2022年高考數學模擬自測題(根據以往高頻出現知

識點編輯)_016

單選題(共8個，分值共：)

1、如圖所示的木質正四棱錐模型「一旗CD,過點A作一個平面分別交「鳥,PCPO于點￡,尸，G,若

PE3PF1PG

A.4B.3c.4D.5

答案：C

解析：

以AC、BD交點。為坐標原點，射線。A、。8、OP為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，設尸(°，°功)，

A(a,(),O),8(()?,0),￡>((),-4,0),°(-4。，。)g、b>0),進而寫出麗、而、麗、初坐標，可得越，

PF,由4瓦￡G四點共面有序=乂近+)，所+z市，設后=4而(0<力<1),求2值即可得答案.

【本題詳解】

解：建立如圖所示空間直角坐標系，設尸(°曾功)，?“,(),())，8((),“,O),￡>(O,_a,O),0(一a。。)g、"0),

PB=(O,a,-b)PC=(-a,O,-b)PD=^-a,-h)PA=(a,O-b)

P￡=-PB=fo.—PF=-PC=f--,O,--l

由題意AE，RG四點共面，則有不=》庵+?而+z際，其中X+y+z=l,

前=/I歷=（0,—就,一4），Xe（O,l）

（4,0,詢=x（o,網T）+y（，,O,4z（O,.i）=（一絲，"如一"型fz

,155J122J12552

y=-2

公o3x

。-

5-zlz=0

空

匕3-x

-25-+2z=l

2A=3

由方程組lK）'+z=,即［x+y+z=\,解得W,

所以PD~4,

所以正確答案為：C.

2、曲線丫=2%）》+3過點（一表0）的切線方程是（）

A.2%+y4-1=OB.2%—y4-1=0

C.2%+4y+1=0D.2%—4y+1=0

答案：B

解析：

設出切點，結合導數列方程，由此求出切點坐標并求出切線的斜率，進而可得切線方程.

【本題詳解】

由題意可得點（-表0）不在曲線y=2xlnx+3±,

設切點為（xo，yo）,因為y=2lnx+2,

所以所求切線的斜率k=2lnx0+2=烏=

X0+T2XQ+1

所以Vo=2xolnxo+2x0+lnx0+1.

2

因為點(%0，尢)是切點,所以>0=2xQlnxQ+3,

所以2%o仇Xo+2%0+仇+1=2xolnxQ+3,BP2x0+lnx0-2=0.

設f(%)=2x4-Inx-2,明顯f(%)在(0,+8)上單調遞增,且/(1)=0,

所以2&+lnx0-2=0有唯一解出=1,則所求切線的斜率k=2,

故所求切線方程為y=2(久+3=2x+1.

所以正確答案為：B.

3、若函數f(x)=sin(3x+9(3>0)在(一59有最大值無最小值，則3的取值范圍是()

A-(?SB-(?9C-(?T)D-G-T]

答案：B

解析:

求出5+標(-詈+，詈+9根據題意結合正弦函數圖象可得答案.

【本題詳解】

..-(nn\.,yr_/7ta)nno)n\

.XE[——，一，..tOX+-GI--------+t—，----tF-,

V4,4/6\46‘467

根據題意結合正弦函數圖象可得

{,解得

所以正確答案為：B.

f(x)=3sin(2x-^

4、函數的最小正周期為)

7in

A.4B.2c.萬D.2萬

答案：B

解析：

y=3sin2x——/(x)=3sin2x---

根據【6J的周期及V的圖象可得周期

【本題詳解】

y=3sin(2x-g]7'=—=^

由I6J的周期為2,

/(x)=3sin(2x-?y=3sin(2%-^-

因為的圖象是圖象在X軸下方的圖象翻折到X軸上方，X軸上方的保持

不變,

f(x)=3sin(2x=

的周期為2.

所以

3

所以正確答案為：B

5、橢圓9+9=1中以點M（2,1）為中點的弦所在直線斜率為（）

答案：A

解析：

先設出弦的兩端點的坐標，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率.

