2021年上海市靜安區中考數學二模試卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．下列計算正確的是（）A．1﹣1＝﹣1 B．10＝0 C．（﹣1）﹣1＝1 D．（﹣1）0＝12．如果關于x的方程x2﹣6x+m＝0有實數根，那么m的取值范圍是（）A．m＞9 B．m≥9 C．m＜9 D．m≤93．一次函數y＝3x﹣2的圖象不經過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．對于等邊三角形，下列說法正確的為（）A．既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形 B．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形 C．是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形 D．既不是中心對稱圖形，又不是軸對稱圖形5．某廠對一個班組生產的零件進行調查，該班組在8天中每天所出的次品數如下（單位：個）：3，3，0，2，2，3，0，3．那么該班組在8天中出的次品數的中位數與方差分別是（）A．2.5與1.5 B．2與1.5 C．2.5與 D．2與6．對于命題：①如果一個圓上所有的點都在另一個圓的內部，那么這兩個圓內含；②如果一個圓上所有的點都在另一個圓的外部，那么這兩個圓外離．下列判斷正確的是（）A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題 C．①、②都是真命題 D．①、②都是假命題二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．化簡：||＝．8．計算：x÷（x2﹣x）＝．9．函數f（x）＝的定義域為．10．如果正比例函數的圖象經過第二、四象限，那么函數值y隨x的增大而．11．方程組的解為．12．從1，2，3這三個數中任選兩個組成兩位數，在組成的所有兩位數中任意抽取一個數，這個數恰好能被3整除的概率是．13．為了了解學生用于閱讀課外書籍的時間的情況，某校在300名九年級學生中隨機對40名學生每周閱讀課外書籍所用的時間進行統計．根據調查結果畫出頻率分布直方圖，如圖所示（每個小組可包括最小值，不包括最大值），由此可以估計該校九年級學生閱讀課外書籍用的時間在6小時及以上的人數約為．14．如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，∠ACD＝∠B，AD＝2，AC＝，設＝，＝，那么＝．（用向量、的式子表示）15．如果⊙O1與⊙O2相交，⊙O1的半徑是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半徑r的取值范圍是．16．如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，矩形DEFG的頂點E、F、G分別在邊AB、BC、CD上，如果DE＝5，tanC＝，那么AE的長為．17．已知矩形紙片ABCD的邊AB＝10，BC＝12（如圖），將它折疊后，點D落在邊AB的中點處，那么折痕的長為．18．在一個三角形中，如果有一個內角是另一內角的n倍（n為整數），那么我們稱這個三角形為n倍角三角形，如果一個三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么這個三角形最小的內角度數為．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）先化簡，再求值：﹣﹣，其中x＝+1．20．（10分）已知點A（2，m+3）在雙曲線y＝上．（1）求此雙曲線的表達式與點A的坐標；（2）如果點B（a，5﹣a）在此雙曲線上，圖象經過點A、B的一次函數的函數值y隨x的增大而增大，求此一次函數的解析式．21．（10分）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC，垂足為E．DC⊥BC，DC＝BC＝2，∠ADB＝90°，BD與AE、AC分別相交于點F、G．求：（1）AF的長；（2）AG的長．22．