振也稱為電壓諧振。２．７．２并聯諧振１．并聯諧振的條件圖２．７．２是線圈ＲＬ與電容器Ｃ的并聯電路及相量圖。當電路諧振時

與

相同，故從相量圖可得諧振條件為由于將以上各式代入式（２．７．２），得用代入上式，整理后得諧振頻率：如果線圈的電阻較小，上式可近似認為將式（２．７．４）與式（２．７．１）比較，可見在這種情況下，并聯諧振的條件與串聯諧振相同。２．并聯諧振的特征（１）從相量圖可知，若換言之，電路在諧振時呈現出最大的等效阻抗，這與串聯諧振時的情況相反。（２）電壓與總電流相同，電路的ｃｏｓφ＝１。（３）若Ｒ較小，線圈和電容器中的電流會比總電流大，即支路電流大于總電流，這從相量圖可以看出。因為若可認為因故得

并聯諧振時電感電流與電容電流大小相等，相位相反，互相抵消，因此并聯諧振又稱為電流諧振。

并聯諧振在電工和電子技術中也有廣泛的用途。利用并聯電容器來提高電感性電路的功率因數時，若將功率因數提高到１，電路就處于并聯諧振狀態。2.8三相交流電路目前世界上電力系統采用的供電方式絕大多數是三相制的，也就是采用三相電源供電。本節主要講述三相電源、三相負載的連接方式，電壓、電流和功率的計算，以及中性線的作用。２．８．１三相電源１．三相電源的組成和產生當前各類發電廠都是利用三相同步發電機供電的，圖２．８．１（ａ）是一臺具有兩個磁極的三相同步發電機的結構示意圖。發電機的靜止部分稱為定子，定子鐵芯由硅鋼片疊成，內壁有槽，槽內嵌放著形狀、尺寸和匝數都相同、軸線互差１２０°的三個獨立線圈，稱為三相繞組。每相繞組的首端用Ｌ１、Ｌ２、Ｌ３或Ａ、Ｂ、Ｃ表示，末端用Ｌ′１、Ｌ′２、Ｌ′３或Ｘ、Ｙ、Ｚ表示。圖２．８．１（ｂ）是繞組的結構示意圖。發電機的轉動部分稱為轉子，它的磁極由直流電流Ｉｆ通過勵磁繞組而形成，產生沿空氣隙按正弦規律分布的磁場。當原動機（水輪機或汽輪機等）帶動轉子沿順時針方向恒速旋轉時，定子三相繞組切割轉子磁極的磁感線，分別產生了ｅ１、ｅ２、ｅ３三個正弦感應電動勢，取其參考方向如圖２．８．１（ｃ）所示。由于三個繞組的結構完全相同，又是以同一速度切割同一轉子磁極的磁感線，只是繞組的軸線互差１２０°，所以ｅ１、ｅ２、ｅ３是三個頻率相同、幅值相等、相位互差１２０°的電動勢，稱為對稱三相電動勢。產生對稱三相電動勢的電源稱為對稱三相電源，簡稱三相電源。１）三相電源的表示形式如果選擇ｅ１為參考量，則對稱三相電動勢可表示為式中：Ｅｍ為電動勢的最大值。ｅ１、ｅ２、ｅ３的波形如圖２．８．２（ａ）所示，若用有效值相量表示，則為式中：Ｅ為電動勢的有效值。相量圖如圖２．８．２（ｂ）所示。２）三相電源的連接方式三相發電機或三相變壓器的三個獨立繞組都可各自接上負載成為三個獨立的單相電路，這種接法在電源與負載之間需要６根連接導線，體現不出三相供電的優越性。在三相制的電力系統中，電源的三個繞組不是獨立向負載供電，而是按一定方式連接起來，形成一個整體。連接的方式有星形連接（Ｙ形連接）和三角形連接（△形連接）兩種。較為常見的星形連接的三相四線制供電系統的接法如圖２．８．３（ａ）所示。（１）三相電源的星形連接。星形連接時，三個繞組的末端Ｌ′１、Ｌ′２、Ｌ′３接在一起，成為一個公共點，稱為中性點，用字母Ｎ表示。從中性點引出的導線稱為中性線，低壓系統的中性點通常接地，故中性線又稱為零線或地線。三相繞組的三個首端Ｌ１、Ｌ２、Ｌ３引出的導線稱為相線或端線。相線對地有電位差，能使驗電筆發光，故常稱為火線。三根相線和一根中性線都引出的供電方式稱為三相四線制供電，不引出中性線的方式稱為三相三線制供電。采用三相四線制供電方式可以向用戶提供兩種電壓：相線與中性線之間的電壓稱為電源的相電壓，用

