2023-2024學年河南省商丘市夏邑縣九年級第一學期期中數學試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的.1．以下圖案中，既是軸對稱圖案又是中心對稱圖案的是（）A． B． C． D．2．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0時，配方后正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝173．x＝1是關于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，則4a+8b＝（）A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．﹣64．如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B的坐標為（6，0），將△ABO繞著點B順時針旋轉60°，得到△DBC，則點C的坐標是（）A．（3，3） B．（3，3） C．（6，3） D．（3，6）5．已知二次函數y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列說法正確的是（）A．對稱軸為x＝﹣2 B．x＜2時，y隨x的增大而減小 C．函數的最大值是﹣3 D．函數的最小值是﹣36．如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，Q是優弧上一點，若∠APB＝40°，則∠AQB的度數是（）A．50° B．70° C．80° D．85°7．如圖，⊙O的圓心O與正方形的中心重合，已知⊙O的半徑和正方形的邊長都為4，則圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值為（）A． B．2 C． D．8．在同一平面直角坐標系中，函數y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常數，且a≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．9．如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點D，DO的延長線交⊙O于點E．若AC＝4，DE＝4，則BC的長是（）A．1 B． C．2 D．410．如圖，拋物線y＝ax2+c經過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸上，則ac的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4二、填空題（每小題3分，共18分）11．已知點A（﹣2，b）與點B（a，3）關于原點對稱，則a﹣b＝．12．在平面直角坐標系xOy中，若拋物線y＝x2+2x+k與x軸只有一個交點，則k＝．13．為了加快數字化城市建設，某市計劃新建一批智能充電樁，第一個月新建了301個充電樁，第三個月新建了500個充電樁，設該市新建智能充電樁個數的月平均增長率為x，根據題意，請列出方程．14．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象如圖所示，當﹣5≤x≤0時，函數y的最大值是，最小值是．15．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點D，交AC于點E，則弧DE的長為cm．16．如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的正半軸交于點A，對稱軸為直線x＝1．下面結論：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個根大于﹣1且小于0．其中正確的是．（只填序號）三、解答題（本大題共7小題，共72分）17．解方程（1）x（x﹣2）＝x﹣2；（2）x2﹣6x+5＝0．18．如圖，在方格紙中按要求畫圖，并完成填空．（1）畫出線段OA繞點O順時針旋轉90°后得到的線段OB，連接AB；（2）畫出與△AOB關于直線OB對稱的圖形，點A的對稱點是C；（3）填空：∠OCB的度數為．19．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB．（1）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；（2）若AB＝，AD＝1，求CD的長度．20．如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2m寬的門（建在EF處，另用其他材料）．（1）當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640m2的羊圈？（2）羊圈的面積能達到650m2嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由．21．如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，∠ACB＝60°，AD經過圓心O交⊙O于點E，連接BD，∠ADB＝30°．（1）判斷直線BD與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若AB＝4，求圖中陰影部分的面積．22．一次足球訓練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當球飛行的水平距離為6m時，球達到最高點，此時球離地面3m．已知球門高OB為2.44m，現以O為原點建立如圖所示直角坐標系．（1）求拋物線的函數表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）；（2）對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經過點O正上方2.25m處？23．圖1是邊長分別為a和b（a＞b）的兩個等邊三角形紙片△ABC和△CDE疊放在一起（C與C′重合）的圖形．（1）操作：固定△ABC，將△CDE繞點C按順時針方向旋轉20°，連結AD，BE，如圖2，則∠ECA＝度，并直接寫出線段BE與AD的數量關系．（2）操作：若將圖1中的△CDE，繞點C按順時針方向旋轉120°，使點B、C、D在同一條直線上，連結AD、BE，如圖3．①線段BE與AD之間是否仍存在（1）中的結論？若是，請證明；若不是，請直接寫出BE與AD之間的數量關系；②求∠APB的度數．（3）若將圖1中的△CDE，繞點C按逆時針方向旋轉一個角α（0＜α＜360°），當α等于多少度時，△BCD的面積最大？請直接寫出答案．