（10分）小麗的叔叔先用900元從甲批發部購進一種商品，后發現同樣的商品乙批發部比甲批發部每件便宜3元，又用1200元錢從乙批發部購進了同樣的商品，且比從甲批發部購進數量多了40件．問：乙批發部的這種商品每件幾元？23．（12分）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E是AC的中點，DE的延長線交邊BC于點F．（1）求證：四邊形AFCD是平行四邊形；（2）如果2AE2＝AD?BC，求證：四邊形AFCD是菱形．24．（12分）在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（5，0）（如圖），經過點A的拋物線y＝x2+bx+5與y軸相交于點B，頂點為點C．（1）求此拋物線表達式與頂點C的坐標；（2）求∠ABC的正弦值；（3）將此拋物線向上平移，所得新拋物線的頂點為D，且△DCA與△ABC相似，求平移后的新拋物線的表達式．25．（14分）如圖，已知半圓O的直徑AB＝4，點P在線段OA上，半圓P與半圓O相切于點A，點C在半圓P上，CO⊥AB，AC的延長線與半圓O相交于點D，OD與BC相交于點E．（1）求證：AD?AP＝OD?AC；（2）設半圓P的半徑為x，線段CD的長為y，求y與x之間的函數解析式，并寫出定義域；（3）當點E在半圓P上時，求半圓P的半徑．

2021年上海市靜安區中考數學二模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．下列計算正確的是（）A．1﹣1＝﹣1 B．10＝0 C．（﹣1）﹣1＝1 D．（﹣1）0＝1【分析】直接利用零指數冪的性質以及負整數指數冪的性質分別化簡得出答案．【解答】解：A、1﹣1＝1，故此選項錯誤；B、10＝1，故此選項錯誤；C、（﹣1）﹣1＝﹣1，故此選項錯誤；D、（﹣1）0＝1，故此選項正確．故選：D．2．如果關于x的方程x2﹣6x+m＝0有實數根，那么m的取值范圍是（）A．m＞9 B．m≥9 C．m＜9 D．m≤9【分析】由關于x的方程x2﹣6x+m＝0有實數根知△＝b2﹣4ac≥0，求出m的取值范圍即可．【解答】解：∵關于x的方程x2﹣x+m＝0有實數根，∴△≥0，∴△＝（﹣6）2﹣4m≥0，∴m≤9，故選：D．3．一次函數y＝3x﹣2的圖象不經過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據一次函數的圖象與系數的關系解答即可．【解答】解：∵一次函數y＝3x﹣2中，k＝3＞0，b＝﹣2＜0，∴此函數的圖象經過一、三、四象限，不經過第二象限．故選：B．4．對于等邊三角形，下列說法正確的為（）A．既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形 B．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形 C．是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形 D．既不是中心對稱圖形，又不是軸對稱圖形【分析】直接利用軸對稱圖形以及中心對稱圖形的定義分析得出答案．【解答】解：等邊三角形，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形．故選：B．5．某廠對一個班組生產的零件進行調查，該班組在8天中每天所出的次品數如下（單位：個）：3，3，0，2，2，3，0，3．那么該班組在8天中出的次品數的中位數與方差分別是（）A．2.5與1.5 B．2與1.5 C．2.5與 D．2與【分析】將已知數據重新排列，再根據中位數和方差的定義求解即可．【解答】解：將這組數據重新排列為0、0、2、2、3、3、3、3，所以這組數據的中位數為＝2.5，平均數為＝2，則其方差為×[2×（0﹣2）2+2×（2﹣2）2+4×（3﹣2）2]＝1.5，故選：A．6．對于命題：①如果一個圓上所有的點都在另一個圓的內部，那么這兩個圓內含；②如果一個圓上所有的點都在另一個圓的外部，那么這兩個圓外離．下列判斷正確的是（）A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題 C．①、②都是真命題 D．①、②都是假命題【分析】根據兩圓的位置關系、直線和圓的位置關系判斷即可．