【本題詳解】

設弦的兩端點為y，，B（X2,y2）,

（五+或=1

代入橢圓得19?2,

憚+理=1

V92

兩式相減得魚2弩及2+儀!二及學境）=0,

艮0（工1—42）（必+欠2）__（%一加）（%+%）

2（欠1+小）_%一乃,

'9（乃+為）-%L%2'

即_四=上及，

9x2x1-x2

即左孚=，，

X1-X29

二弦所在的直線的斜率為-3

所以正確答案為:A.

6、傾斜角為135。的直線，與拋物線y2=8x相切，分別與x軸、y軸交于4B兩點，過A,B兩點的最小圓截拋

物線y2=8%的準線所得的弦長為（）

A.4B.2C.2V2D.V2

答案：B

解析：

由題可求直線l:y=-x-2,進而可得圓的方程為（x+l）2+（y+1）2=2,再利用弦長公式即求.

【本題詳解】

由題可設直線的方程l：y=-x+t,

y=—%4-t

{y2=8x，得y+8y-8t=0，

「?4=8?—4x（-8t）=0,解得t——2,

l\y=—x—2,

令y=0，得％=—2,令y=0,得％=—2,即4（—2,0）,8（0,—2）,

過4,8兩點的最小圓即以48為直徑的圓，其圓心為（一1,一1）,半徑為VL方程為（％+1）2+@+1）2=2,

又拋物線/=8%的準線為％=-2,

4

過4B兩點的最小圓截拋物線必=8x的準線所得的弦長為=2.

所以正確答案為：B.

7、正方體4BCD-&8傳也的棱48和45的中點分別為E,F,則直線E尸與平面44山1。所成角的正弦值為

（）

A.立B.在C.在D.至

3366

答案：C

解析：

根據正方體的特征，通過輔助線，找到直線EF與平面所成角，然后計算正弦值即可.

【本題詳解】

如圖，連接AF,

因為在正方體4BCD-&B1GD1中，4B1平面4415。，

故E4_L平面441。］。，則ZE凡4為直線EF與平面所成角，

設正反體棱長為2,則4F=再,EF=乃,ZE=1,

故在Rt△EAF中，sin^EFA=祭=?,

所以正確答案為：C,

8、在新冠肺炎疫情期間，巴中某學校定期對教室進行藥熏消毒（消殺師傅進入教室學生就出教室）.教室內

每立方米空氣中的含藥量y（單位：毫克）隨時間t（單位：小時）的變化情況如圖所示.在藥物釋放的過程

中，y與t成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為y=10a-t（0為常數）.據測定，當空氣中每立方米

的含藥量降低到0.2毫克以下時，學生方可進入教室.那么，從消殺師傅進入教室開始到學生能回到教室，至

少在（）（參考數值仞2a0.30103）

5

A.48分鐘后B.42分鐘后

C.54分鐘后D.60分鐘后

答案：A

解析：

根據函數圖象求出t20.1時的函數解析式，即求出a的值，再解不等式求得答案.

【本題詳解】

把點(0.1,1)代入y=ioa-t中，1=10-1,解得a=0.1.

所以當t20.1時，y=10°1-t

因為當空氣中每立方米的含藥量降低到0.2毫克以下時，學生方可進入教室

所以10°T-t<0.2,解得t>1.1-lg2X0.8.

至少需要經過0.8x60=48分鐘后，學生才能回到教室.

所以正確答案為：A.

多選題(共4個，分值共：)

9、設%是等差數列｛即｝的前幾項和，若S7=Si3,且(n+l)Sn>nS"+i5eN*),則下列選項中正確的是()

A.an>Cln+lB.Si。和Sii均為先的最大值

C.存在正整數匕使得Sk=OD.存在正整數m,使得Sm=S37n

答案：ACD

解析：

設數列公差為d,根據已知條件57=S13和(71+1??>715?1+式九6'*)判斷公差正負，求出的和d關系，逐項

驗證即可.

