湍流數值計算的k-?模型關于湍流湍流被稱為經典力學的最后難題，原因在于湍流場通常是一個復雜的非定常、非線性動力學系統，流場中充滿著各種大小不同的渦結構。整個湍流場的特性都取決于這些渦結構的不斷產生、發展和消亡，同時，這些渦結構之間又不斷發生著復雜的相互作用，這就使得對湍流現象的理解、描述和控制變得十分困難。許多流體力學的研究和數值模擬的結果表明，可用于工程上現實可行的湍流模擬方法仍然是基于求解Reynolds時均方程及關聯量輸運方程的湍流模擬方法，即湍流的統觀模擬方法。

統觀模擬方法的基本思想是用低階關聯量和平均流性質來模擬未知的高階關聯項，從而封閉平均方程組或關聯項方程組。雷諾時均方程組雷諾認為湍流的瞬時速度場滿足N-S方程?；谶@個觀點，他首先建立了湍流時均方程組：

湍流模型分類湍流模型是使時均方程組得以封閉的計算方法。k-?雙方程模型是基于時均雷諾方程的經典模型之一，同時也是工程中應用最為普遍的模型。k-?模型

湍動能k的控制方程

標準k、?的輸運方程

k-?模型方程

k方程

模型化的k方程

模型化的?方程同樣可以得到?方程：

邊界條件

評價k-?模型是使用最廣泛、最有效的模型。它計算大量的各種薄剪切層和回流已取得引人注目的成功，而且不需要就不同情況修正模型參數。限制流(有壁面約束)中，雷諾剪應力最顯著，此模型對于限制流特別有效。

k-?模型廣受歡迎的原因是它包括了廣泛的工程應用流動情況。盡管標準k-?模型有大量成功的例子，但對于無約束流只有中等程度的符合。在遠尾流和混合層等弱剪切層，k-?模型表現不好。預測周圍是靜止流體的軸對稱射流時，擴張率嚴重超值。這些流動的大部分湍動能生成率大大小于耗散率，只有針對性地調整模型常數才能克服這一困難。關于在精確k方程中以模型方程的梯度擴散形式計人壓力輸運項的做法，Brashaw等(1981)認為，其基礎是壓力有時小到測得的湍動能沒有它也能整體平衡。然而他們注意到，很多這樣的測量有明顯誤差，壓力擴散作用未必可以忽略。模型對回旋流動和大的快速附加應變(如高度曲線邊界層和擴散段)也有問題，因為它沒有包含流線哇Il率對湍流的微妙影響。k-?模型也不能預測各向異性法向雷諾應力驅動的、長的非圓截面導管二次流，因為模型中缺少法向應力處理。最后，若參考坐標系旋轉，k-?模型不能考慮體積力。評價評價優點：只需要提供初始條件和邊界條件的最簡單的湍流模型；對于很多工業流動效果極好；已經完善，是最為普遍有效的湍流模型。缺點：比起混合長度模型，實現其代價較大(多兩個偏微分方程)，在一些重要場合表現較差。如一些無約束流、大應變流(如曲邊界層、回旋流)、旋轉流和非圓截面管的充分發展流等。難以模擬剪切層中平均流場方向的改變對湍流場的影響不能反映雷諾應力的各向異性，