2023-2024學年安徽省馬鞍山二中高三數學第一學期期末達標檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點，點在曲線上運動，點為拋物線的焦點，則的最小值為（）A． B． C． D．42．函數，，的部分圖象如圖所示，則函數表達式為（）A． B．C． D．3．已知公差不為0的等差數列的前項的和為，，且成等比數列，則（）A．56 B．72 C．88 D．404．設、分別是定義在上的奇函數和偶函數，且，則（）A． B．0 C．1 D．35．在復平面內，復數（為虛數單位）的共軛復數對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．若函數，在區間上任取三個實數，，均存在以，，為邊長的三角形，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．7．設是虛數單位，則（）A． B． C． D．8．已知拋物線C：，過焦點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點（A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為（）A．1 B．C．2 D．39．已知函數，則的最小值為()A． B． C． D．10．已知函數在上單調遞增，則的取值范圍（）A． B． C． D．11．已知復數滿足，其中為虛數單位，則（）．A． B． C． D．12．一袋中裝有個紅球和個黑球（除顏色外無區別），任取球，記其中黑球數為，則為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數的最小值為2，則_________．14．在中，角的平分線交于，，，則面積的最大值為__________．15．設隨機變量服從正態分布,若，則的值是______．16．曲線在處的切線方程是_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設實數滿足.（1）若，求的取值范圍；（2）若，，求證：.18．（12分）已知直線l的極坐標方程為，圓C的參數方程為（為參數）．（1）請分別把直線l和圓C的方程化為直角坐標方程；（2）求直線l被圓截得的弦長．19．（12分）在直角坐標系中，已知曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，射線的極坐標方程為，射線的極坐標方程為.（Ⅰ）寫出曲線的極坐標方程，并指出是何種曲線；（Ⅱ）若射線與曲線交于兩點，射線與曲線交于兩點，求面積的取值范圍.20．（12分）己知點，分別是橢圓的上頂點和左焦點，若與圓相切于點，且點是線段靠近點的三等分點.求橢圓的標準方程；直線與橢圓只有一個公共點，且點在第二象限，過坐標原點且與垂直的直線與圓相交于，兩點，求面積的取值范圍.21．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，），點.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程，并指出其形狀；（2）曲線與曲線交于，兩點，若，求的值.22．（10分）△ABC的內角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

如圖所示：過點作垂直準線于，交軸于，則，設，，則，利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示：過點作垂直準線于，交軸于，則，設，，則，當，即時等號成立.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.2、A【解析】

根據圖像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊點求出，化簡即得所求.【詳解】由圖像知，，，解得，因為函數過點，所以，，即，解得，因為，所以，.故選：A【點睛】本題考查根據圖像求正弦型函數的解析式，三角函數誘導公式，屬于基礎題.3、B【解析】

，將代入，求得公差d，再利用等差數列的前n項和公式計算即可.【詳解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故選：B.【點睛】本題考查等差數列的前n項和公式，考查等差數列基本量的計算，是一道容易題.4、C【解析】

先根據奇偶性，求出的解析式，令，即可求出。【詳解】因為、分別是定義在上的奇函數和偶函數，，用替換，得，化簡得，即令，所以，故選C。【點睛】本題主要考查函數性質奇偶性的應用。5、D【解析】

將復數化簡得,,即可得到對應的點為,即可得出結果.【詳解】，對應的點位于第四象限.故選:.【點睛】本題考查復數的四則運算,考查共軛復數和復數與平面內點的對應,難度容易.6、D【解析】

利用導數求得在區間上的最大值和最小，根據三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域為，，所以在上遞減，在上遞增，在處取得極小值也即是最小值，，，，，所以在區間上的最大值為.要使在區間上任取三個實數，，均存在以，，為邊長的三角形，則需恒成立，且，也即，也即當、時，成立，即，且，解得.所以的取值范圍是.故選：D【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的最值，考查恒成立問題的求解，屬于中檔題.7、A【解析】

利用復數的乘法運算可求得結果.【詳解】由復數的乘法法則得.故選：A.【點睛】本題考查復數的乘法運算，考查計算能力，屬于基礎題.8、B【解析】

設直線的方程為代入拋物線方程，利用韋達定理可得,,由可知所以可得代入化簡求得參數,即可求得結果.【詳解】設，（，）.易知直線l的斜率存在且不為0，設為，則直線l的方程為.與拋物線方程聯立得，所以，.因為，所以，得，所以，即，，所以.故選:B.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系,考查韋達定理及向量的坐標之間的關系,考查計算能力，屬于中檔題.9、C【解析】

利用三角恒等變換化簡三角函數為標準正弦型三角函數，即可容易求得最小值.【詳解】由于，故其最小值為：.故選：C.【點睛】本題考查利用降冪擴角公式、輔助角公式化簡三角函數，以及求三角函數的最值，屬綜合基礎題.10、B【解析】

由,可得,結合在上單調遞增,易得,即可求出的范圍.【詳解】由,可得,時,,而,又在上單調遞增,且,所以,則,即,故.故選:B.【點睛】本題考查了三角函數的單調性的應用,考查了學生的邏輯推理能力,屬于基礎題.11、A【解析】