【本題詳解】

設等差數列｛即｝公差為d,由S7=S13得7%+—4=13%+等4，化簡得%。+。11=0；

,/(n+l)Sn>nSn+1(nGN*),

(ai+a；,"1],

???11S10>10S11，艮|]]]x>10xa1Q>an,

/.a10>0,an<0,/.d<0,故數列｛an｝為減數列，故A正確；

a

io+?ii=0,a10>0,an<0,故51()為%的最大值，故B錯誤；

a1Q+Qu=%+a2Q=0,故S20=(、六。"'。=0,故C正確；

Sm=s3m時，mQ]+一(；?d=3徵％+37n(3：D..,即2QI=(―4m+l)d,

又由Qio+=0得2%=-19d,

—19d=(—4m+l)d,解得m=5,故D正確.

所以正確答案為：ACD.

10、函數f(x)在[a,句上有定義，若對任意與，x2e[a,b],有/(空)2：[/01)+/(上)]，則稱/(X)在[a,b]

上具有性質M,設f(x)在[1,2021]上具有性質M,則下列說法錯誤的是()

6

A.f(x)在［1,2021］上的圖像是連續不斷的

B./(/)在口,2021］上具有性質M

如血詈用

C.對任意右,冷，x3,x4G［1,2021］,有f()>J［/(xj+/(x2)+/(x3)+/(x4)］

D.若/'(x)在x=1011處取得最小值1011,則/(x)=1011,xG［1,2021］

答案：AB

解析：

AB選項可以舉出反例，CD選項可以利用函數具有性質M,進行變形推出出結果.

【本題詳解】

對于A,設在［1,2021］上具有性質M,但/⑺不連續，故A錯誤；

對于B,設/(x)=x,在［1,2021］上具有性質M,但/(7)=%2在口,2021］上不具備性質M,故B錯誤；

對于c，>1

f=fy+f

>；［/(%!)+/(X2)+/(X3)+/(%4)］，故C正確：

對于D由性質M得,當xe［1,2021］時，/(%)+/(2022-%)<2/(1011)=2022,又因為/'(x)21011,

/(2022-x)>1011,故/■(*)=1011,x￡［1,2021］,D正確.

所以正確答案為：AB

11、在正方體ZBCD-AiBiGA中，點P在線段&C上運動，則下列結論正確的有()

A.直線BD11平面%G。

B.三棱錐P-&DB體積為定值

C.異面直線4P與aD所成角的取值范圍是

D.直線與平面&CiO所成角的正弦值的最小值為當

答案：ABD

解析：

線面垂直的判定；線面平行的時候，頂點在線上，底面在平面內的時候，體積不變，因為高沒變；計算異面

直線的夾角的取值范圍；線面夾角可以通過線的平面法方向的夾角來確定.

【本題詳解】

如下圖所示，對于A：

因為底面傳，u底面，故力傳「又因為力修劣劣，當劣=故

BBi141AG4GBBi111BBrn41cl1

平面又因為BAu平面故AiG_LBDi，

同理可得為DIB。1，而&DnAiCi=&,故BQJ_平面46。，故A正確；

對于B：

因為8道||公。而&C仁平面&OB,占Ou平面4所以三棱錐P—體積為定值，故B正確；

對于C：

7

因為&0IIB1C,所以異面直線AP與40所成的角，就是AP與B]C所成的角，它的取值范圍是E，,，故C

錯誤；

對于D：

延長GP交BBi于E,過E作EF||BDi，所以々GEF就是異面直線C】P和8久的夾角.因為直線BD】_L平面&G。,

所以直線CP與平面4GD所成角與/CiEF互為余角，當P點到達當(或C)的時候，由于&G||BC||

GC),異面直線GP與BD]所成角為ND】BCI(NDiBBJ,此時，它們的角最大，余弦值最小，故直線與直線

所成角的余弦值的最小值為半，即直線C/與平面4心0所成角的正弦值的最小值為毛，故D正確.

所以正確答案為：ABD

12、已知函數/(x)=a*(0<a<1),g(x)=/(x)-/(-x),對任意勺力到，則()

A./(Xi)/(X2)=/(X1X2)B.g(x)+g(-x)=0

2

C.Xig(xi)+x2g{x2)<與儀冷)+x2g(xx){).g(-t+t-l')>-gQ)(teR)

答案：BCD

解析:

對選項A,根據指數的運算性質即可；對選項B,可判斷出g(x)是奇函數，即可判斷；對選項C,通過作差法

比較即可；對選項D,根據函數g(x)的單調性和奇偶性轉化不等式，再通過判別式即可判斷.