參考答案一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的.1．以下圖案中，既是軸對稱圖案又是中心對稱圖案的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義判斷即可．解：A、是軸對稱圖案，不是是中心對稱圖案，故此選項不符合題意；B、既是軸對稱圖案又是中心對稱圖案，故此選項符合題意；C、是軸對稱圖案，不是是中心對稱圖案，故此選項不符合題意；D、是軸對稱圖案，不是是中心對稱圖案，故此選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，熟練掌握這兩個概念是解題的關鍵．2．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0時，配方后正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17【分析】先把﹣1移到方程的右邊，然后方程兩邊都加4，再把左邊根據完全平方公式寫成完全平方的形式即可．解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5．故選：C．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．3．x＝1是關于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，則4a+8b＝（）A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．﹣6【分析】根據題意可得：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0中得：12+a+2b＝0，從而可得a+2b＝﹣1，然后進行計算即可解答．解：由題意得：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0中得：12+a+2b＝0，解得：a+2b＝﹣1，∴4a+8b＝4（a+2b）＝4×（﹣1）＝﹣4，故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解的意義是解題的關鍵．4．如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B的坐標為（6，0），將△ABO繞著點B順時針旋轉60°，得到△DBC，則點C的坐標是（）A．（3，3） B．（3，3） C．（6，3） D．（3，6）【分析】作CM⊥x軸于M，再利用旋轉的性質求出BC＝OB＝6，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BM，利用勾股定理列式求出CM，然后求出點C的橫坐標，再寫出點C的坐標即可．解：作CM⊥x軸于M，∵點B的坐標為（6，0），∴BC＝OB＝6，∵∠OBC＝60°，∴BM＝，CM＝＝3，∴OM＝OB﹣BM＝6﹣3＝3，∴C（3，3）．故選：B．【點評】本題考查了坐標與圖形變化﹣旋轉，解直角三角形，求出OM、CM的長度是解題的關鍵．5．已知二次函數y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列說法正確的是（）A．對稱軸為x＝﹣2 B．x＜2時，y隨x的增大而減小 C．函數的最大值是﹣3 D．函數的最小值是﹣3【分析】利用二次函數y＝a（x﹣h）2+k的性質解答．解：對于選項A：對稱軸為x＝2，故A不符合題意；對于選項B：x＜2時，y隨x的增大而增大，故B不符合題意；對于選項C：函數的最大值是﹣3，故C符合題意；對于選項D：函數的最大值是﹣3，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了二次函數y＝a（x﹣h）2+k的性質，難度較小．6．如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，Q是優弧上一點，若∠APB＝40°，則∠AQB的度數是（）A．50° B．70° C．80° D．85°【分析】連接OA、OB，如圖，先根據切線的性質得OA⊥PA，OB⊥PB，再利用四邊形的內角和計算出∠AOB＝140°，然后根據圓周角定理得到∠AQB的度數．解：連接OA、OB，如圖，∵PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣∠P＝180°﹣40°＝140°，∴∠AQB＝∠AOB＝70°．故選：B．【點評】本題看了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了圓周角定理．7．如圖，⊙O的圓心O與正方形的中心重合，已知⊙O的半徑和正方形的邊長都為4，則圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值為（）A． B．2 C． D．【分析】如圖，由三角形三邊關系分析可得當O、A、B三點共線時，圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離有最小值，最小值為OB﹣OA，以此即可求解．解：如圖，點B為⊙O上一點，點D為正方形上一點，連接BD，OC，OA，AB，由三角形三邊關系可得，OB﹣OD＜BD，OB是圓的半徑，為定值，當點D在A時，取得最大值，∴當O、A、B三點共線時，圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離有最小值，最小值為OB﹣OA，由題意可得，AC＝4，OB＝4，∵點O為正方形的中心，∴OA⊥OC，OA＝OC，∴△AOC為等腰直角三角形，∴OA＝＝＝，∴圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值為OB﹣OA＝4﹣．故選：D．【點評】本題主要考查正方形的性質、利用三角形三邊關系求最值問題，利用三角形三邊關系分析得出當O、A、B三點共線時，圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離有最小值是解題關鍵．8．在同一平面直角坐標系中，函數y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常數，且a≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】可先根據一次函數的圖象判斷a的符號，再判斷二次函數圖象與實際是否相符，判斷正誤．解：A、由一次函數y＝ax+a的圖象可得：a＜0，此時二次函數y＝﹣ax2+2x+1的圖象應該開口向上，對稱軸x＝﹣＜0，故選項錯誤；B、由一次函數y＝ax+a的圖象可得：a＜0，此時二次函數y＝﹣ax2+2x+1的圖象應該開口向上，對稱軸x＝﹣＜0，故選項正確；C、由一次函數y＝ax+a的圖象可得：a＞0，此時二次函數y＝﹣ax2+2x+1的圖象應該開口向下，故選項錯誤；D、由一次函數y＝ax+a的圖象可得：a＜0，此時二次函數y＝﹣ax2+2x+1的圖象應該開口向上，故選項錯誤．故選：B．【點評】本題考查了二次函數、一次函數的圖象和性質，熟知函數與系數的關系，一次函數、二次函數的性質是解題的關鍵．9．如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點D，DO的延長線交⊙O于點E．若AC＝4，DE＝4，則BC的長是（）A．1 B． C．2 D．4【分析】由垂徑定理可知，點D是AC的中點，則OD是△ABC的中位線，所以OD＝BC，設OD＝x，則BC＝2x，則OE＝4﹣x，AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB2＝AC2+BC2，即（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，求出x的值即可得出結論．