【解答】解：①如果一個圓上所有的點都在另一個圓的內部，那么這兩個圓內含，是真命題；②如果第一個圓上的點都在第二個圓的外部，那么這兩個圓外離或內含，原命題是假命題；故選：A．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．化簡：||＝．【分析】要先判斷出＜0，再根據絕對值的定義即可求解．【解答】解：∵＜0∴||＝2﹣．故答案為：2﹣．8．計算：x÷（x2﹣x）＝．【分析】先把除法運算寫成分式的形式，再根據分式的基本性質進行化簡即可．【解答】解：原式＝＝＝．故答案為：．9．函數f（x）＝的定義域為x≠．【分析】函數的定義域，需要使函數有意義，即分母不為0，列出不等式，即可求出x的取值范圍．【解答】解：根據題意可得，3﹣2x≠0，即x≠．故答案為：x≠．10．如果正比例函數的圖象經過第二、四象限，那么函數值y隨x的增大而減小．【分析】畫出大致圖象即可得到答案；【解答】解：正比例函數的圖象經過第二、四象限，大致圖象如圖：x越大，y越小，故答案為：減小．11．方程組的解為．【分析】根據題意先對第一個式子因式分解，求出x+y的值，即可求解了．【解答】解：∵x2+y2＝（x+y）（x﹣y）．∴將x﹣y＝1代入．∴x+y＝3．∴．∴．故答案為：．12．從1，2，3這三個數中任選兩個組成兩位數，在組成的所有兩位數中任意抽取一個數，這個數恰好能被3整除的概率是．【分析】畫樹狀圖，共有6個等可能的結果，在組成的所有兩位數中任意抽取一個數，這個數恰好能被3整除的結果有2個，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如圖：共有6個等可能的結果，在組成的所有兩位數中任意抽取一個數，這個數恰好能被3整除的結果有2個，∴在組成的所有兩位數中任意抽取一個數，這個數恰好能被3整除的概率為＝，故答案為：．13．為了了解學生用于閱讀課外書籍的時間的情況，某校在300名九年級學生中隨機對40名學生每周閱讀課外書籍所用的時間進行統計．根據調查結果畫出頻率分布直方圖，如圖所示（每個小組可包括最小值，不包括最大值），由此可以估計該校九年級學生閱讀課外書籍用的時間在6小時及以上的人數約為120人．【分析】求出九年級學生閱讀課外書籍用的時間在6小時及以上的人數所占得百分比即可．【解答】解：300×（25%+15%）＝120（人），故答案為：120人．14．如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，∠ACD＝∠B，AD＝2，AC＝，設＝，＝，那么＝﹣．（用向量、的式子表示）【分析】根據＝+，求解即可．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴AC2＝AD?AB，∴（）2＝AD?AB，∴AB＝3，∴BD＝1，∴BD＝AB，∴＝，∴＝+，∴＝﹣．故答案為：15．如果⊙O1與⊙O2相交，⊙O1的半徑是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半徑r的取值范圍是2＜r＜8．【分析】根據數量關系與兩圓位置關系的對應情況求得，兩圓相交，則R﹣r＜d＜R+r．【解答】解：∵兩圓相交，∴圓心距的取值范圍是|5﹣r|＜3＜5+r，即2＜r＜8．故答案為：2＜r＜8．16．如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，矩形DEFG的頂點E、F、G分別在邊AB、BC、CD上，如果DE＝5，tanC＝，那么AE的長為2．【分析】證明AE＝CG，解直角三角形求出CG，可得結論．【解答】解：∵四邊形DEFG是矩形，∴EF∥CD，EF＝DG，∠FGD＝∠FGC＝90°，DE＝FG＝5，∴∠EFB＝∠C，∵AD∥BC，AB＝CD，∴四邊形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EFB，∴BE＝EF＝DG，∴AE＝CG，在Rt△FGC中，tanC＝＝，∴CG＝2，∴AE＝CG＝2，故答案為：2．17．已知矩形紙片ABCD的邊AB＝10，BC＝12（如圖），將它折疊后，點D落在邊AB的中點處，那么折痕的長為．【分析】先畫出圖形，構造相似三角形求出MF，再利用勾股定理求解．