【本題詳解】

對選項A,f(%2)=產+也,/(%無2)=產制，所以正確答案為項A錯誤;

對選項B,5W=ax-a~x,g{-x)=a~x-ax,則g(x)+g(-久)=0,所以正確答案為項B正確;

_(力-X2)3、1-戶2)(。、1+*2+1)

對選項C,+xg(.X2)-/9(%2)-%2以*1)

2QX1+%2

不妨設%i<%2?則a"】一a"?>0,故%0%1)+%2,(%2)<%1。(%2)+x2g(x1)9所以正確答案為項C正確;

對選項D,因為g(x)是奇函數，9(%)在(-8,+8)上遞減

則要使g(—/+t—1)3—gG)QeR)怛成立

8

只需：5(-t2+t-1)>G)=g㈢

只需：一/+七―13—:

只需：4t2-4t+1>0

而4=0,故g(—t2+t—l)2—gC)QeR),所以正確答案為項D正確

所以正確答案為：BCD

填空題(共3個，分值共：)

13、已知函數/(x)=sin(3x+g)的圖象關于直線x=m(0<m<n)對稱，則m的最大值為.

答案：—it#

30

解析：

根據給定條件結合正弦函數的性質求出m的關系式，再根據所給范圍計算作答.

【本題詳解】

由3x+—=^-+/c7r(/cGZ)得函數/(x)=sin(3x+()圖象的對稱軸：上=0CZ),

依題意，m=+eZ),而0<m<7T,于是得k6{0,1,2},當k=2時，mmax=

所以m的最大值為鬻.

故答案為：篝

14、已知點P為雙曲線?一y2=1的右支上一點，&,尸2分別為左、右焦點，0為坐標原點，過點入向NF】PF2的

平分線作垂線，垂足為Q，則|OQ|=.

答案：2

解析：

先由兒何關系得到|PFi|=1PMi及OQ為AMFiF2的中位線，再根據雙曲線的定義即可求解.

【本題詳解】

延長PF?交KQ于M,因為PQ為NF1PF2的平分線，且FiQJ.PQ,則IPFJ=|PM|,

則Q為F]M的中點，而。為RE的中點，所以OQ為△M&Fz的中位線，

所以|OQ|=||MF2|=|(|PM|-IPF2I)="|PFi|一|PaI)，

由雙曲線的定義可知|PFi|—|P&|=2a,

2

又因為雙曲線的方程為?v—y2=1,所以。2=4,即a=2,

所以|OQ|=：x2x2=2,

故答案為：2

9

15>化簡遮sin(a—+cos—Q)=.

答案：2sin(a—2)

解析：

觀察到a-g=-傳-a)，故可以考慮直接用輔助角公式進行運算.

【本題詳解】

y/Ssin(a—+cos―a)=y/Ssin(a——+cos(Q——2sin(a——+—cos(a——

71/71\71/7T\]717171

[cos—?sin(a一+s比5,cos(a——Jj=2sm(a—-+-)=2sin(a--)

故答案為：2s出(a—g).

解答題(共6個，分值共：)

16、如圖，有一條寬為607n的筆直的河道(假設河道足夠長)，規劃在河道內圍出一塊直角三角形區域(圖中

△ABC)養殖觀賞魚，AB1AC,頂點A到河兩岸的距離力？=h1，4。=/12，。，8兩點分別在兩岸，1/2上，設

乙ABD=a.

(1)若a=30°,求養殖區域面積的最大值；

(2)現擬沿著養殖區域三邊搭建觀賞長廊(寬度忽略不計)，若擔=30m，求觀賞長廊總長f(a)的最

小值.

答案：

(1)600V3m2；

(2)60(72+

解析：

10

(1)由題可得SAABC=專砥九2，再利用基本不等式即得：

(2)由題可知7?9)=30(*土衛匚)，利用同角關系式可轉化為y=T，然后利用函數的單調性即求.