解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°，∵OD⊥AC，∴點D是AC的中點，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥BC，且OD＝BC，設OD＝x，則BC＝2x，∵DE＝4，∴OE＝4﹣x，∴AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，解得x＝1．∴BC＝2x＝2．故選：C．【點評】本題主要考查中位線的性質與判定，垂徑定理，勾股定理等知識，設出參數，根據勾股定理得出方程是解題關鍵．10．如圖，拋物線y＝ax2+c經過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸上，則ac的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【分析】過A作AH⊥x軸于H，根據正方形的性質得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系數法求得a、c的值，即可求得結論．解：過A作AH⊥x軸于H，∵四邊形ABCO是正方形，∴∠AOB＝45°，∴∠AOH＝45°，∴AH＝OH，設A（m，m），則B（0，2m），∴，解得am＝﹣1，m＝，∴ac的值為﹣2，故選：B．【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，根據圖象得出拋物線經過的點的坐標是解題的關鍵．二、填空題（每小題3分，共18分）11．已知點A（﹣2，b）與點B（a，3）關于原點對稱，則a﹣b＝5．【分析】根據關于原點對稱的點的坐標，可得答案．解：∵點A（﹣2，b）與點B（a，3）關于原點對稱，∴a＝2，b＝﹣3，∴a﹣b＝2+3＝5，故答案為：5．【點評】本題考查了關于原點對稱的點的坐標，利用關于原點對稱的點的坐標規律得出a，b是解題關鍵．12．在平面直角坐標系xOy中，若拋物線y＝x2+2x+k與x軸只有一個交點，則k＝1．【分析】由題意得：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，即可求解．解：由題意得：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，解得k＝1，故答案為1．【點評】本題考查的是拋物線和x軸的交點，Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點，Δ＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點，Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．13．為了加快數字化城市建設，某市計劃新建一批智能充電樁，第一個月新建了301個充電樁，第三個月新建了500個充電樁，設該市新建智能充電樁個數的月平均增長率為x，根據題意，請列出方程301（1+x）2＝500．【分析】設該市新建智能充電樁個數的月平均增長率為x，根據第一個月新建了301個充電樁，第三個月新建了500個充電樁，即可得出關于x的一元二次方程．解：設該市新建智能充電樁個數的月平均增長率為x，依題意得：301（1+x）2＝500．故答案為：301（1+x）2＝500．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．14．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象如圖所示，當﹣5≤x≤0時，函數y的最大值是6，最小值是﹣3．【分析】由圖象可知頂點坐標為（﹣2，6），最低點的坐標為（﹣5，﹣3），可得結果．解：由圖象可知，拋物線的頂點坐標為（﹣2，6），∴函數y的最大值是6，當﹣5≤x≤0時，拋物線的最低點坐標為（﹣5，﹣3），∴函數的最小值是﹣3，故答案為：6，﹣3．【點評】本題考查了二次函數的圖象和函數值的大小，直接通過函數圖象上點的坐標即可判斷，需要注意自變量x的取值范圍．15．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點D，交AC于點E，則弧DE的長為πcm．【分析】連接OE，OD，由等腰三角形的性質推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧長公式即可求出的長．解：連接OE，OD，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∴∠EOD＝∠AEO，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠BAC＝50°，∴∠EOD＝∠BAC＝50°，∵OD＝AB＝×6＝3（cm），∴的長＝＝π（cm）．故答案為：π．【點評】本題考查弧長的計算，等腰三角形的性質，平行線的性質，關鍵是由等腰三角形的性質推出OD∥AC，從而求出∠EOD的度數．16．如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的正半軸交于點A，對稱軸為直線x＝1．下面結論：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個根大于﹣1且小于0．其中正確的是①②④．（只填序號）【分析】根據題意和函數圖象，可以判斷各個小題中的結論是否成立，本題得以解決．解：由圖象可得，a＜0，b＞0，c＞0，則abc＜0，故①正確；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正確；∵函數圖象與x軸的正半軸交點在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是直線x＝1，∴函數圖象與x軸的另一個交點在點（0，0）和點（﹣1，0）之間，故④正確；∴當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，∴y＝a+2a+c＜0，∴3a+c＜0，故③錯誤；故答案為：①②④．【點評】本題考查二次函數圖象與系數的關系、二次函數圖象上點的坐標特征、拋物線與x軸的交點，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和數形結合的思想解答．三、解答題（本大題共7小題，共72分）17．解方程（1）x（x﹣2）＝x﹣2；（2）x2﹣6x+5＝0．【分析】（1）移項后用因式分解法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．解：（1）x（x﹣2）＝x﹣2，移項得，x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，因式分解得，（x﹣2）（x﹣1）＝0，，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝1，∴原方程的解是：x1＝2，x2＝1；（2）∵x2﹣6x+5＝0，∴（x﹣1）（x﹣5）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣5＝0，∴x1＝1，x2＝5．