專題10橢圓、雙曲線與拋物線

【母題來源】2022年新高考I卷

【母題題文】已知橢圓+50〃，i的上頂點為h,兩個焦點為L，12,離心率為g,過L且垂直

于簾2的直線與i交于LI兩點，；向=6,則△hlT的周長是.

卜母題題文】已知L為坐標原點，點h〃,〃在拋物線iI2=2yW?>0)上，過點上0,-〃的直線交i于］,N兩點，

則()

A.i的準線為W=-1B.直線hi與i相切

C.|L］|.\W\>廿|2D.|I1|.|I1M|>|Ih|2

【母題來源】2022年新高考H卷

卜母題題文】已知直線q與橢圓二+卑=1在第一象限交于h,1兩點，q與?軸3軸分別相交于K，K兩點，且晌=

63

向|,網=2道,則直線q的方程為_____.

【母題題文】已知L為坐標原點，過拋物線］.?02=29-8>0川勺焦點用勺直線與1交于11,i兩點，點h在第一象

限，點KG，少,若同|=|/,則()

A,直線hi的斜率為2GB.IUI=IUI

C.|hl|>4|U|D.4帖+4k<180°

回題雨回

【命題意圖】

考察橢圓、拋物線的定義，標準方程，兒何性質和綜合應用.考察運算能力，邏輯推導素養，數形結思想,

化歸和轉化的數學思想。考察分析與解決問題的能力.

【命題方向】

橢圓、拋物線，雙曲線的方程、定義和性質，是高考的必考內容之一，多以小題形式出現，試題可以是常

規題，中等難題，或者壓軸小題難度，也是考試學生丟分點之一.

【得分要點】

圓錐曲線三大定義

一、三大曲線第一定義

橢圓第一定義：|P耳|+|P6|=2a

雙曲線第一定義：IIWI-I尸工||=2a

拋物線定義：|PE|=d

解題思路

試題中，如果是橢圓和雙曲線，則到一個焦點距離，可轉化為到另一個焦點距離.

二橢圓雙曲線曲線第二定義：

1.平面上到定點F的距離與到定直線的距離之比為常數e,即單=?

d

2.焦半徑公式：

橢圓焦半徑：戶用=巴士a

雙曲線焦半徑：.戶在左支：|「打=-用士a*右支:|PR|=ex0±a

拋物線焦半徑：|尸口=%+](或為+9

3.焦半徑范圍

橢圓焦半徑范圍：a-c<|PF|<a+c

雙曲線焦半徑范圍：.|PF|Nc-a,或"戶c+a

拋物線焦半徑范圍：|尸尸^

4.解題技巧：

焦半徑角度公式.其中，e為焦半徑與焦點軸所成的角p為焦點到對應準線的距離

橢圓焦半徑夾角公式：|尸曰=:吟,|嗚=:生1

1'」l-ecos^1石?1+ecosS

雙曲線焦半徑左焦點夾角公式：.=-e-P\PF)\=---eP

111-ecos^111+ecosS,

拋物線焦半徑夾角公式：IPFI=一^;

11i-cose

三、第三定義

i.第三定義，又叫中點弦定理

x2y2_

-T+-7T=h1

(1)AB是橢圓b-的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則自必次"二一一r=e2-l.

H

(2)AB是雙曲線4。-4b-=1的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則《“=/=e?-1.

(3)AB是拋物線的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則丫。,38二尸

2.擴展推論

/+必_]

(1)AB是橢圓/b2的關于原點對稱的兩點，P橢圓上異于A、B的任一點，若斜率存在，則

KpAKpB_2

a

22

(2)AB是雙曲線0-白=1的關于原點對稱的兩點，P雙曲線上異于A、B的任一點，若斜率存在，則

ab~

《PAkpB—2

a

四、焦點三角形

1.焦點三角形

(1)焦點三角形面積

橢圓：S.F=b2tan幺"

urn,

L2

雙曲線：s?g=/FPF

2

p-

AB為過拋物線y2=2px焦點的弦，8為直線傾斜角，則“。”=一

2sin8

2.頂角

(1).橢圓頂角在短軸頂點處最大.