【解答】解：過點E作EM⊥BC于點M，∵把矩形ABCD折疊，點D與AB中點P重合，點C落在G處，∴EF垂直平分PD，∴∠EDP+∠DEF＝90°，∵∠DEF+∠MEF＝90°，∴∠EDP＝∠MEF，∵∠EMF＝90°，∠A＝90°，∴△ADP∽△FEM，∴．在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，P為AB點，∴AD＝12，AP＝5，EM＝10，∴，∴，在Rt△EMF中，．18．在一個三角形中，如果有一個內角是另一內角的n倍（n為整數），那么我們稱這個三角形為n倍角三角形，如果一個三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么這個三角形最小的內角度數為30°或20°或18°或．【分析】根據2倍角三角形、3倍角三角形的定義，這道題分兩種情況去討論解決．【解答】解：①設最小內角度數為n°，2倍角為2n°，3倍角為3n°，∴n+2n+3n＝180，∴n＝30；②設最小內角度數為n°，2倍角為2n°，3倍角為6n°，∴n+2n+6n＝180，∴n＝20．③設最小內角度數為n°，3倍角為3n°，2倍角為6n°，∴n+3n+6n＝180，∴n＝18．④設最小內角度數為2n°，其余兩個角為3n°和6n°，∴2n+3n+6n＝180，∴n＝，∴2n＝．故答案為：30°或20°或18°或．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）先化簡，再求值：﹣﹣，其中x＝+1．【分析】根據分式的減法可以化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題．【解答】解：﹣﹣＝＝＝＝＝，當x＝+1時，原式＝＝＝＝．20．（10分）已知點A（2，m+3）在雙曲線y＝上．（1）求此雙曲線的表達式與點A的坐標；（2）如果點B（a，5﹣a）在此雙曲線上，圖象經過點A、B的一次函數的函數值y隨x的增大而增大，求此一次函數的解析式．【分析】（1）把點A（2，m+3）代入y＝求得m，即可求出結果；（2）把點B（a，5﹣a）代入y＝求得a得到B點的坐標，由待定系數法求出一次函數解析式，根據題意舍去不合題意的解析式即可得到此一次函數的解析式．【解答】解：（1）∵點A（2，m+3）在雙曲線y＝上，∴m+3＝，解得：m＝﹣6，∴m+3＝﹣3，∴此雙曲線的表達式為y＝，點A的坐標為（2，﹣3）；（2）∵點B（a，5﹣a）在此雙曲線y＝上，∴5﹣a＝，解得：a＝﹣1或a＝6，∴點B的坐標為（﹣1，6）或（6，﹣1），由（1）知A（2，﹣3），設一次函數的解析式為y＝kx+b，當B（﹣1，6）時，∵一次函數的圖象經過點A、B，∴，解得：，∴一次函數的解析式為y＝﹣3x+3，∵k＜0，∴一次函數的函數值y隨x的增大而減小，故不合題意，舍去，當B（6，﹣1）時，則，解得：，∴一次函數的解析式為y＝x﹣4，∵k＞0，∴一次函數的函數值y隨x的增大而增大，符合合題意，∴此一次函數的解析式為y＝x﹣4．21．（10分）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC，垂足為E．DC⊥BC，DC＝BC＝2，∠ADB＝90°，BD與AE、AC分別相交于點F、G．求：（1）AF的長；（2）AG的長．【分析】（1）根據等腰三角形的性質可得點E是BC的中點，證明AE∥DC，可得EF是△BCD的中位線，再根據條件證明△ADF是等腰直角三角形，進而根據勾股定理可得結果；（2）由（1）可得AF＝CD＝2，EF＝1，BE＝1，所以AE＝3，根據勾股定理可得AB＝，所以AC＝AB＝，再證明△AFG≌△CDG，可得AG＝CG，進而可得結論．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AE⊥BC，∴點E是BC的中點，∴BE＝BC＝2＝1，∵DC⊥BC，∴AE∥DC，∵DC⊥BC，DC＝BC＝2，∴BD＝＝2，∠CBD＝45°，∵點E是BC的中點，∴EF是△BCD的中位線，∴EF＝DC＝1，DF＝BD＝，∵∠CBD＝45°，∴∠AFD＝∠EFB＝45°，∵∠ADB＝90°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AD＝DF＝，∴AF＝＝2；（2）由（1）可知：AF＝CD＝2，EF＝1，BE＝1，∴AE＝AF+EF＝2+1＝3，∴AB＝＝＝，∴AC＝AB＝，∵AE∥CD，∴∠FAG＝∠DCG，在△AFG和△CDG中，，∴△AFG≌△CDG（AAS），∴AG＝CG，∴AG＝AC＝．