''/\sinacosa//t-1

(1)

當。=30。時，AB=-^-=2h2lAC=-^-=

stnacosa<3

所以另謝="方."=’岫2,

又因為無1+電=60N2/九1九2(當且僅當九1=電=30時等號成立)，

所以比九24900,

于是SMBC='九1八2—600>/3,

因此，養殖區域面積的最大值為600百62

(2)

由題意，AB=—,AC=—

sinacosa

所以BC=J(旦)+(3_)2,P-+，=3。，

\\sina/\cosa/勺sin2acos2asinacosa

所以△ABC的周長f(a)=30(—+—+—1—)=30(陋±經竺1),

\sinacosasinacosa/\sinacosa/

其中aG(0,§.

設t=sina+cosa,則t=sina+cosa=y[2sin(a+：)E(1,V2],

所以sinacosa=

2

所以y=30?瑪=普，

It-1

2

于是當1=近時，ymin=^=60(V2+l),即/(a)min=60(&+l),

因此，觀賞長廊總長的最小值為60(?+l)m.

17、已知/'(x)=2sin(a)x+w)(co>0,<(p<0)的最小正周期為27r.

在①/⑶的圖象過點停,1)，②/⑶的圖象關于直線％=與對稱，③f(x)的圖象關于點弓,0)對稱，這三個

條件中任選一個，補充到橫線上，并解答問題.

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)

(1)求函數“X)的解析式;

(2)將/(x)的圖象上所有點向左平移方個單位長度，再將得到的圖象上每個點的橫坐標變為原來的］(縱坐標

不變)，得到函數y=g(x)的圖象，求g(x)的單調遞增區間.

答案：

(1)/(x)=2sin(x—

(2)pro—.，4兀+自，(上6Z)

11

解析：

⑴由正弦型函數的周期，過某一點，對稱軸等代入即可；

(2M,3,0對正弦型函數/(x)=4s譏(3%+中)的影響，重新計算周期和起點；整體代入求單調區間.

(1)

若選①：

由已知得T=生=2兀，則3=1,于是/'(x)=2sin(x+0),

CO

因為f(x)圖象過點信1)，所以sin停+9)=%

由_三<9<0,得+所以0+/即”=_g

2633366

故/(%)=2sin[x-勺.

若選②或③，同理可得f(%)=2sin--)-

(2)

由已知橫坐標變為原來的，則周期為幾；/(無)=2si?i(x-勻的起點在％=￡,則g(%)的起點在％=《一§x

1=-^所以％+*=0,所以g(%)=2sin(2%+§.

所以由2kn——2%+5W2kn+—(kGZ),得kii——WxWk7i4--(/cGZ).

故g。)的單調遞增區間為[而一■"+同(keZ).

18、在數列｛an｝中，劭=2,an+i=2an+2,6n=Qn+2.

(1)證明：數列｛%｝是等比數列.

(2)若cn=—旦一，求數列｛%｝的前幾項和Sn.

anan+l

答案：

(1)證明見解析；

解析：

⑴利用給定的遞推公式探求%+1與%的關系即可判斷作答.

(2)由⑴的信息求出小,再借助裂項相消法計算作答.

(1)

因斯+i=2an+2,bn=an+2,因此，bn+1=an+1+2=(2an+2)+2=2(an+2)=2bn,而九=%+

2=4,

所以｛%｝是以4為首項，2為公比的等比數列.

(2)

n-1n+1

由(1)知，bn=4x2=2,則an=2n+i-2,

IHI_2:+1_______(2n+2-2)-(2n+l-2)___l_________1__

n+1，

J九一(2n+1-2)(2n+2-2)-(2n+1-2)(2n+2-2)-2-22n+2-2

12

11

所以%=（六~六）+（六~六）+（/~/）+…+:）

C2^+1-22n+2-2

_11_2n-l

-22n+2-2-2n+1-l'

19、如圖，在平行四邊形A8CD中，AB=1,BC=2,ZABC=60°,四邊形ACEF為正方形，且平面ABCD_L平面

(2)求點C到平面BEF的距離；

(3)求平面BEF與平面ADF夾角的正弦值.