表示。相線與相線之間的電壓稱為電源的線電壓，用表示。在圖２．８．３（ａ）所示的參考方向下，根據ＫＶＬ，線電壓與相電壓之間的關系為由于三相電動勢對稱，三相繞組的內阻抗一般都很小，因而三個相電壓也可以認為是對稱的，其有效值用

表示，即以為參考相量，根據式（２．８．３）畫出電壓相量圖，如圖2.8.3（ｂ）所示。顯然三個線電壓也是對稱的，其有效值用表示，即在相量圖上用幾何方法可以求得線電壓和相電壓的關系為三相電源工作時，每相繞組中的電流稱為電源的相電流，用表示。由端點輸送出去的電流稱為電源的線電流，用表示。相電流和線電流的大小和相位均與負載有關。星形連接時，線電流就是相電流，即如果線電流對稱，則相電流也一定對稱，它們的有效值分別用表示，即可見，在電流對稱的情況下，星形連接的對稱三相電源中，線電流的有效值等于相電流的有效值，即在相位上，線電流與相電流的相位相同。（２）三相電源的三角形連接。將三相電源中每相繞組的首端依次與另一相繞組的末端連接在一起，形成一個閉合回路，然后從三個連接點引出三根供電線，這種連接方式稱為三相電源的三角形連接，如圖２．８．４（ａ）所示。顯然這種供電方式只能是三相三線制。從圖２．８．４（ａ）可以看出，三角形連接時，線電壓就是對應的相電壓，即在相位上，線電壓與對應的相電壓的相位相同。在圖２．８．４（ａ）所示的參考方向下，根據ＫＣＬ，線電流與相電流的關系為當它們對稱時，其相量圖如圖２．８．４（ｂ）所示。在相量圖上用幾何方法可以求得線電流和相電流的關系為２．８．２三相負載由三相電源供電的負載稱為三相負載。三相負載可以根據對電壓的要求連接成星形或三角形。１．三相負載的星形連接圖２．８．５為三相四線制供電線路上星形連接的負載。三相負載的三個末端連接在一起，接到電源的中性線上，三相負載的三個首端分別接到電源的三根相線上。如果不計連接導線的阻抗，負載承受的電壓就是電源的相電壓，而且每相負載與電源構成一個單獨回路，任何一相負載的工作都不受其他兩相工作的影響，所以各相電流的計算方法和單相電路一樣，即根據圖２．８．５中電流的參考方向，中性線電流為如果三相負載是對稱的，即阻抗則電流的有效值也相等，在相位上互差１２０°，是一組對稱的三相電流。所以中性線電流：既然中性線電流為零，此時三根導線中電流的代數和為零，就可以取消中性線，電路變成三相三線制星形連接，而前面得到的線電壓與相電壓、線電流與相電流的關系仍然成立。如果負載不對稱，中性線的電流不為零，中性線便不能省去。不對稱的各相負載上的電壓將不再等于電源的相電壓，有的相電壓偏高，有的相電壓偏低，將使負載損壞或不能正常工作。所以中性線的作用是保證星形連接負載的相電壓等于電源的相電壓。２．三相負載的三角形連接圖２．８．１０是三相負載為三角形連接時的電路，每相負載的首端都依次與另一相負載的末端連接在一起，形成閉合回路，然后，將三個連接點分別接到三相電源的三根相線上。三角形連接的特點是每相負載所承受的電壓等于電源的線電壓。顯然，這種連接方法只能是三相三線制，即不需要中性線。由圖2.8.10可知，在圖示參考方向下，線電壓與相電壓的關系、線電流與相電流的關系，與三相電源的三角形連接中的公式相同，符合式（2.8.6）和式（2.8.7），而相電壓與相電流的關系仍滿足式（2.8.8）。通過三相負載的星形連接和三角形連接的討論，可以知道，工作時，為了使負載的實際相電壓等于某額定相電壓，當負載的額定相電壓等于電源線電壓的

