第2課時(shí)函數(shù)的極值與最大(小)值

［考試要求］

1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件.

2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.

3.會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.

［走進(jìn)教材?夯實(shí)基礎(chǔ)］回顧知識(shí)?激活技能

€>梳理?必備知識(shí)

1.函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值：

函數(shù)y=*x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值7(。)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，

f(tz)=O；而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)*x)<0,右側(cè)片x)〉0.則幺叫做函數(shù)y=7(x)

的極小值點(diǎn)，八。)叫做函數(shù)y=/(x)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值：

函數(shù)y=?x)在點(diǎn)的函數(shù)值1與比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，

/(份=0；而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)尸(x)>0,右側(cè)［(x)<0.則也叫做函數(shù)y=/(x)

的極大值點(diǎn)，#加叫做函數(shù)y=Ax)的極大值.

(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn),極小值和極大值統(tǒng)稱(chēng)為極值.

提醒：(1)函數(shù)人x)在次處有極值的必要不充分條件是/(%())=0,極值點(diǎn)是f(x)

=0的根，但/(x)=0的根不都是極值點(diǎn)(例如式?=/，/'(0)=0,但x=0不是

極值點(diǎn)).

(2)極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫(huà)的是函數(shù)的局部性質(zhì).極

值點(diǎn)是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn).

2.函數(shù)的最大(小)值

(1)函數(shù)/U)在區(qū)間也，句上有最值的條件：

如果在區(qū)間［。，/上函數(shù)y=/U)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn),那么它必有

最大值和最小值.

(2)求y=/(x)在區(qū)間出，句上的最大(小)值的步驟：

①求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,加上的極值;

②將函數(shù)y=>x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值4a),48)比較,其中最大的一

個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.

［常用結(jié)論］

1.若函數(shù)Hx)的圖象連續(xù)不斷，則依)在修,加上一定有最值.

2.若函數(shù)人處在［a,加上是單調(diào)函數(shù)，則")一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值.

3.若函數(shù)"x)在區(qū)間(a,/?)內(nèi)只有一■個(gè)極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值點(diǎn)、一定是由數(shù)

的最值點(diǎn).

?激活?基本技能

一'易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.()

(2)函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)是函數(shù)y=?r)的極值點(diǎn).()

(3)函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值.()

(4)函數(shù)在某區(qū)間上的極大值是唯一的.()

［答案］(1)V(2)X(3)X(4)X

二'教材習(xí)題衍生

1../U)的導(dǎo)函數(shù)/(X)的圖象如圖所示，則“r)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.lB.2C.3D.4

A「由題意知在x=-l處/(-1)=0,且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左負(fù)右正，兀。

在x=-1左減右增.故選A.］

2.函數(shù),/(x)=2x—xInx的極大值是()

2

A.e-B.-eC.eD.e

C，(x)=2—(lnx+l)=l—Inx.令/(x)=0,得x=e.當(dāng)OVxVe時(shí)，，(x)

>0;當(dāng)x>e時(shí)，/(x)V0.所以x=e時(shí)，於:)取到極大值，

3.若函數(shù)兀r)=x(九一c)2在x=2處有極小值，則常數(shù)c的值為()

A.4B.2或6C.2D.6

C［函數(shù)=x(x-cP的導(dǎo)數(shù)為/(x)=3X2—4cx+c2.

由題意知，/(X)在x=2處的導(dǎo)數(shù)值為12—8C+C2=0,解得c=2或6.

2

又函數(shù)"x)=x(x—c)2在x=2處有極小值，故導(dǎo)數(shù)在x=2處左側(cè)為負(fù)，右側(cè)

為正.當(dāng)c=2時(shí)，?r)=x(x-2)2的導(dǎo)數(shù)在x=2處左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，即在x

=2處有極小值.而當(dāng)c=6時(shí)，/(x)=x(x—6)2在x=2處有極大值.故c=2.］

4.若函數(shù)兀6=*—4尤+加在［0,3］上的最大值為4,則.