答案：

(1)證明見解析；

⑵圣

解析：

⑴利用余弦定理計算AC,再證明AB,AC即可推理作答.

(2)以點A為原點，射線AB,AC,AF分別為x,y,z軸非負半軸建立空間直角坐標系，借助空間向量計算點C

到平面BEF的距離.

⑶利用⑵中坐標系，用向量數量積計算兩平面夾角余弦值，進而求解作答.

(1)

在回2BCD中，AB=1,BC=2,NABC=60°,由余弦定理AC?=432+—243?BCCOS/ABC得，

AC2=l2+22-2xlx2cos60°=3,即AC=百，^AC2+AB2=4=BC2,則ZBAC=9O。，即AB_LAC,

因平面ABCD_L平面ACEF,平面4BC0n平面4CEF=AC,4Bu平面4BC。，

于是得4B1平面4CEF,又CFu平面4CEF,

所以4B1CF.

(2)

因四邊形4CEF為正方形，即4F14C,由(1)知A8,4C,4F兩兩垂直，

以點A為原點，射線A8,AC,AF分別為x,y,z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖,

13

4(0,0,0),B(1,0,0),C(0,V3,0),尸(0,0,V3),D(-1,V3,0),E(0,V3,次)，

FE=(0,V3,0),BF=(-1,0,73),設平面BEF的一個法向量元=

則令得"版‘。』),

而說=(-1,73,0),于是得點C到平面BEF的距離d=噌=平二里=4,

|n|J(遍/+122

所以點C到平面BEF的距離為當

(3)

由(2)知，AF=(0,0,V3),AD=(-1,73,0),設平面F的一個法向量記=(上,%*2)，

m-AF=V3Z=0

2令y?—1，得訪=(V3,1,0),

m-AD=-x2+V3y2=0

COS〈沅㈤=昌=,.直*=p設平面BEF與平面ADF夾角為6,e&(0,勺,

1叫同J(-zxj/)242」

則有cos，=|cos<7n,n)|=sin。=V1—cos29-，，

所以平面BEF與平面ADF夾角的正弦值為

4

【點睛】

易錯點睛：空間向量求二面角時，一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進

行向量運算，要認真細心，準確計算.

20、已知函數/'(x)=ax—Inx.

(1)若a=l,求函數f(x)在(1,7(1))處的切線方程；

(2)討論函數y=f(x)在［1,2］上的單調性.

答案：

(1)y=1

(2)答案見解析

解析：

(1)求出導函數r(%)后計算/(I)得斜率，由點斜式得直線方程并整理;

(2)求出導函數尸(x),然后分類討論它在［1,2］上的正負得單調性.

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(1)

當a=1時，f(x)=x-Inx,則/'(x)=1-：，

故切線的斜率k=f(l)=0.

又/⑴=1.

所以函數/(%)在(1,/(1))處的切線方程為：y=l.

(2)

由/(x)=ax-Inx,得/''(x)=a—；=

①當aW0時，/'(x)<0J(x)在［1,2］上單調遞減；

②當0<a行時，/(%)<0,/(x)在［1,2］上單調遞減；

③當3<a<1時，令/(%)=0,得x=：

當1Wx<即寸，/(x)<0J(x)在［1,￡)上單調遞減；

當5cxs2時，/'(x)>0,/0)在6,2］單調遞增；

④當a21時,f(x)之O,f(x)在［1,2］上單調遞增;

綜上:當aW凱寸，/(x)在［1,2］上單調遞減；

當］<a<l時，/"(X)在［1,￡)上單調遞減，在6,2］上單調遞增；

當a>1時，/(x)在［1,2］上單調遞增.

21、為保護生態環境，減少污染物排放，某廠用"循環吸附降污法"減少污水中有害物，每次吸附后污水中有

害物含量y(單位：mg/L)與吸附前的含量x(單位：mg/L)有關，該有害物的排放標準是不超過4mg/L.現

有一批污水，其中該有害物含量為2710mg/L,5次循環吸附降污過程中的監測數據如下表：

第1次第2次第3次第4次第5次

吸附前的