時，負載應采用星形連接；當負載的額定相電壓等于電源線電壓時，負載應采用三角形連接。２．８．３三相功率在三相負載中，不論如何連接，總的有功功率等于各相有功功率之和，即若三相負載對稱，則各相功率相同，故三相總功率可簡化為式中：ＵＰ為相電壓；ＩＰ為相電流；ｃｏｓφ為每相負載的功率因數。同理，無功功率和視在功率分別為三相功率若以線電壓和線電流表示，對于三相對稱星形負載，由于故得對于三相對稱三角形負載，由于故得可見，對于三相對稱負載，不論是星形或三角形連接，都可以用一個公式來表示，即

3.1磁路的基本概念與基本定律3.2交流鐵芯線圈電路3.3變壓器3.4幾種常用變壓器3.5安全用電３．１磁路的基本概念與基本定律常用的電氣設備，如變壓器、電動機等，在工作時都會產生磁場。為了把磁場聚集在一定的空間范圍內，以便加以控制和利用，就必須用高磁導率的鐵磁材料做成一定形狀的鐵芯，使之形成一個磁通的路徑，使磁通的絕大部分通過這一路徑而閉合。故把磁通經過的閉合路徑稱為磁路。３．１．１鐵磁材料根據導磁性能的好壞，自然界的物質可分為兩大類。一類稱為鐵磁材料，如鐵、鋼、鎳、鈷等，這類材料的導磁性能好，磁導率μ值大；另一類為非鐵磁材料，如銅、鋁、紙、空氣等，此類材料的導磁性能差，μ值小（接近真空的磁導率μ０）。鐵磁材料是制造變壓器、電動機、電器等各種電工設備的主要材料，鐵磁材料的磁性能對電磁器件的性能和工作狀態有很大影響。鐵磁材料的磁性能主要表現為高導磁性、磁飽和性和磁滯性。１．高導磁性鐵磁材料具有很強的導磁能力，在外磁場作用下，其內部的磁感應強度會大大增強，相對磁導率可達幾百、幾千甚至幾萬。這是因為在鐵磁材料的內部存在許多磁化小區，稱為磁疇。每個磁疇就像一塊小磁鐵，體積約為９～１０ｃｍ３。在無外磁場作用時，這些磁疇的排列是不規則的，對外不顯示磁性，如圖3.1.1（ａ）所示。

在一定強度的外磁場作用下，這些磁疇將順著外磁場的方向趨向規則地排列，產生一個附加磁場，使鐵磁材料內的磁感應強度大大增強，如圖３．１．１（ｂ）所示，這種現象稱為磁化。非鐵磁材料沒有磁疇結構，不具有磁化特性。通電線圈中放入鐵芯后，磁場會大大增強，這時的磁場是線圈產生的磁場和鐵芯被磁化后產生的附加磁場之疊加。變壓器、電動機和各種電器的線圈中都放有鐵芯，在這種具有鐵芯的線圈中通入勵磁電流，便可產生足夠大的磁感應強度和磁通。２．磁飽和性