【點評】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關鍵．18．如圖，在方格紙中按要求畫圖，并完成填空．（1）畫出線段OA繞點O順時針旋轉90°后得到的線段OB，連接AB；（2）畫出與△AOB關于直線OB對稱的圖形，點A的對稱點是C；（3）填空：∠OCB的度數為45°．【分析】（1）利用網格特點和旋轉的性質畫出點A的對稱點B，從而得到OB；（2）延長AO到C點使OC＝OA，則△COB滿足條件；（3）先根據旋轉的性質得到OB＝OA，∠AOB＝90°，則可判斷△OAB為等腰直角三角形，所以∠OAB＝45°，然后利用對稱的性質得到∠OCB的度數．解：（1）如圖，OB為所作；（2）如圖，△COB為所作；（3）∵線段OA繞點O順時針旋轉90°后得到的線段OB，∴OB＝OA，∠AOB＝90°，∴△OAB為等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°，∵△COB與△AOB關于直線OB對稱，∴∠OCB＝∠OAB＝45°．故答案為：45°．【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．也考查了軸對稱變換．19．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB．（1）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；（2）若AB＝，AD＝1，求CD的長度．【分析】（1）根據圓周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；（2）根據勾股定理解答即可．解：（1）△ABC是等腰直角三角形，證明過程如下：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．（2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝，∴AC＝2，在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，∴CD＝．即CD的長為：．【點評】本題主要考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握相關性質定理是解答本題的關鍵．20．如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2m寬的門（建在EF處，另用其他材料）．（1）當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640m2的羊圈？（2）羊圈的面積能達到650m2嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由．【分析】（1）根據BC＝柵欄總長﹣2AB，再利用矩形面積公式即可求出；（2）把S＝650代入x（72﹣2x）中函數解析式中，解方程，取在自變量范圍內的值即可．解：（1）設矩形ABCD的邊AB＝xm，則邊BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．根據題意，得x（72﹣2x）＝640，化簡，得x2﹣36x+320＝0，解得x1＝16，x2＝20，當x＝16時，72﹣2x＝72﹣32＝40（m），當x＝20時，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）．答：當羊圈的長為40m，寬為16m或長為32m，寬為20m時，能圍成一個面積為640m2的羊圈；（2）答：不能，理由：由題意，得x（72﹣2x）＝650，化簡，得x2﹣36x+325＝0，Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，∴一元二次方程沒有實數根．∴羊圈的面積不能達到650m2．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找到周長等量關系是解決本題的關鍵．21．如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，∠ACB＝60°，AD經過圓心O交⊙O于點E，連接BD，∠ADB＝30°．（1）判斷直線BD與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若AB＝4，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）連接BE，根據圓周角定理得到∠AEB＝∠C＝60°，連接OB，根據等邊三角形的性質得到∠BOD＝60°，根據切線的判定定理即可得到結論；（2）根據圓周角定理得到∠ABE＝90°，解直角三角形得到OB，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論．解：（1）直線BD與⊙O相切，理由：連接BE，∵∠ACB＝60°，∴∠AEB＝∠C＝60°，連接OB，∵OB＝OE，∴△OBE是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∵∠ADB＝30°，∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OB⊥BD，∵OB是⊙O的半徑，∴直線BD與⊙O相切；（2）∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，∵AB＝4，∴sin∠AEB＝sin60°＝＝＝，∴AE＝8，∴OB＝4，∴BD＝OB＝4，∴圖中陰影部分的面積＝S△OBD﹣S扇形BOE＝4×﹣＝8﹣．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形，扇形面積的計算，正確地作出輔助線是解題的關鍵．22．一次足球訓練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當球飛行的水平距離為6m時，球達到最高點，此時球離地面3m．已知球門高OB為2.44m，現以O為原點建立如圖所示直角坐標系．（1）求拋物線的函數表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）；（2）對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經過點O正上方2.25m處？【分析】（1）求出拋物線的頂點坐標為（2，3），設拋物線為y＝a（x﹣2）2+3，用待定系數法可得y＝﹣（x﹣2）2+3；當x＝0時，y＝﹣×4+3＝＞2.44，知球不能射進球門．（2）設小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把點（0，2.25）代入得m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知當時他應該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經過點O正上方2.25m處．解：（1）∵8﹣6＝2，∴拋物線的頂點坐標為（2