(2)雙曲線頂角無最大最小

3.與余弦定理結合

x2v2

⑴設橢圓r+==l(a>0,b>0)的兩個焦點為R、F2,P(異于長軸端點)為雙曲線上任意一點，在aPFR

ab

cinnc

中，記/與尸乙=Q,4PF\F2=B，/F\FF=Y，則有[-------=-=e.

sin|/+sin/>a

22

(2)設雙曲線0-白=1(a>0,b>0)的兩個焦點為Fi、F2,P(異于長軸端點)為雙曲線上任意一點，在

ab

Qinrtr

△PF1F2中，記/月產工=4,4PF1F)=B、紐F?P=Y，則有一-----；—=—=e.

|siny-sin回a

一、單選題

22

1.（2022?河北衡水?高三階段練習）已知橢圓c：2+g=1（〃>6>0）的左、右焦點分別為耳,橢圓上

點尸（xj）到焦點工的最大距離為3,最小距離為1,則橢圓的離心率為（）

B.好

D.2

2c空

2.（2023?全國?高三專題練習）雙曲線E與橢圓C:二+己=1焦點相同且離心率是橢圓C離心率的百倍,

62

則雙曲線E的標準方程為（）

A.x2-^-=lB.y2-2x2=1C.--^=1D.—~y2=\

3J223

3.（2023?全國?高三專題練習（理））設F為拋物線C：F=4X的焦點，點4在C上,點8（3,0）,若川=忸川,

則|陽=（）

A.2B.2拒C.3D.3亞

4.（2022?湖北武漢?高三開學考試）已知橢圓「：0+烏=1（。>/>>0）的兩個焦點為耳，F],過瑪的直線

ab，

與「交于4B兩點.若I典1=3離同，|明=2|/周,則「的離心率為（）

A.-B.—C.叵D.—

5555

5.（2022?新疆三模（理））已知雙曲線。三-4=1（。>0,j0）的左、右焦點分別為月，入，過點耳且斜率

a~b~

為-3s的直線與雙曲線在第二象限交于點a/為/心的中點，且百元.赤2=o,則雙曲線c的漸近線方

程是（）

A.y=±V3xB.y=±^-x

125

C.y=±—xD.y=±—x

512

6.（2022?山西?懷仁市第一中學校模擬預測（文））已知拋物線C：y2=ax（a>0）的焦點為尸，點A為（0,-6）,

若射線E4與拋物線C相交于點B,與準線相交于點。，且|必|:忸D|=I:6,則4的值為（）

A.275B.2下>C.GD.75

7.（2023?全國?高三專題練習）已知橢圓支+廣=1的左、右焦點分別為耳、F2,第一象限內的點M在橢

253

圓上，且滿足點N在線段耳、心上，設乂=翻，將△〃鳥巴沿陰呼翻折，使得平面腦陰與

\NF2\

平面小垂直，要使翻折后歸用的長度最小，則4=（）

22

8.（2023?江蘇?南京市中華中學高三階段練習）如圖所示，耳，乃是雙曲線C：［一二=i（a>0,b>0）的

a-b~

左、右焦點，過百的直線與C的左、右兩支分別交于a8兩點.若|4叫:怛巴卜|/8|=3:4:5,則雙曲線的離

心率為（）

B.小

C.V13

D.G

9.（2022?全國?高三專題練習）已知點F為拋物線V=4x的焦點，，點M為拋物線上一動點，當瑞

最小時，點M恰好在以4尸為焦點的雙曲線C上，則雙曲線C的漸近線斜率的平方是（）

A"B2+2&C.3+26D.呻

10.（2020?全國?高三專題練習（文））已知點4是拋物線/=41的對稱軸與準線的交點，點R為拋物線

的焦點，尸在拋物線上且滿足忸斗=哪喈I，當”;取最大值時，點尸恰好在以4日為焦點的雙曲線上，則

雙曲線的離心率為

-s/5—1

c.^2-1D.在—1

22

11.（2022?全國?高三專題練習（理））耳生是雙曲線C:-r-2=1（。>0,6>0）的左、右焦點，直線1為雙

ab“

曲線C的一條漸近線，耳關于直線1的對稱點為尺，且點尺在以F2為圓心、以半虛軸長b為半徑的圓上，

則雙曲線C的離心率為

A.V2B.逐C.2D.百

12.（2021?河北?正定中學高三開學考試）過點尸作拋物線C:/=2y的切線心4,切點分別為〃，N,若

的重心坐標為（1,1）,且尸在拋物線。:丁=〃式上，則。的焦點坐標