在鐵磁材料的磁化過程中，隨著勵磁電流的增大，外磁場和附加磁場都將增大，但當勵磁電流增大到一定值時，幾乎所有的磁疇都與外磁場的方向一致，附加磁場就不再隨勵磁電流的增大而繼續增強，這種現象稱為磁飽和現象。材料的磁化特性可用磁化曲線表示，鐵磁材料的磁化曲線如圖３．１．２所示，它大致上可分為４段，其中Ｏａ段的磁感應強度Ｂ隨磁場強度Ｈ增加較慢；ａｂ段的磁感應強度Ｂ隨磁場強度Ｈ差不多成正比地增加；ｂ點以后，Ｂ隨Ｈ的增加速度又減慢下來，逐漸趨于飽和；過了ｃ點以后，其磁化曲線近似于直線，且與真空或非鐵磁材料的磁化曲線平行。工程上稱ａ點為附點，稱ｂ點為膝點，稱ｃ點為飽和點。由于鐵磁材料的Ｂ與Ｈ的關系是非線性的，故由Ｂ＝μＨ的關系可知，其磁導率的數值將隨磁場強度Ｈ的變化而改變，如圖３．１．２中的Ｂ＝ｆ（Ｈ）曲線。鐵磁材料在磁化起始的Ｏａ段和進入飽和以后，μ值均不大，但在膝點ｂ的附近，μ達到最大值。所以電氣工程上通常要求鐵磁材料工作在膝點附近。３．磁滯性

如果勵磁電流是大小和方向都隨時間變化的交變電流，則鐵磁材料將受到交變磁化。在電流交變的一個周期中，磁感應強度Ｂ隨磁場強度Ｈ變化的關系如圖3.1.3所示。由圖3.1.3可見，當磁場強度Ｈ減小時，磁感應強度Ｂ并不沿著原來這條曲線回降，而是沿著一條比它高的曲線緩慢下降。當Ｈ減速到０時，Ｂ并不等于０而仍保留一定的磁性。這說明鐵磁材料內部已經排齊的磁疇不會完全回復到磁化前雜亂無章的狀態，這部分剩留的磁性稱為剩磁，用Ｂｒ表示。如要去掉剩磁，使Ｂ＝０，應施加一反向磁場強度Ｈｃ。Ｈｃ的大小稱為矯頑磁力，它表示鐵磁材料反抗退磁的能力。

若再反向增大磁場，則鐵磁材料將反向磁化；當反向磁場減小時，同樣會產生反向剩磁（Ｂｒ）。隨著磁場強度不斷正反向變化，得到的磁化曲線為一封閉曲線。在鐵磁材料反復磁化的過程中，磁感應強度的變化總是落后于磁場強度的變化，這種現象稱為磁滯現象。這一封閉曲線稱為磁滯回線。鐵磁材料按其磁性能又可分為軟磁材料、硬磁材料和矩磁材料三種類型，如圖３．１．４所示是不同類型的磁滯回線。其中，圖３．１．４（ａ）是軟磁材料，圖３．１．４（ｂ）是硬磁材料，圖３．１．４（ｃ）是矩磁材料。軟磁材料的剩磁和矯頑力較小，磁滯回線形狀較窄，但磁化曲線較陡，即磁導率較高，所包圍的面積較小。它既容易磁化，又容易退磁，一般用于有交變磁場的場合，如用來制造鎮流器、變壓器、電動機以及各種中、高頻電磁元件的鐵芯等。常見的軟磁材料有純鐵、硅鋼、玻莫合金以及非金屬軟磁鐵氧體等。硬磁材料的剩磁和矯頑力較大，磁滯回線形狀較寬，所包圍的面積較大，適用于制作永久磁鐵，如揚聲器、耳機、電話機、錄音機以各種磁電式儀表中的永久磁鐵都是硬磁材料制成的。常見的硬磁材料有碳鋼、鈷鋼及鐵鎳鋁鈷合金等。矩磁材料的磁滯回線近似于矩形，剩磁很大，接近飽和磁感應強度，但矯頑力較小，易于翻轉，常在計算機和控制系統中用做記憶元件和開關元件，矩磁材料有鎂錳鐵氧體及某些鐵鎳合金等。３．１．２磁路的概念在通有電流的線圈周圍和內部存在著磁場。但是空心載流線圈的磁場較弱，一般難以滿足電工設備的需要。工程上為了得到較強的磁場并有效地加以應用，常采用導磁性能良好的鐵