22．（10分）小麗的叔叔先用900元從甲批發部購進一種商品，后發現同樣的商品乙批發部比甲批發部每件便宜3元，又用1200元錢從乙批發部購進了同樣的商品，且比從甲批發部購進數量多了40件．問：乙批發部的這種商品每件幾元？【分析】設乙批發部的這種商品每件x元，則甲批發部的這種商品每件（x+3）元，利用數量＝總價÷單價，結合從乙批發部購進的數量比從甲批發部購進數量多了40件，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論．【解答】解：設乙批發部的這種商品每件x元，則甲批發部的這種商品每件（x+3）元，依題意得：﹣＝40，整理得：2x2﹣9x﹣180＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣，經檢驗，x1＝12，x2＝﹣是原方程的解，x1＝12符合題意，x2＝﹣不合題意，舍去．答：乙批發部的這種商品每件12元．23．（12分）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E是AC的中點，DE的延長線交邊BC于點F．（1）求證：四邊形AFCD是平行四邊形；（2）如果2AE2＝AD?BC，求證：四邊形AFCD是菱形．【分析】（1）根據AAS證明△ADE≌△CFE得出ED＝EF，進而可得四邊形AFCD是平行四邊形；（2）根據2AE2＝AD?BC，可得AE?AC＝AD?BC，所以＝，再證明△ADE∽△CAB，可得∠AED＝∠B＝90°，進而可得結論．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，∵點E是AC的中點，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴ED＝EF，∵AE＝CE，∴四邊形AFCD是平行四邊形；（2）證明：∵2AE2＝AD?BC，∴AE?AC＝AD?BC，∴＝，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠FCE，∴△ADE∽△CAB，∴∠AED＝∠B＝90°，∴DF⊥AC，∴四邊形AFCD是菱形．24．（12分）在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（5，0）（如圖），經過點A的拋物線y＝x2+bx+5與y軸相交于點B，頂點為點C．（1）求此拋物線表達式與頂點C的坐標；（2）求∠ABC的正弦值；（3）將此拋物線向上平移，所得新拋物線的頂點為D，且△DCA與△ABC相似，求平移后的新拋物線的表達式．【分析】（1）將A（5，0）代入y＝x2+bx+5可得表達式，配方即得頂點坐標；（2）設BC與x軸交于F，過F作FE⊥AB于E，求出EF、BF即可得出答案；（3）設D坐標，用三邊對應成比例列方程，求出D的坐標即可得出答案．【解答】解：（1）將A（5，0）代入y＝x2+bx+5得：0＝25+5b+5，解得b＝﹣6，∴拋物線表達式為y＝x2﹣6x+5，∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴頂點C的坐標為（3，﹣4）；（2）設BC與x軸交于F，過F作FE⊥AB于E，如圖：拋物線y＝x2﹣6x+5與y軸交于B（0，5），設BC解析式為y＝mx+n，將B（0，5），C（3，﹣4）代入得：，解得，∴BC解析式為y＝﹣3x+5，令y＝0得x＝，∴F（，0），∴AF＝OA﹣OF＝，∵B（0，5），A（5，0），∴OA＝OB＝5，AB＝5，∠BAO＝45°，∴AE＝AF?cos45°＝＝EF，∴BE＝AB﹣AE＝，∴BF＝＝，∴sin∠ABC＝＝＝；（3）拋物線向上平移，所得新拋物線的頂點為D，設D（3，m），則平移后的新拋物線的表達式為y＝（x﹣3）2+m，且CD＝m﹣（﹣4）＝m+4，AD＝，AC＝＝2，AB＝5，BC＝3，若△DCA與△ABC相似，只需三邊對應成比例，但AC對應邊不能是AC，故分三種情況：①若△ABC∽△DCA，如圖：，即，解得：m＝﹣，∴