4『(x)=f—4,x￡［0,3］,當(dāng)xW［0,2)時(shí),/(x)<0,當(dāng)x@(2,3］時(shí),/(x)>0,

所以兀c)在［0，2)上單調(diào)遞減，在(2,3］上單調(diào)遞增.又人0)=加，人3)=-3+/〃.

所以在［0,3］上，./U)1naxf0)=4,所以機(jī)=41

【細(xì)研考慮?突破題型］重難解惑直擊高考

□考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值修維探究

考向1根據(jù)函數(shù)的圖象判斷極值

［典例1一1］(2021.鄭州模擬)設(shè)函數(shù).*x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為了⑴，且

函數(shù)y=(l—x)/(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()

A.函數(shù)人x)有極大值.穴2)和極小值.*1)

B.函數(shù)_/(x)有極大值1一2)和極小值人1)

C.函數(shù)人x)有極大值.*2)和極小值八-2)

D.函數(shù)/U)有極大值人-2)和極小值火2)

D［由題圖可知，當(dāng)xV—2時(shí)，Q)>0;當(dāng)一2V*V1時(shí)，/(x)V0：當(dāng)

l<x<2時(shí)，f(x)<0;當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0.

由此可以得到函數(shù)於)在方=一2處取得極大值，在x=2處取得極小值.］

考向2求已知函數(shù)的極值

［典例1—2］已知函數(shù).*x)=lnx—ax(aGR).

(1)當(dāng)a=g時(shí)，求.*x)的極值；

(2)討論函數(shù)?v)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

II］［2—x

［解］⑴當(dāng)4=］時(shí)，於)=lnx—那，定義域?yàn)?0,+°°),且了(］)=［一］=W?

令f(x)—0,解得x=2.

3

于是當(dāng)X變化時(shí)，f(X),八X)的變化情況如下表.

X(0,2)2(2,+8)

/(x)+0—

於)單調(diào)遞增In2-1單調(diào)遞減

故火x)在定義域上的極大值為42)=ln2—l,無(wú)極小值.

[1—

(2)由(1)知，函數(shù)的定義域?yàn)?0,+°°),f'(x)=—Xa=-X：—.

當(dāng)aWO時(shí)，f'(x)>0在(0,+8)上恒成立，

即函數(shù)/U)在(0,+8)上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)/(x)在定義域上無(wú)極值點(diǎn)；

當(dāng)aX),xG(0,J時(shí)，f(x)>0,

當(dāng)xwg+8%寸，[(x)<0,

故函數(shù)式X)在x=：處有極大值.

綜上可知，當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)；U)無(wú)極值點(diǎn)；

當(dāng)。>0時(shí)，函數(shù)/U)有一個(gè)極大值點(diǎn)，且為x=(.

考向3已知極值(點(diǎn))求參數(shù)

[典例113](1)已知/(》)=；13+3加+為(:+/在x=—1處有極值0,則a+Z?

(2)(2021.全國(guó)乙卷)設(shè)aWO,若x=a為函數(shù)/(x)=a(x—a)2(xi)的極大值點(diǎn),

則()

A.a〈bB.a>b

C.ab<a2D.ab>c^

(1)11(2)D[(l/(x)=3f+6以+江

f(-1)=0,

由題意得<

/(-I)=0,

。=1,a=2.

解得1或，

b=3b=9,

當(dāng)a=l,6=3時(shí)，f(x)=3f+6X+3=3(X+1)220,

...於)在R上單調(diào)遞增，

4

，危)無(wú)極值,

所以4=1,8=3不符合題意，

當(dāng)0=2,6=9時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意.

.,.a+h=11.

(2y(x)=a[2(x—a)(x~/?)+(%—a)2]=a(x-a)(3x—a—2b),令f(x)=O,結(jié)合

a?2b

解得x=〃，或尢=-~，由題意得了(%)在直線(xiàn)的附近時(shí)，左側(cè)為正

a?2b

值，右側(cè)為負(fù)值，當(dāng)a>0時(shí)，作出/⑴圖象如圖①所示，則“V巴了」，即OVa

a?2b

<b-,當(dāng)aVO時(shí)，作出了(x)的大致圖象如圖②所示，則。>“一，即0>a>〃,

綜上，a與。一〃始終異號(hào)，即a(a—8)V0,所以/〈必.

