專題4.1數列的概念（重難點題型精講）1．數列的概念數列的定義一般地，把按照確定的順序排列的一列數稱為數列.數列中的每一個數叫做這個數列的項，數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項，常用符號SKIPIF1<0表示，第二個位置上的數叫做這個數列的第2項，用SKIPIF1<0表示第n個位置上的數叫做這個數列的第n項，用SKIPIF1<0表示.其中第1項也叫做首項.2．數列的分類3．數列的通項公式如果數列{SKIPIF1<0}的第n項SKIPIF1<0與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式.4．數列的遞推公式(1)遞推公式的概念如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數列的遞推公式.(2)對數列遞推公式的理解①與“不一定所有數列都有通項公式”一樣，并不是所有的數列都有遞推公式.

②遞推公式是給出數列的一種方法.事實上，遞推公式和通項公式一樣，都是關于項的序號n的恒等式.如果用符合要求的正整數依次去替換n，就可以求出數列的各項.

③用遞推公式求出一個數列，必須給出：基礎——數列{SKIPIF1<0}的第1項(或前幾項)；

遞推關系——數列{SKIPIF1<0}的任意一項SKIPIF1<0與它的前一項SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)(或前幾項)間的關系，并且這個關系可以用等式來表示.5．數列表示方法及其比較6．數列的前n項和數列{SKIPIF1<0}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{SKIPIF1<0}的前n項和，記作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0++SKIPIF1<0.

如果數列{SKIPIF1<0}的前n項和SKIPIF1<0與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的前n項和公式.

SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.7．數列的性質(1)單調性如果對所有的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0>SKIPIF1<0，那么稱數列{SKIPIF1<0}為遞增數列；如果對所有的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0<SKIPIF1<0，那么稱數列{SKIPIF1<0}為遞減數列.(2)周期性如果對所有的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(k為正整數)，那么稱{SKIPIF1<0}是以k為周期的周期數列.

(3)有界性

如果對所有的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，那么稱{SKIPIF1<0}為有界數列，否則稱{SKIPIF1<0}為無界數列.【題型1根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式】【方法點撥】根據數列的前幾項寫出其一個通項公式的方法：首先從下面4個角度觀察數列的前幾項：(1)各項的符號特征；(2)各項能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相鄰項的變化規律.其次尋找各項與對應的項的序號之間的規律.【例1】（2022·甘肅·高二期中）數列32,?5A．2n?12nC．(?1)n+12n+1【變式1-1】（2022·重慶高二階段練習）數列?1,13,?1A．an=C．an=【變式1-2】（2022·浙江·高二開學考試）已知數列an的前4項為：1，?12，14，?1A．an=12n B．a【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）數列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一個通項公式是an=（A．1910C．131?【題型2判斷數列的項】【方法點撥】根據題目條件，結合數列的通項公式，判斷所給的數是否滿足數列的通項公式，求出該數所對應的項數n，即可得解.【例2】（2022·福建·高二階段練習）若一數列為1，37，314，321，…，則3A．不在此數列中 B．第13項 C．第14項 D．第15項【變式2-1】（2022·廣東佛山·高二期末）已知數列an的通項公式為an=A．2 B．3 C．4 D．5【變式2-2】（2022·四川省高一階段練習（理））已知數列an的通項公式為an=3n?1A．第1項 B．第2項 C．第3項 D．第10項【變式2-3】（2021·河北保定·高二期中）已知數列an的通項公式為an=2n+1A．2 B．4 C．8 D．16【題型3根據數列的遞推公式求數列的項、通項公式】【方法點撥】結合所給數列的遞推公式，分析數列之間的規律關系，轉化求解即可.【例3】（2022·陜西·高一期末（理））已知數列an滿足an+1an=n+1nA．an=3nC．an=2n+1【變式3-1】（2022·甘肅·二模（文））數列an滿足nan+1=n+1anA．4043 B．4044 C．2021 D．2022【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習）已知數列an滿足a1+a2A．1?12n B．22【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習）已知數列an滿足a2=0,a2n+1A．20212022 B．20232022 C．1010【題型4數列的單調性的判斷】【方法點撥】判斷單調性的方法：①轉化為函數，借助函數的單調性，如基本初等函數的單調性等，研究數列的單調性.②利用定義判斷：作差比較法，即作差比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大?。蛔魃瘫容^法，即作商比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小，從而判斷出數列{SKIPIF1<0}的單調性.【例4】（2022·浙江·高二期中）在數列an中，a1=3，A．數列an單調遞減 B．數列aC．數列an先遞減后遞增 D．數列a【變式4-1】（2022·遼寧葫蘆島·高二階段練習）下列數列中，為遞減數列的是（

）A．1+5n B．?n2【變式4-2】（2022·天津·高三期中）數列an的通項公式為an=n2+kn，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【變式4-3】（2022·浙江·高二期中）已知數列an滿足：an=(3?a)n?8,n≤6an?6,n>6A．(2,3) B．(1,107) C．【題型5數列的周期性】【方法點撥】結合具體條件，分析數列的前幾項，得出數列的周期，進行轉化求解即可.【例5】（2022·福建·高二期中）在數列an中，a1=?2，an+1=A．?2 B．?13 C．【變式5-1】（2022·江蘇·高二期中）若數列an滿足a1=2，a2=3，aA．-3 B．-2 C．-1 D．2【變式5-2】（2022·河南·高二階段練習）已知數列an滿足a1=2，an+1A．2?1 B．2 C．2+1【變式5-3】（2022·貴州·高三階段練習（文））已知數列{an}滿足a1=?3，aA．14 B．43 C．?1【題型6求數列的最大項、最小項】【方法點撥】利用數列的單調性或構造函數，利用函數的單調性，進行轉化求解即可.【例6】（2022·山西·高三期中）已知數列an滿足a1a2a3?A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【變式6-1】