先化簡求出，即可求得答案.【詳解】因為，所以所以故選：A【點睛】此題考查復數的基本運算，注意計算的準確度，屬于簡單題目.12、A【解析】

由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，進而可求得隨機變量的數學期望值.【詳解】由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，則，，，.因此，隨機變量的數學期望為.故選：A.【點睛】本題考查隨機變量數學期望的計算，考查計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先利用絕對值的意義去掉絕對值符號，之后再結合后邊的函數解析式，對照函數值等于2的時候對應的自變量的值，從而得到分段函數的分界點，從而得到相應的等量關系式，求得參數的值.【詳解】根據題意可知，可以發現當或時是分界點，結合函數的解析式，可以判斷0不可能，所以只能是是分界點，故，解得，故答案是.【點睛】本題主要考查分段函數的性質，二次函數的性質，函數最值的求解等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.14、15【解析】

由角平分線定理得,利用余弦定理和三角形面積公式，借助三角恒等變化求出面積的最大值.【詳解】畫出圖形：因為，，由角平分線定理得,設，則由余弦定理得：即當且僅當，即時取等號所以面積的最大值為15故答案為：15【點睛】此題考查解三角形面積的最值問題，通過三角恒等變形后利用均值不等式處理，屬于一般性題目.15、1【解析】

由題得，解不等式得解.【詳解】因為，所以，所以c=1.故答案為1【點睛】本題主要考查正態分布的圖像和性質，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.16、【解析】

利用導數的運算法則求出導函數，再利用導數的幾何意義即可求解.【詳解】求導得，所以，所以切線方程為故答案為：【點睛】本題考查了基本初等函數的導數、導數的運算法則以及導數的幾何意義，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）依題意可得，考慮到，則有再分類討論可得；（2）要證明，即證，即證.利用基本不等式即可得證；【詳解】解：（1）由及，得，考慮到，則有，它可化為或即或前者無解，后者的解集為，綜上，的取值范圍是.（2）要證明，即證，由，得，即證.因為（當且僅當，時取等號）.所以成立，故成立.【點睛】本題考查分類討論法解絕對值不等式，基本不等式的應用，屬于中檔題.18、（1）．x2+y2＝1．（2）16【解析】

（1）直接利用極坐標方程和參數方程公式化簡得到答案.（2）圓心到直線的距離為，故弦長為得到答案.【詳解】（1），即，即，即.，故.（2）圓心到直線的距離為，故弦長為.【點睛】本題考查了極坐標方程和參數方程，圓的弦長，意在考查學生的計算能力和轉化能力.19、（Ⅰ），曲線是以為圓心，為半徑的圓；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由曲線的參數方程能求出曲線的普通方程，由此能求出曲線的極坐標方程．（Ⅱ）令，，則，利用誘導公式及二倍角公式化簡，再由余弦函數的性質求出面積的取值范圍；【詳解】解：（Ⅰ）由（為參數）化為普通方程為，整理得曲線是以為圓心，為半徑的圓.（Ⅱ）令，，，，面積的取值范圍為【點睛】本題考查曲線的極坐標方程的求法，考查三角形的面積的求法，考查參數方程、直角坐標方程、極坐標方程的互化等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．20、;.【解析】

連接，由三角形相似得，，進而得出，，寫出橢圓的標準方程；由得，，因為直線與橢圓相切于點，，解得，，因為點在第二象限，所以，，所以，設直線與垂直交于點，則是點到直線的距離，設直線的方程為，則，求出面積的取值范圍.【詳解】解：連接，由可得，，，橢圓的標準方程；由得，，因為直線與橢圓相切于點，所以，即，解得，，即點的坐標為，因為點在第二象限，所以，，所以，所以點的坐標為，設直線與垂直交于點，則是點到直線的距離，設直線的方程為，則，當且僅當，即時，有最大值，所以，即面積的取值范圍為.【點睛】本題考查直線和橢圓位置關系的應用，利用基本不等式，屬于難題.21、（1），以為圓心，為半徑的圓；（2）【解析】

（1）根據極坐標與直角坐標的互化公式，直接得到的直角坐標方程并判斷形狀；（2）聯立直線參數方程與的直角坐標方程，根據直線參數方程中的幾何意義結合求解出的值.【詳解】解：（1）由，得，所以，即，.所以曲線是以為圓心，為半徑的圓.（2）將代入，整理得.設點，所對應的參數分別為，，則，.，解得，則.【點睛】本題考查極坐標與直角坐標的互化以及根據直線參數方程中的幾何意義求值，難度一般.（1）極坐標與直角坐標的互化公式：；（2）若要使用直線參數方程中的幾何意義，要注意將直線的標準參數方程代入到對應曲線的直角坐標方程中，構成關于的一元二次方程并結合韋達定理形式進行分析求解.22、(1)(2).【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計算出，從而求出角，根據題設和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：（1）由題設得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設及（1）得，即.所以，故.由題設得，即.由