圖①圖②

畬反思領(lǐng)信與函數(shù)極值相關(guān)的兩類(lèi)熱點(diǎn)問(wèn)題

(1)求函數(shù)7U)極值的一般解題步驟

①確定函數(shù)的定義域.

②求導(dǎo)數(shù)人X).

③解方程八x)=O,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根.

④列表檢驗(yàn)/(?在/(X)=0的根比左右兩側(cè)值的符號(hào).

(2)根據(jù)函數(shù)極值情況求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)

①列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)

法求解.

②驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性.

一優(yōu)艮進(jìn)訓(xùn)練]

1.(1)已知尤=2是40=V―3處+2的極小值點(diǎn)，那么函數(shù)人%)的極大值為

4.,,

(2)已知函數(shù)?￥)=好一加+藥.若?r)在(a—1,。+3)上存在極大值，貝lja的

5

取值范圍是.

(1)18(2)(-9,0)U(0,1)［(1)函數(shù)人》)=必一3以+2的導(dǎo)數(shù)/(x)=3f-3a,

由題意得，/'(2)=0,即12—3。=0,解得a=4.

/.y(x)=—12x+2,'.f(x)=3/-12=3(x—2)(x+2),由.尸(%)>0,得x>2

或xV—2,即函數(shù)在(-8,—2)和(2,+8)上單調(diào)遞增；

由/(x)V0,得一2VxV2,函數(shù)/(x)在(-2,2)上單調(diào)遞減；

故式x)在x=2處取極小值，x=-2處取極大值，且.八—2)=-8+24+2=18.

即兀￥)機(jī)太偵=18.

2a

(2)f(x)=3X2—2cuc=x(3x—Id),令/(x)=0,得尤i=0,%2=岸

當(dāng)a=0時(shí)，，(x)20,./U)單調(diào)遞增，/(、)無(wú)極值，不合題意.

r\

當(dāng)。>0時(shí)，?r)在x=g■■處取得極小值，在x=0處取得極大值，

則。一1<0<。+3,又a〉0,所以0<。<1.

當(dāng)"0時(shí)，/U)在x=岸處取得極大值，在x=0處取得極小值,

則。一1<2^。<。+3,又a<0,所以一9<a<0.

所以a的取值范圍為(-9,0)U(0,1).］

□考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值枷生共研

［典例2］已知函數(shù)_Ax)=at+lnx,其中。為常數(shù).

(1)當(dāng)。=-1時(shí)，求/U)的最大值；

(2)若/U)在區(qū)間(0,e］上的最大值為一3,求a的值.

［解］(1)易知7U)的定義域?yàn)?0,+oo),

當(dāng)a=—1時(shí)，fix)=—x+lnx,

,.11—X

fW=-14--=——

人人

令，(x)=0，得x=l.

當(dāng)04<1時(shí)，f(x)>0;當(dāng)x>l時(shí)，/(x)<0.

.?JU)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

?Wmax=Al)=-l.

.,.當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù).*x)在(0,+8)上的最大值為一］.

6

（2）f（x）=a+KxC（O,e］,*+°01

人AL_C/

①若心一占則/（x）20,從而凡r）在（0,e］上單調(diào)遞增，

.?JU）max=?e）=ae+120,不符合題意.

②若&v-令/（x）>0得。+:>0,結(jié)合尤w（0,e］,解得0令v—

令了（尤）<。得。+5<0，結(jié)合x(chóng)￡（0，e］,解得一十<x〈e.

從而7U）在（0,一；|上單調(diào)遞增，在（一今e上單調(diào)遞減，

??g）max=f㈢一］+ln㈢.

令_l+ln（―0=-3,得In（一；）=—2,

即?=—e2.

?/—e2<—/.?=—e2為所求.

故實(shí)數(shù)a的值為一e?.

畬反思領(lǐng)悟

求函數(shù)?x）在［m上的最大值和最小值的步驟

I笫；步茶面￡7乙\^（a,6）'而廟冠看：

I笫.步卜一f茶畝數(shù)7?云應(yīng)向海￡遍漏數(shù)瓦7，/）［￡（小］

I第!步新函.數(shù)7b而各一極值-與7醛。7（江必晟「M+'"：

1~~最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值：

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

3—2x

2.（2021.北京高考節(jié)選）若函數(shù)加）=工^在x=-l處取得極值，求於）的

單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值.

3—2%,—2（J^+?）—2x（3—2x）2（x2—3x—a）

因?yàn)檠?十不？貝L=（/+a）2

闕（『+a）2，

2（4—〃）

由題意可得了（-1）=2=0,解得4=4,

（。+1）

..&,3-2A-2（A-+1）（A-4）

故/（X尸6+4）2'

7

當(dāng)x變化時(shí)，式工）、/（X）的變化情況如下:

X(-8,—1)-1（一1，4）4(4,4-°°)

fw+0—0+

於）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以，函數(shù)兀《）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,—1）、（4,4-0°）,單調(diào)遞減區(qū)間為

（一1，4）.

極大值為人-1）=1,極小值為.*4）=—/

33

當(dāng)x＜5時(shí)，.*x）＞0;當(dāng)x＞］時(shí)，兀。＜0.

所以，兀V）max=/（-l）=l,.*X）min=*4）=-/

□考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用枷生共研

［典例3］（2020?江蘇高考）某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直

截面圖如圖所示，谷底。在水平線(xiàn)MN上，橋A3與平行，。0'為鉛垂線(xiàn)

（。在A(yíng)B上）.經(jīng)測(cè)量，左側(cè)曲線(xiàn)A0上任一點(diǎn)D到MN的距離加（米）與D到00,

的距離。（米）之間滿(mǎn)足關(guān)系式加=點(diǎn)片；右側(cè)曲線(xiàn)B0上任一點(diǎn)F到MN的距離

后（米）與E到。。的距離伏米）之間滿(mǎn)足關(guān)系式力2=一擊〃+6".已知點(diǎn)B到00'

oUU

的距離為40米.

（1）求橋的長(zhǎng)度；

（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于。。的橋墩CD和EF且CE為80米，其中

C,E在A(yíng)8上（不包括端點(diǎn)）.橋墩所每米造價(jià)攵（萬(wàn)元），橋墩CO每米造價(jià)（萬(wàn)

元）/＞0）,問(wèn)。石為多少米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低？

［解］（1）如圖，設(shè)AA”BB\,CDi，EFi都與MN垂直，4，B\,Di,Fi是

8

3

相應(yīng)垂足.由條件知,當(dāng)。'B=40時(shí)，BBi=—^X40+6X40=160,則44I

oUU

=160.

由表042=160,

得02=80.

所以A8=O'A+O'B=80+40=120(米).

(2)以。為原點(diǎn)，00'為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖所示).

設(shè)E(x,")，xG(0，40),則＞?2=一/產(chǎn)3+6X,

EF=160—>2=160+^^r3—6x.

因?yàn)镃E=80,所以O(shè)'C=80—x

設(shè)￡>(x—80,yi),則yi=表(80—

所以CD=160-J.=160—表(80—九)2=一4,『+4乂

記橋墩CD和EF的總造價(jià)為加:),

則X》)=4160+焉1P-6x)+|《一京1f+4x

="舄村一病"16o\o<x<4O).

3k

8OOA"一制=痂e20)，

令了(x)=0,得x=20.

當(dāng)X變化時(shí)，j{x},/(x)的變化情況如下:

X(0,20)20(20,40)

fM—0+

於)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

9

所以當(dāng)x=20時(shí)，7U)取得最小值.

答：(1)橋4?的長(zhǎng)度為120米；

(2)當(dāng)O，E為20米時(shí)，橋墩CD和E廠(chǎng)的總造價(jià)最低.

命反思領(lǐng)悟利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的四個(gè)步驟

(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫(xiě)出實(shí)際

問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=Ax).

(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)了⑴，解方程，(x)=0.

(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和/(x)=0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大

(小)值.

(4)回歸實(shí)際問(wèn)題，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題作答.

一［跟進(jìn)訓(xùn)練］

3.某同學(xué)準(zhǔn)備自主創(chuàng)業(yè)